Mathématiques pour le traitement d`images DUT Informatique

Math´ematiques pour
le traitement d’images
DUT Informatique, semestre 3
Version 2.1
31 octobre 2013
Ph. Roux
2006-2013

2

Table des mati`eres
Table des mati`eres 3
Notationsetrappels .............................. 5
Analyser´eelle ............................... 5
Nombrescomplexes............................ 6
1 Approximation des fonctions de Rdans R............... 7
1.1 Notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 D´eveloppements limit´es (DL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 D´eveloppement asymptotiques (DA) . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Fonctions de R2dans R......................... 18
2.1 Continuit´e des fonctions `a deux variables . . . . . . . . . . . . 18
2.2 D´erivation des fonctions `a deux variables . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Int´egration des fonctions `a deux variables . . . . . . . . . . . . 30
3 Convergence/divergence de s´eries et d’int´egrales . . . . . . . . . . . . 32
3.1 G´en´eralit´es sur les s´eries et int´egrales impropres . . . . . . . . 32
3.2 S´eries et int´egrales `a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 S´eries et int´egrales de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . 44
4 Int´egrales d´ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1 Interversion de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Applications aux fonctions d´efinies par des s´eries . . . . . . . 51
4.3 Applications aux fonctions d´efinies par des int´egrales . . . . . 54
5 Outils pour le traitement d’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1 Convolution............................ 60
5.2 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Les s´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6 Quelques logiciels pour le traitement d’images . . . . . . . . . . . . . 78
6.1 La toolboxe sivp pour Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Transformation de Fourier avec scilab . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3 La librairie ImageMagic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Bibliographie 87
3

Avertissement
Pour bien utiliser ce polycopi´e, il faut le lire au fur et `a mesure de l’avancement
du cours magistral, et prendre le temps de refaire les exercices types qui y sont
propos´es.
•Les d´efinitions et th´eor`emes sont num´erot´es suivant le mˆeme ordre que dans le
cours magistral. Ils apparaissent dans un cadre gris´e et sont en g´en´eral suivit
de leur d´emonstration, signal´ee par une barre dans la marge et un `a la fin.
•La table des mati`eres et l’index (`a la fin du document) permettent de retrouver
une notion pr´ecise dans ce polycopi´e.
•Les m´ethodes et techniques qui seront approfondies en TD sont signal´ees par
un cadre (sans couleurs)
•Des exercices types corrig´es, et surtout r´edig´es comme vous devriez le faire en
DS, sont signal´es par le symbole :
•Les erreurs et les confusions les plus fr´equentes sont signal´ees dans des cadres
rouges avec le symbole :
4

DUT Informatique Maths pour le traitement d’images Math´ematiques
Notations et rappels
Analyse r´eelle
Dans ce cours nous allons revoir et approfondir un certain nombre de notions
vue en premi`ere ann´ee. La premi`ere est la notion de fonction continue :
D´efinition 0.1 (Continuit´e) On dit que f:R→Rest continue sur un intervalle
Isi et seulement si :
∀x∈I, lim
t→xf(t) = f(x)
la seconde notion est celle de d´eriv´ee :
D´efinition 0.2 (D´eriv´ees) On dit que f:R→Rest d´erivable sur un intervalle
Isi et seulement si :
∃f′:R−→ R,∀x∈I, lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h=f′(x)
On d´efinit les d´eriv´ees successives f(n)=dn
dxnfde fpar
f(0) =f, f(1) =f′et f(k+1) =f(k)′
On a souvent besoin de supposer que des fonctions sont continues ou d´erivables
dans un petit intervalle autour d’un point. Pour simplifier la formulation de ce type
d’hypoth`eses on utilisera souvent la notion de voisinage :
D´efinition 0.3 (Voisinage)
un voisinage de x0∈Rest un intervalle Icontenant x0, selon les cas on aura :
•si x0= +∞alors I=]M, +∞[pour un M > 0(en g´en´eral tr`es grand),
•si x0=−∞ alors I=] − ∞,−M[pour un M > 0(en g´en´eral tr`es grand),
•sinon I=]x0−ε, x0+ε[pour un ε > 0(en g´en´eral assez petit).
Plus une fonction est d´erivable au voisinage d’un point plus on dira qu’elle est
≪r´eguli`ere ≫en ce point :
D´efinition 0.4 (R´egularit´e locale)
On dit que f:R→Rest de classe C0au voisinage de x0si fest continue sur un
voisinage Ide x0
On dit que f:R→Rest de classe Ckau voisinage de x0si il existe un voisinage
Ide x0o`u les d´eriv´ees successives de fsont continues :
f=f(0),f′=f(1),f′′ =f(2), . . .f(k)∈C0(I)
La plupart du temps les fonctions que nous utiliserons seront C∞(R) ou C∞(I) sur
un intervalle I⊂R. Le th´eor`eme suivant est tr`es important et nous l’utiliseront
constamment dans nos majorations :
Th´eor`eme 0.5 Soit f∈C0(I)ou I= [a, b]un intervalle ferm´e et born´e de Ralors
fest born´ee sur I:
∃C > 0,∀x∈I, |f(x)| ≤ C
5