Th`eorie de Galois et th`eorie alg`ebrique des nombres

Nils-Peter Skoruppa
Th´eorie de Galois et
Th´eorie Alg´ebrique des Nombres
Notes d’un cours de Maitrise
U.F.R. de Math´ematiques et Informatique
Universit´e Bordeaux 1

Version: Id: mor.tex,v 1.3 2003/11/25 14:55:13 fenrir Exp
c
°Nils-Peter Skoruppa, 2000 - 2003
www.countnumber.de

Avant-Propos
C’est une version tr`es pr´eliminoire du polycopi´e au module Th´eorie de
Galois et th´eorie alg´ebrique des nombres (MOR 3) que j’ai assur´e au debut de
l’ann´ee 2000 `a Bordeaux. Il manque toujours les chapˆıtres sur les faits de base
de la th´eorie de Galois. D’autre part, dans ces sections 1.2 `a 1.6 qui manquent
je suis suivi en gros les sections correspondantes du livre Serge Lange, Algebra.
En outre c’est un tr`es bon livre (et moins cher) que je recommends beaucoup.
Il manque aussi une revision profonde de l’orthographie et de l’expression
— est-ce que je vois des volontaires ?
Nils-Peter Skoruppa en mars 2000

Table des mati`eres
1 Th´eorie de Galois et applications 1
1.1 Extensions finies et alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Clotˆure alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Th´eor`eme de Steinitz et de l’´el´ement primitif . . . . . . . . . . 1
1.4 Extensions normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.5 Extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.6 Exemples I : Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7 Exemples II : Corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Resolution explicites d’´equations
de degr´e ≥2............................ 8
1.9 Construction `a la r`egle et compas . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Th´eories des nombres alg´ebriques 23
2.1 Nombres entiers alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Id´eaux fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 D´ecomposition d’id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4 G´eom´etrie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.1 Th´eor`eme de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4.2 Finitude du groupe de classe . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.3 Le Th´eor`eme de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Exercices 63
4 La CC 71
Bibliography 75
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