TD – Intégrales généralisées

LYCÉE C HAPTAL – PT* – 2016/2017
TD 6
g 8 : x 7→
TD – Intégrales généralisées
h 1 : x 7→
A Intégrales sur un segment
1
x +1
A=
dx ;
2
−1 x + 4x + 5
3
1
Z
B=
0
2
x +2
dx ;
2
x − 4x + 4
1
Z
C=
0
3x + 2
x 2 + 3x + 2
7
1
Z
Z
D=
p
f 1 : x 7→ p
;
4 + x2
f 5 : x 7→
x
;
cos2 (x)
g 1 : x 7→ sin2 x ;
e x
f 2 : x 7→ p ;
x
x2
f 3 : x 7→ p
;
5 + x3
f 6 : x 7→ arctan(x) ;
g 2 : x 7→ cos2 x ;
g 5 : x 7→ sin(ln(x)) ;
f 4 : x 7→ p
4
f 7 : x 7→ arcsin(x) ;
g 3 : x 7→ sin2 x cos3 x ;
g 6 : x 7→ cos(ln(x)) ;
x2
(x 3 + 1)7
(u = x 2 ) ;
h 6 : x 7→
h 8 : x 7→
(u = 2x − 1) ;
Exercice 3 — Pour tout x > 1, on pose F (x) =
cos3 x
;
1 − 2 sin x
x3
x4 − x2 + 1
x2
x
(u = x 2 ) ;
ex
1
.
+ e−x
e2x + ex
.
e2x + ex + 1
¶
2π ln(ln t ) dt
cos
.
ln 2
t ln t
µ
1. Justifier l’existence de F (x).
2. Calculer F (x) en posant u = ln(ln t ).
Exercice 4 —
1. Calculer
Z 1j
Z 1
¡
¢
1k
4x +
sup x, (x − 1)2 dx.
dx et
2
0
0
Exercice 5 —
1. Pour n ∈ N, on pose I n =
π/2
Z
0
sin [(2n + 1)x]
dx.
sin x
a) Calculer I n+1 − I n .
b) En déduire la valeur de I n pour tout n.
π/2
Z
Exercice 2 — Déterminer une primitive des fonctions suivantes en précisant le
ou les intervalle(s) de validité :
x
x4 − x2 − 2
g 10 : x 7→
h 3 : x 7→
3 − 2x
;
(5 − x)2
x
h 5 : x 7→
cos4 x
;
sin x
Z
π
3
3
x
−x − 2x + 4x + 9
dx
4
dx ; E =
;
¡
¢2 dx (u = x ) ; F =
2
2
x + 4x + 7
2 x4 − 1
−2
0 cos (x)
Z 1
Z 2p
Z 1
p
4 − x2
(x
−
1)
t
arctan
t
dt
;
I
=
G=
dx
;
H
=
3 + 2x − x 2 dx
x2
0
1
0
Z π
Z π
Z 1
2
sin3 t cos t
dx
;
L
=
J=
e4x sin(5x) dx ; K =
dt (u = cos 2t ) ;
x
−x
2
0 1 + cos 2t
0
−1 2 + e + e
Z π
Z π
2
sin t
M=
cos x ln(1 + cos x) dx ; N =
dt (u = π − t ) ;
1
+
cos2 t
0
0
Z 1p
Z π
³
2
dx
x´
2+x
O=
u = tan
; P=
dx (x = u 2 − 2).
2
0 1 + sin x
0 1+x
Z
x 3 − 2x
;
(x + 1)2
h 2 : x 7→
5x − 3
h 7 : x 7→ p
4x − 4x 2
dx ;
g 9 : x 7→
(u = cos(2x)) ;
1
;
2
2x + 5x + 2
h 4 : x 7→
Exercice 1 — Calculer les intégrales suivantes à l’aide du changement de variable
proposé, le cas échéant.
Z
1
tan3 x
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
2. Reprendre la question précédente avec J n =
0
sin(2nx)
dx (n ∈ N).
sin x
Exercice 6 — Série harmonique
;
n 1
X
.
k=1 k
À l’aide d’un encadrement somme/intégrale, montrer que :
1. On pose pour n ∈ N∗ , u n =
f 8 : x 7→ ln(1 + x 2 ) ;
un
g 4 x 7→ sin4 x cos2 x ;
g 7 : x 7→ sin(2x) ln(tan x) ;
∼
n→+∞
ln n.
2. On pose alors v n = u n − ln n pour n Ê 1. Montrer que (v n )n∈N∗ converge.
–1–
3. Montrer que la suite (J n )n∈N est décroissante.
En déduire sans calcul supplémentaire que :
Exercice 7 — Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit f : [ a , b ] → R une fonction de classe C 1 sur [ a , b ].
Z b
f (x) sin(nx) dx −−−−−→ 0.
Montrer que
1
1
(J n + J n+1 ) É J n É (J n−1 + J n ).
2
2
n→+∞
a
Exercice 8 — Calculer lim S n quand :
4. Calculer la valeur de J n + J n+1 en fonction de n.
n→+∞
5. En déduire la limite de la suite (n J n )n∈N∗ .
n
n
n k
X
X
X
n +k
k2
kπ
;
S
=
sin
;
S
=
;
p
n
n
2
2
2
2
3
3
n +1
n +k
k=1 n + k
k=1 n
k=1 n
s
¶
µ ¶
µ
µ ¶
n 1
n
n
X
X
1 n Y
k
kπ
k
Sn =
; Sn =
sin 2 .
sin
(n + k) ; S n =
sin
n +1
n k=1
n
n
k=1 k
k=1
µ
¶
Sn =
Exercice 9 — Pour n ∈ N, on pose I n =
1.
1
Z
Exercice 11 — Montrer que :
π2
É
16
0
un =
1
n +1
b) En déduire que la suite (I n ) converge et donner sa limite.
0 É In É
3.
1
1
0 É In −
É
(n + 1)e (n + 1)(n + 2)
n
Z
1
0
x n+1
dx.
1+x
3. En déduire que lim u n = ln 2.
n→+∞
b) Trouver un équivalent simple de I n quand n tend vers +∞.
4. Calculer S n =
1
(−1)k x k .
2. En intégrant f n , montrer que :
v n = (−1)
Z
n
X
k=0
I n+1
1
+
In =
(n + 1)e n + 1
a) En déduire que :
∀n ∈ N,
n (−1)k
X
et v n = u n − ln 2.
k=0 k + 1
1. Calculer pour x ∈ [0, 1], la quantité f n (x) =
2. Établir que :
∀n ∈ N,
0
x
π2
dx É
.
1 + sin x
8
Exercice 12 — Soient (u n )n∈N et (v n )n∈N les suites définies par :
x n e−x dx.
a) Montrer que :
∀n ∈ N,
π
2
Z
e−nx
dx où n ∈ N.
ex + 1
n
X
v k et en déduire lim S n .
n→+∞
k=0
Exercice 10 — On considère la suite d’intégrales J n =
0
Z 1
ex
1. Calculer I =
dx.
x
0 e +1
Exprimer J 0 en fonction de I et en déduire la valeur de J 0 .
1
2. Montrer que, pour n Ê 1, 0 É J n É .
n
En déduire la limite de la suite (J n )n∈N .
Exercice 13 — On pose :
Z π
2
6 cos x
dx
I=
0 cos 2x
π
6
Z
et
J=
0
sin2 x
dx.
cos 2x
1. Calculer I − J puis I + J (on pourra poser u = tan x).
2. En déduire les valeurs de I et J .
–2–
LYCÉE C HAPTAL – PT* – 2016/2017
TD 6
B Intégrales impropres
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
Exercice 18 —
1. Établir pour n ∈ N∗ la convergence de l’intégrale :
Exercice 14 — Établir la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes.
1
Z
A=
0
ln(1 − t )
dt ;
(1 + t )2
1
Z
B=
p
dx
C=
;
x(1 − x)
Z +∞ p
e− x dx ;
E=
0
+∞
dx
;
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
0
0
¶
Z +∞ µ
Z +∞
1
x3
ln 1 + 2 dt ; H =
dx ;
G=
t
1 + x8
0
0
Z
D=
+∞
Z
ln t
dt ;
1+ t2
0
+∞
Z
F=
I=
0
0
3. En déduire la valeur de I n pour n ∈ N∗ .
dx
;
p
ex + 1
Exercice 19 —
+∞ sin x
1. Soit α ∈]0, 1]. Montrer la convergence de l’intégrale I α =
dx.
xα
µ ¶0
Z +∞
1
sin(x) · sin
2. Quelle est la nature de l’intégrale J =
dx ?
x
¶0
µ
sin t
au voisinage de +∞.
3. Donner un équivalent de ln 1 + p
¶
Z t+∞ µ
sin t
Quelle est la nature de l’intégrale
ln 1 + p
dt ?
t
1
Z
dx.
p
1 − x2
Exercice 15 — Étudier la nature de l’intégrale des intégrales suivantes :
1
Z
I1 =
+∞
Z
I4 =
(
dx
p ;
x− x
0
p
1
+∞
Z
I2 =
0
e−t
dt
t +a
1
Z
t 2 + 1 − t ) dt ;
I5 =
sin
0
+∞
Z
I3 =
(a Ê 0) ;
µ ¶
1
dt ;
t
+∞
Z
I6 =
0
0
x sin x
dx ;
1 + x2
1 − th(x)
dx
xα
(α ∈ R).
Exercice 20 — Intégrales de Bertrand
Soit a > 1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur (α, β) ∈ R2 pour
que l’intégrale suivante converge :
Exercice 16 — Étudier la nature des intégrales impropres suivantes.
+∞
Z
p
1
ln x
+∞ ³
Z
x3 + x + 1
dx ;
1
x +1−
p
x 2 + 2x
1
Z
´
dx ;
0
0
dt
(1 + t 2 )n
2. Déterminer une relation entre I n et I n+1 pour n Ê 1.
x3
1
Z
+∞
Z
In =
+∞
Z
dx
.
ex − cos(x)
I α,β =
a
dt
t α lnβ t
Exercice 21 — Soit a, b ∈ R∗+ avec a < b et x ∈ R.
Exercice 17 — Établir la nature des intégrales suivantes.
1. Montrer que :
+∞
Z
J1 =
1
Z
J3 =
0
0
(x + 2 −
dx
;
p
n
1 − xn
p
x 2 + 4x + 1) dx ;
+∞
Z
J3 =
1
dx
|x α − 1|β
+∞
Z
J2 =
0
Z
;
J5 =
¶
µ
1
ln 1 + 2 dt ;
t
+∞
2/π
Z
b
a
µ
µ ¶¶
1
ln cos
dx.
x
e−xt
b
dt = ln +
t
a
x
Z
0
e−bu − e−au
du.
u
2. En déduire la convergence et la valeur de :
+∞
Z
0
–3–
e−bu − e−au
du
u
Exercice 27 — On pose pour tout x > 0,
Exercice 22 —
Z
+∞
n −t
1. Calculer, pour tout n ∈ N, I n =
t e dt .
0
Z 1
ln(1 − t 2 )
2. Montrer que l’intégrale
dt converge et déterminer sa valeur.
t2
0
+∞
Z
f (x) =
sin t
dt .
t2
x
1. Montrer que f est bien définie sur R∗+ .
2. Montrer que f (x) + ln x a une limite finie lorsque x → 0+ .
Exercice 23 —
3. En intégrant deux fois par parties, montrer qu’au voisinage de +∞, on a :
µ
¶
1
cos x
f (x) = 2 + o 5/2 .
x
x
Z +∞
x f (x) dx. Prouver que l’intégrale converge et calculer I .
4. On pose I =
r
Z 1
1−t
1. Montrer la convergence et calculer I =
dt .
1+t
−1
Z π
1 − 2 cos x
2. Calculer J =
dx.
−π 5 − 4 cos x
3. Montrer la convergence et calculer :
Z +∞
dt
.
K=
p
1
(2t − 1) t 2 − 1
0
Exercice 28 — Étudier et représenter graphiquement la fonction f définie par :
Exercice 24 — On pose :
π/2
Z
I=
x
Z
f (x) = x
0
π/2
Z
ln(sin t ) dt et J =
0
e−t
p dt
|t |
ln(cos t ) dt
0
+∞
Z
2
ei t dt .
1. Justifier l’existence de I ainsi que de J .
Exercice 29 — Soit f : x 7→
2. Prouver que I = J .
Montrer que f est définie et de classe C 1 sur R et que pour tout x > 0,
x
3. Calculer I + J . En déduire la valeur de I .
2
f (x) =
µ ¶
1
1
Exercice 25 — Soit ϕ : t 7→ − arctan
.
t
t
1. Déterminer un équivalent de ϕ en +∞.
Z +∞
2. En déduire la nature de l’intégrale
ϕ(t ) dt .
1
3. Calculer la valeur de cette intégrale.
Exercice 26 —
+∞
Z
1. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que l’intégrale
est convergente.
1
sin t
dt
t
2. Montrer que cette intégrale est semi-convergente.
–4–
1 − ei x
1
+
2i x
2i
+∞
Z
x
2
1 − ei t
dt .
t2