L1 - Math11 - Formulaire sur les primitives

L1 - Math11 - Formulaire sur les primitives
Définition. Soit Iun intervalle de R. Une fonction f:I→Rest integrable si il existe une fonction dérivable
F:I→Rtelle que F0=f. Un telle fonction Fest une primitive de f.
Proposition. Soit f:I→R.
1. Si fest continue, elle est intégrable.
2. Si Fest une primitive de fet c∈R, alors F+cest une primitive de f.
3. Toute primitive de fest de la forme F+cpour une certaine constante c∈R.
Notation. On note Rfune primitive quelconque de f.
Remarque. Si a∈I, alors F(x) = Rx
af(t) dtest l’unique primitive de fqui s’annule en a.
Proposition. Soient f, g :I→Rdeux fonctions intégrables et k∈R, alors :
Z(f(x) + g(x)) dx=Zf(x) dx+Zg(x) dxet Zkf (x) dx=kZf(x) dx.
Primitives fondamentales.
Zxndx=xn+1
n+ 1 +cpour n6=−1 =⇒Z(fn(x)) f0(x) dx=fn+1 (x) n+ 1 pour n6=−1
Z1
xdx= ln |x|+c=⇒Zf0(x) f(x)dx= ln (|f(x)|) + c
Zexdx= ex+c=⇒Zef(x)f0(x) dx= ef(x)+c
Zaxdx= (logae) ax+c=⇒Zaf(x)f0(x) dx= (logae) af(x)+c
Zsin xdx=−cos x+c=⇒Zsin (f(x)) f0(x) dx=−cos (f(x)) + c
Zcos xdx= sin x+c=⇒Zcos (f(x)) f0(x) dx= sin (f(x)) + c
Z1
cos2xdx= tan x+c=⇒Zf0(x) cos2(f(x))dx= tan (f(x)) + c
R1
sin2xdx=−cot x+c=⇒Rf0(x) sin2(f(x))dx=−cot (f(x)) + c
Z1
√1−x2dx= arcsin x+c=⇒Zf0(x) p1−f2(x)dx= arcsin (f(x)) + c
Z1
1 + x2dx= arctan x+c=⇒Zf0(x) 1 + f2(x)dx= arctan (f(x)) + c
Zcosh xdx= sinh x+c=⇒Zcosh (f(x)) f0(x) dx= sinh (f(x)) + c
Zsinh xdx= cosh x+c=⇒Zsinh (f(x)) f0(x) dx= cosh (f(x)) + c
Z1
cosh2xdx= tanh x+c=⇒Zf0(x) cosh2(f(x))dx= tanh (f(x)) + c
Proposition (integration par changement de variables).Soit Fune primitive de fet soit gune fonction dérivable.
Alors la fonction f(g(x)) g0(x)est intégrable et
Zf(g(x)) g0(x) dx=F(g(x)) + c.
Donc cette intégrale se calcule en posant u=g(x)et du=g0(x) dx.
Proposition (intégration par parties).Soient fet gdeux fonctions dérivables. Alors :
Zf(x)g0(x) dx=f(x)g(x)−Zf0(x)g(x) dx.
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Intégration des fractions rationnelles. On considère une fraction rationnelle N(x)
D(x)dont on cherche une
primitive.
1. Par division euclidienne N(x) = Q(x)D(x) + R(x), on obtient
N(x)
D(x)=Q(x) + R(x) D(x),avec deg R(x)<deg D(x).
2. On écrit D(x)sous la forme :
D(x) = c(x−a1)m1···(x−ak)mkx2+b1x+d1n1···x2+bhx+dhnh,
puis on décompose la fraction R(x)
N(x)sous forme d’éléments simples :
R(x)
N(x)=A1,1 (x−a1)+··· +A1,m1
(x−a1)m1
+···+
+Ak,1
(x−ak)+··· +Ak,mk
(x−ak)mk
+B1,1x+C1,1
x2+b1x+c1
+··· +B1,n1x+C1,n1
(x2+bn1x+c1)n1
+···+
+Bh,1x+Ch,1
x2+bhx+ch
+··· +Bh,nhx+Ch,nh
(x2+bhx+ch)nh
où les Ai,j ,Bi,j et Ci,j sont des nombres réels.
3. On intègre des termes de la forme
A
x−a,A
(x−a)n,Bx +C
x2+bx +c,Bx +C
(ax2+bx +c)n.
Pour cela, on a
Zdx
x−a=Aln |x−a|+c, ZA
(x−a)ndx=A
(1 −n) (x−a)n−1+c
et les autres termes se ramènent à calculer des intégrales du type
Zu0(x)
u(x)dx, et Zdt
(1 + t2)n, n ∈N.
Règles de Bioche. Pour chercher une primitive de f(x) = R(cos x, sin x), on peut procéder aux changements
de variables suivants pour se ramener à la primitive d’une fraction rationnelle.
1. Si f(−x) = −f(x),u= cos x; si f(π−x) = −f(x),u= sin x; si f(x+π) = f(x),u= tan x.
2. Sinon, on pose u= tan x
2, et : cos x=1−u2 1+u2,sin x=2u 1+u2,tan x=2u 1−u2,dx=2du 1+u2.
Proposition. Soit f: [a, b]→Rune fonction continue et Fune primitive de f. Alors Rb
af(x) dx=F(b)−F(a)
représente l’aire de domaine compris entre le graphe Γfet l’axe des absisses, comptée positivement pour la partie
située au-dessus de l’axe des absisses et négativement pour la partie située au dessous.
Proposition (Relation de Chasles).Soient fune fonction intégrable sur [a, b]et c∈]a, b[. Alors
Zb
a
f(x) dx=Zc
a
f(x) dx+Zb
c
f(x) dx.
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