L1 - Math11 - Formulaire sur les primitives

L1 - Math11 - Formulaire sur les primitives
Définition. Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R est integrable si il existe une fonction dérivable
F : I → R telle que F 0 = f . Un telle fonction F est une primitive de f .
Proposition. Soit f : I → R.
1. Si f est continue, elle est intégrable.
2. Si F est une primitive de f et c ∈ R, alors F + c est une primitive de f .
3. Toute primitive de f est de la forme F + c pour une certaine constante c ∈ R.
R
Notation. On note f une primitive quelconque de f .
Rx
Remarque. Si a ∈ I, alors F (x) = a f (t) dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a.
Proposition. Soient f, g : I → R deux fonctions intégrables et k ∈ R, alors :
Z
Z
Z
Z
Z
(f (x) + g (x)) dx = f (x) dx + g (x) dx et
kf (x) dx = k f (x) dx.
Primitives fondamentales.
Z
xn+1
xn dx =
+ c pour n 6= −1
n+1
Z
1
dx = ln |x| + c
x
Z
ex dx = ex + c
Z
ax dx = (loga e) ax + c
Z
sin xdx = − cos x + c
Z
cos xdx = sin x + c
Z
1
dx = tan x + c
cos2 x
R 1
2 dx = − cot x + c
Z sin x
1
√
dx = arcsin x + c
1
− x2
Z
1
dx = arctan x + c
1
+
x2
Z
Z
=⇒
f n+1 (x)
pour n 6= −1
n+1
f 0 (x)
dx = ln (|f (x)|) + c
Z f (x)
ef (x) f 0 (x) dx = ef (x) + c
Z
af (x) f 0 (x) dx = (loga e) af (x) + c
Z
sin (f (x)) f 0 (x) dx = − cos (f (x)) + c
Z
cos (f (x)) f 0 (x) dx = sin (f (x)) + c
Z
f 0 (x)
dx = tan (f (x)) + c
cos2 (f (x))
R
f 0 (x)
dx = − cot (f (x)) + c
2
Z sin (f0 (x))
f (x)
p
dx = arcsin (f (x)) + c
1
− f 2 (x)
Z
f 0 (x)
dx = arctan (f (x)) + c
2
Z 1 + f (x)
cosh (f (x)) f 0 (x) dx = sinh (f (x)) + c
Z
sinh (f (x)) f 0 (x) dx = cosh (f (x)) + c
Z
f 0 (x)
dx = tanh (f (x)) + c
cosh2 (f (x))
Z
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
cosh xdx = sinh x + c
=⇒
sinh xdx = cosh x + c
=⇒
1
dx = tanh x + c
cosh2 x
=⇒
Z
Z
(f n (x)) f 0 (x) dx =
Proposition (integration par changement de variables). Soit F une primitive de f et soit g une fonction dérivable.
Alors la fonction f (g (x)) g 0 (x) est intégrable et
Z
f (g (x)) g 0 (x) dx = F (g (x)) + c.
Donc cette intégrale se calcule en posant u = g (x) et du = g 0 (x) dx.
Proposition (intégration par parties). Soient f et g deux fonctions dérivables. Alors :
Z
Z
f (x) g 0 (x) dx = f (x) g (x) − f 0 (x) g (x) dx.
1
Intégration des fractions rationnelles. On considère une fraction rationnelle
N (x)
dont on cherche une
D (x)
primitive.
1. Par division euclidienne N (x) = Q (x) D (x) + R (x), on obtient
R (x)
N (x)
= Q (x) +
, avec deg R (x) < deg D (x) .
D (x)
D (x)
2. On écrit D (x) sous la forme :
m1
D (x) = c (x − a1 )
puis on décompose la fraction
mk
· · · (x − ak )
x2 + b1 x + d1
n1
· · · x 2 + bh x + d h
nh
,
R (x)
sous forme d’éléments simples :
N (x)
R (x)
A1,1
A1,m1
=
+ ··· +
m
N (x)
(x − a1 )
(x − a1 ) 1
+ ···+
Ak,1
Ak,mk
+
+ ··· +
m
(x − ak )
(x − ak ) k
B1,1 x + C1,1
B1,n x + C1,n1
+ 2
+ ··· + 2 1
n
x + b1 x + c1
(x + bn1 x + c1 ) 1
+ ···+
Bh,1 x + Ch,1
Bh,n x + Ch,nh
+ 2
+ ··· + 2 h
n
x + bh x + ch
(x + bh x + ch ) h
où les Ai,j , Bi,j et Ci,j sont des nombres réels.
3. On intègre des termes de la forme
A
n,
(x − a)
A
,
x−a
Bx + C
,
+ bx + c
Bx + C
n.
+ bx + c)
x2
(ax2
Pour cela, on a
Z
Z
dx
= A ln |x − a| + c,
x−a
A
A
n dx =
n−1 + c
(x − a)
(1 − n) (x − a)
et les autres termes se ramènent à calculer des intégrales du type
Z 0
Z
u (x)
dt
dx, et
n , n ∈ N.
u (x)
(1 + t2 )
Règles de Bioche. Pour chercher une primitive de f (x) = R (cos x, sin x), on peut procéder aux changements
de variables suivants pour se ramener à la primitive d’une fraction rationnelle.
1. Si f (−x) = −f (x), u = cos x; si f (π − x) = −f (x), u = sin x; si f (x + π) = f (x), u = tan x.
2
2u
2u
2du
2. Sinon, on pose u = tan x2 , et : cos x = 1−u
1+u2 , sin x = 1+u2 , tan x = 1−u2 , dx = 1+u2 .
Rb
Proposition. Soit f : [a, b] → R une fonction continue et F une primitive de f . Alors a f (x) dx = F (b) − F (a)
représente l’aire de domaine compris entre le graphe Γf et l’axe des absisses, comptée positivement pour la partie
située au-dessus de l’axe des absisses et négativement pour la partie située au dessous.
Proposition (Relation de Chasles). Soient f une fonction intégrable sur [a, b] et c ∈ ]a, b[. Alors
Z
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
f (x) dx.
c
2
b