Platitude

Platitude
Est-ce qu’une immersion ferm´ ee de sch´ emas i:Y,→Xpeut ˆ etre plate ? Pour ´ ecarter le cas
trivial o ` uYest une union de composantes connexes de X, et la question de la platitude ´ etant
de toute fac¸on locale sur X, on suppose avoir localis´ e en un point x∈Yde sorte que Xest
local. Alors dans les cas courants la r´ eponse est non comme le montrent les deux remarques
suivantes :
Lemme 0.1 Si Yest d´efini par un id´eal de type fini (par exemple si Xest localement nœth´erien) alors i
n’est pas plate.
D´emonstration : En effet iest plate ssi on a IJ =I∩Jpour tout id´ eal J⊂A. En particulier on
doit avoir I=I2, donc I=0par le lemme de Nakayama. 
Lemme 0.2 Si Yest inclus dans un diviseur de Cartier (par exemple si Xest localement int`egre) alors
in’est pas plate.
D´emonstration : En effet par hypoth` ese il existe un x∈Inon diviseur de z´ ero. Si on pose
J= (x)il est facile de voir que les ´ el´ ements de IJ s’´ ecrivent tous ix avec i∈I. De l` a il d´ ecoule
que x∈I∩Jne peut appartenir ` aIJ si I6=A.
Ces lemmes disent en particulier que pour que i:Y,→Xsoit plate il faut que l’id´ eal de Yne
soit pas de type fini et constitu´ e enti` erement de diviseurs de z´ ero. Voici donc un exemple o ` u le
ph´ enom` ene se produit :
Exemple 0.3 Consid´ erons l’anneau suivant, quotient d’un anneau de polynˆ omes en un nombre
d´ enombrable de variables,
A=k[x1, x2, x3, . . . ]
(xn−xnxn+1, n ∈N)
On regarde l’id´ eal Iengendr´ e par les xn, qui est aussi la r´ eunion croissante des id´ eaux (xn). Il
est facile de voir que pour f∈A, on a f∈Issi f=fxnpour un n(en fait, pour tout n0).
Partant de l` a pour tout id´ eal J⊂Aon aura f∈I∩J⇒f=fxn⇒f∈IJ donc IJ =I∩J.
Remarque : une autre fac¸on de voir que A/I est A-plat est de dire qu’il suffit de le tester en le
localis´ e de Aen l’id´ eal maximal Ior AI'ken suite de quoi la platitude est ´ evidente.
Remarque : cela donne un exemple d’un module fini et plat sur A, mais non localement
libre.
On pourrait dire que c’est l’id´eal des polynˆomes `a support compact en r´ ef´ erence ` a l’analogie
suivante. Soit A0l’anneau des fonctions continues de Rdans Ret, pour chaque n≥1, soit ψn
une fonction ` a support dans [−(n+1); (n+1)] avec ψn(x) = 1sur [−n;n]. Soit I0l’id´ eal des
fonctions ` a support compact, engendr´ e par les fonctions ψnqui v´ erifient ψn=ψnψn+1. Ici
aussi la surjection canonique A0→A0/I0est plate. En fait il est probable que la sous-R-alg` ebre
de A0engendr´ ee par les ψnest isomorphe ` aR[x1,x2,x3,... ]
(xn−xnxn+1,n∈N).
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