TD – Intégrales généralisées

LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2016/2017 TD 6 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
TD – Intégrales généralisées
A Intégrales sur un segment
Exercice 1 — Calculer les intégrales suivantes à l’aide du changement de variable
proposé, le cas échéant.
A=Z1
−1
x+1
x2+4x+5dx;B=Z1
0
x+2
x2−4x+4dx;C=Z1
0
3x+2
x2+3x+2dx;
D=Z1
−2−x3−2x2+4x+9
x2+4x+7dx;E=Z3
2
x7
¡x4−1¢2dx(u=x4) ; F=Zπ
3
0
dx
cos2(x);
G=Z2
1
p4−x2
x2dx;H=Z1
0tarctantdt;I=Z1 0(x−1)p3+2x−x2dx
J=Zπ
2
0e4xsin(5x) dx;K=Z1 −1
dx
2+ex+e−x;L=Zπ
0
sin3tcost
1+cos22tdt(u=cos2t) ;
M=Zπ
2
0cosxln(1 +cosx) dx;N=Zπ 0
sint
1+cos2tdt(u=π−t) ;
O=Zπ
2
0
dx
1+sinx³u=tan x 2´;P=Z1
0
p2+x
1+xdx(x=u2−2).
Exercice 2 — Déterminer une primitive des fonctions suivantes en précisant le
ou les intervalle(s) de validité :
f1:x7→ x
p4+x2;f2:x7→ epx px;f3:x7→ x2 p5+x3;f4:x7→ x2
4
p(x3+1)7;
f5:x7→ x
cos2(x);f6:x7→arctan(x) ; f7:x7→arcsin(x) ; f8:x7→ln(1+x2) ;
g1:x7→sin2x;g2:x7→cos2x;g3:x7→sin2xcos3x;g4x7→sin4xcos2x;
g5:x7→sin(ln(x)) ; g6:x7→cos(ln(x)) ; g7:x7→sin(2x)ln(tan x) ;
g8:x7→ 1
tan3x(u=cos(2x)) ; g9:x7→ cos4x sinx;g10 :x7→ cos3x 1−2sinx;
h1:x7→ 1
2x2+5x+2;h2:x7→ 3−2x (5−x)2;h3:x7→ x3 x4−x2+1(u=x2) ;
h4:x7→ x3−2x
(x+1)2;h5:x7→ x x4−x2−2(u=x2) ; h6:x7→ 1 ex+e−x.
h7:x7→ 5x−3
p4x−4x2(u=2x−1) ; h8:x7→ e2x+ex
e2x+ex+1.
Exercice 3 — Pour tout x>1, on pose F(x)=Zx2
x
cosµ2πln(lnt)
ln2 ¶dt tlnt.
1. Justifier l’existence de F(x).
2. Calculer F(x) en posant u=ln(lnt).
Exercice 4 —
1. Calculer Z1
0j4x+1
2kdxet Z1
0sup¡x,(x−1)2¢dx.
Exercice 5 —
1. Pour n∈N, on pose In=Zπ/2
0
sin[(2n+1)x]
sinxdx.
a) Calculer In+1−In.
b) En déduire la valeur de Inpour tout n.
2. Reprendre la question précédente avec Jn=Zπ/2
0
sin(2nx)
sinxdx(n∈N).
Exercice 6 — Série harmonique
1. On pose pour n∈N∗,un=
n
X
k=1
1
k.
À l’aide d’un encadrement somme/intégrale, montrer que :
un∼
n→+∞ lnn.
2. On pose alors vn=un−lnnpour nÊ1. Montrer que (vn)n∈N∗converge.
–1–

Exercice 7 — Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit f:[a,b]→Rune fonction de classe C1sur [a,b].
Montrer que Zb
a
f(x)sin(nx) dx−−−−−→
n→+∞ 0.
Exercice 8 — Calculer lim
n→+∞Snquand :
Sn=
n
X
k=1
n+k
n2+k2;Sn=
n
X
k=1
k2
n2pn3+k3;Sn=
n
X
k=1
k
n2sinµkπ n+1¶;
Sn=
n
X
k=1
1
ksinµkπ n+1¶;Sn=1 n
n
sn
Y
k=1
(n+k) ; Sn=
n
X
k=1
sinµk
n¶sinµk n2¶.
Exercice 9 — Pour n∈N, on pose In=Z1
0xne−xdx.
1. a) Montrer que :
∀n∈N, 0 ÉInÉ1
n+1
b) En déduire que la suite (In) converge et donner sa limite.
2. Établir que :
∀n∈N,In=1
(n+1)e +In+1 n+1
3. a) En déduire que :
∀n∈N, 0 ÉIn−1
(n+1)e É1 (n+1)(n+2)
b) Trouver un équivalent simple de Inquand ntend vers +∞.
Exercice 10 — On considère la suite d’intégrales Jn=Z1
0
e−nx
ex+1dxoù n∈N.
1. Calculer I=Z1
0
ex
ex+1dx.
Exprimer J0en fonction de Iet en déduire la valeur de J0.
2. Montrer que, pour nÊ1, 0 ÉJnÉ1
n.
En déduire la limite de la suite (Jn)n∈N.
3. Montrer que la suite (Jn)n∈Nest décroissante.
En déduire sans calcul supplémentaire que :
1
2(Jn+Jn+1)ÉJnÉ1 2(Jn−1+Jn).
4. Calculer la valeur de Jn+Jn+1en fonction de n.
5. En déduire la limite de la suite (nJn)n∈N∗.
Exercice 11 — Montrer que :
π2
16 ÉZπ
2
0
x
1+sinxdxÉπ2 8.
Exercice 12 — Soient (un)n∈Net (vn)n∈Nles suites définies par :
un=
n
X
k=0
(−1)k
k+1et vn=un−ln2.
1. Calculer pour x∈[0,1], la quantité fn(x)=
n
X
k=0
(−1)kxk.
2. En intégrant fn, montrer que :
vn=(−1)nZ1
0
xn+1
1+xdx.
3. En déduire que lim
n→+∞un=ln2.
4. Calculer Sn=
n
X
k=0
vket en déduire lim
n→+∞Sn.
Exercice 13 — On pose :
I=Zπ
6
0
cos2x
cos2xdxet J=Zπ
6
0
sin2x
cos2xdx.
1. Calculer I−Jpuis I+J(on pourra poser u=tanx).
2. En déduire les valeurs de Iet J.
–2–

LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2016/2017 TD 6 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
B Intégrales impropres
Exercice 14 — Établir la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes.
A=Z1
0
ln(1−t)
(1+t)2dt;B=Z1
0
dx
px(1−x);C=Z+∞
0
lnt
1+t2dt;
D=Z+∞
0
dx
(x+1)(x+2)(x+3) ;E=Z+∞
0e−pxdx;F=Z+∞ 0
dx
pex+1;
G=Z+∞
0lnµ1+1
t2¶dt;H=Z+∞
0
x3
1+x8dx;I=Z1
0
x3
p1−x2dx.
Exercice 15 — Étudier la nature de l’intégrale des intégrales suivantes :
I1=Z1
0
dx
x−px;I2=Z+∞
0
e−t
t+adt(aÊ0) ; I3=Z+∞
0
xsinx
1+x2dx;
I4=Z+∞
1(pt2+1−t) dt;I5=Z1 0sinµ1
t¶dt;I6=Z+∞
0
1−th(x)
xαdx(α∈R).
Exercice 16 — Étudier la nature des intégrales impropres suivantes.
Z+∞
1
lnx
px3+x+1dx;Z+∞
1³x+1−px2+2x´dx;Z1 0
dx
ex−cos(x).
Exercice 17 — Établir la nature des intégrales suivantes.
J1=Z+∞
0(x+2−px2+4x+1) dx;J2=Z+∞ 0lnµ1+1
t2¶dt;
J3=Z1
0
dx
n
p1−xn;J3=Z+∞
1
dx
|xα−1|β;J5=Z+∞
2/π
lnµcosµ1
x¶¶dx.
Exercice 18 —
1. Établir pour n∈N∗la convergence de l’intégrale :
In=Z+∞
0
dt
(1+t2)n
2. Déterminer une relation entre Inet In+1pour nÊ1.
3. En déduire la valeur de Inpour n∈N∗.
Exercice 19 —
1. Soit α∈]0,1]. Montrer la convergence de l’intégrale Iα=Z+∞
0
sinx
xαdx.
2. Quelle est la nature de l’intégrale J=Z+∞
0sin(x)·sinµ1
x¶dx?
3. Donner un équivalent de lnµ1+sint
pt¶au voisinage de +∞.
Quelle est la nature de l’intégrale Z+∞
1lnµ1+sint
pt¶dt?
Exercice 20 — Intégrales de Bertrand
Soit a> 1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur ( α,β ) ∈R2 pour
que l’intégrale suivante converge :
Iα,β=Z+∞
a
dt
tαlnβt
Exercice 21 — Soit a,b∈R∗
+avec a<bet x∈R.
1. Montrer que :
Zb
a
e−xt
tdt=ln b a+Zx
0
e−bu −e−au
udu.
2. En déduire la convergence et la valeur de :
Z+∞
0
e−bu −e−au
udu
–3–

Exercice 22 —
1. Calculer, pour tout n∈N,In=Z+∞
0tne−tdt.
2. Montrer que l’intégrale Z1
0
ln(1−t2)
t2dtconverge et déterminer sa valeur.
Exercice 23 —
1. Montrer la convergence et calculer I=Z1
−1r1−t
1+tdt.
2. Calculer J=Zπ
−π
1−2cosx
5−4cosxdx.
3. Montrer la convergence et calculer :
K=Z+∞
1
dt
(2t−1)pt2−1.
Exercice 24 — On pose :
I=Zπ/2
0ln(sint) dtet J=Zπ/2 0ln(cost) dt
1. Justifier l’existence de Iainsi que de J.
2. Prouver que I=J.
3. Calculer I+J. En déduire la valeur de I.
Exercice 25 — Soit ϕ:t7→ 1
t−arctanµ1 t¶.
1. Déterminer un équivalent de ϕen +∞.
2. En déduire la nature de l’intégrale Z+∞
1ϕ(t) dt.
3. Calculer la valeur de cette intégrale.
Exercice 26 —
1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que l’intégrale
Z+∞
1
sint
t
d t
est convergente.
2. Montrer que cette intégrale est semi-convergente.
Exercice 27 — On pose pour tout x>0,
f(x)=Z+∞
x
sint
t2dt.
1. Montrer que fest bien définie sur R∗
+.
2. Montrer que f(x)+lnxa une limite finie lorsque x→0+.
3. En intégrant deux fois par parties, montrer qu’au voisinage de +∞,ona:
f(x)=cosx
x2+oµ1
x5/2 ¶.
4. On pose I=Z+∞
0x f (x) dx. Prouver que l’intégrale converge et calculer I.
Exercice 28 — Étudier et représenter graphiquement la fonction fdéfinie par :
f(x)=xZx
0
e−t
p|t|dt
Exercice 29 — Soit f:x7→Z+∞
x
ei t2dt.
Montrer que fest définie et de classe C1sur Ret que pour tout x>0,
f(x)=1−ei x2
2i x +1 2iZ+∞
x
1−ei t2
t2dt.
–4–