Étudier des applications

Fiche méthodologique no6
Étudier des applications
Soit f:E→Fune application entre deux ensembles Eet F.
1 Étudier l’injectivité d’une application
1.1 À l’aide de la définition
Pour montrer que f:E→Fest injective, il suffit de prouver la proposition suivante :
∀(x1, x2)∈E2, f(x1) = f(x2) =⇒x1=x2.
Ainsi, on commence par fixer deux éléments quelconques de E, on suppose qu’ils ont
même image par fpuis on démontre que ces deux éléments sont égaux.
Réciproquement, pour montrer que f:E→Fn’est pas injective, il suffit de trouver
deux éléments distincts de Equi ont même image par f.
Exercice d’application 1
Montrer que l’application f:R2→R2,(x, y)7→ (x+y, x −y)est injective.
Exercice d’application 2
Étudier l’injectivité de l’application ϕ:{f∈RR|fdérivable} → RR, f 7→ f0.
1.2 À l’aide d’une équation
Pour montrer que f:E→Fest injective, il suffit de prouver que chaque élément de
Fadmet au plus un antécédent dans Epar f. Autrement dit, il suffit de prouver que
pour tout y∈F, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈Eadmet au plus une solution.
Réciproquement, s’il existe y∈Ftel que l’équation f(x) = yd’inconnue x∈Eadmet
au moins deux solutions alors f:E→Fn’est pas injective.
Exercice d’application 3
Étudier l’injectivité de l’application f:R2→R,(x, y)7→ x+y.
Exercice d’application 4
Étudier l’injectivité de l’application h:C→C, z 7→ z.
1.3 Cas d’une fonction réelle d’une variable
Si une fonction réelle d’une variable fest strictement monotone sur son ensemble de
départ E⊂Ralors f:E→Fest une application injective. Il suffit donc de dresser le
tableau des variations de fsur Epour étudier son injectivité.
Exercice d’application 5
Étudier l’injectivité de l’application f:R→R, x 7→ x3+ 3x2+ 6x+ 1.
Exercice d’application 6
Étudier l’injectivité de la fonction tangente sur son ensemble de définition.
2 Étudier la surjectivité d’une application
2.1 À l’aide de la définition
Pour montrer que f:E→Fest surjective, il suffit de prouver la proposition suivante :
∀y∈F, ∃x∈E, f(x) = y .
Ainsi, on commence par fixer un élément quelconque de Fpuis on détermine un anté-
cédent dans Ede cet élément par f.
Réciproquement, pour montrer que f:E→Fn’est pas surjective, il suffit de trouver
un élément qui n’admet aucun antécédent dans Epar f.
Exercice d’application 7
Montrer que l’application f:R2→R2,(x, y)7→ (x+y, x −y)est surjective.
Exercice d’application 8
Étudier la surjectivité de l’application ϕ:RR→R, f 7→ f(0).
2.2 À l’aide d’une équation
Pour montrer que f:E→Fest surjective, il suffit de prouver que chaque élément de
Fadmet au moins un antécédent dans Epar f. Autrement dit, il suffit de prouver que
pour tout y∈F, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈Eadmet au moins une solution.
Réciproquement, s’il existe y∈Ftel que l’équation f(x) = yd’inconnue x∈E
n’admet aucune solution alors f:E→Fn’est pas surjective.
Exercice d’application 9
Étudier la surjectivité de l’application f:R→R2, x 7→ (x, −x).
Exercice d’application 10
Étudier la surjectivité de l’application h:C→C, z 7→ ez.
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2.3 Cas d’une fonction réelle d’une variable
Si une fonction réelle d’une variable fest telle que l’image directe de son ensemble
de départ Erecouvre tout l’ensemble d’arrivée F, c’est-à-dire telle que f(E) = F,
alors f:E→Fest une application surjective. Il suffit donc de dresser le tableau des
variations de fsur Epour étudier sa surjectivité.
Exercice d’application 11
Étudier la surjectivité de la fonction f:R→R, x 7→ x3+ 6x2+ 9x+ 5.
Exercice d’application 12
Étudier la surjectivité de l’application f:R→R, x 7→ ex+e−x.
3 Étudier la bijectivité d’une application
3.1 À l’aide de la définition
Pour montrer que f:E→Fest bijective, il suffit de prouver qu’elle est injective et
surjective.
Réciproquement, pour montrer que f:E→Fn’est pas bijective, il suffit de prouver
qu’elle n’est pas injective ou qu’elle n’est pas surjective.
Exercice d’application 13
Étudier la bijectivité de l’application ϕ:RR→RR, f 7→ (x7→ f(−x)).
Exercice d’application 14
Étudier la bijectivité de l’application f:R3→R2,(x, y, z)7→ (x+y+z, x + 2y+ 3z).
Exercice d’application 15
Étudier la bijectivité de l’application f:R2→R3,(x, y)7→ (x+y, x + 2y, 2x+ 2y).
3.2 À l’aide d’une équation
Pour montrer que f:E→Fest bijective, il suffit de prouver que chaque élément de
Fadmet exactement un antécédent dans Epar f. Autrement dit, il suffit de prouver
que pour tout y∈F, l’équation f(x) = yd’inconnue x∈Eadmet une seule solution.
Réciproquement, s’il existe y∈Ftel que l’équation f(x) = yd’inconnue x∈E
n’admet aucune solution ou admet au moins deux solutions alors f:E→Fn’est pas
bijective.
Exercice d’application 16
Montrer que l’application f:R2→R2,(x, y)7→ (2x+ 3y, x + 2y)est bijective.
Exercice d’application 17
Étudier la bijectivité de l’application h:C\ {i} → C\ {1}, z 7→ z+2
z−i.
3.3 En utilisant le théorème de la bijection
Si une fonction réelle d’une variable fest continue et strictement monotone sur un
intervalle I⊂Ralors f(I)est un intervalle dont les bornes sont les limites de faux
bornes de Iet f:I→f(I)est une application bijective.
Il suffit donc de dresser le tableau des variations de fsur Ipour étudier sa bijectivité.
Exercice d’application 18
Montrer que la fonction f:x7→ √x2+ 1 −xréalise une bijection sur son ensemble de
définition dont on déterminera l’ensemble d’arrivée.
Exercice d’application 19
Montrer que la fonction f:x7→ 1
x−ln(x)restreinte à l’intervalle ]0,1[ réalise une bijection
dont on déterminera l’ensemble d’arrivée.
Exercice d’application 20
Étudier la bijectivité de l’application f:R\ {1} → R\ {1}, x 7→ x+2
x−1.
4 Calculer une bijection réciproque
4.1 En tant qu’application inverse
S’il existe une application g:F→Etelle que g◦f= IdEet f◦g= IdF, alors
l’application f:E→Fest bijective et l’application gobtenue est unique : c’est la
bijection réciproque g=f−1:F→Ede f:E→F.
Exercice d’application 21
Soit p:R3→R3une application telle que :
—p(λ−→ u+µ−→ v) = λp(−→ u) + µp(−→ v)pour tout (λ, −→ u , µ, −→ v)∈R×R3×R×R3,
— et p◦p=p.
On pose s= 2p−Id. Calculer s◦set montrer que sest une application bijective dont
on déterminera la bijection réciproque.
Exercice d’application 22
Montrer que l’application ϕ:RR→RR, f 7→ (x7→ f(x+ 1)) est bijective et calculer sa
bijection réciproque.
4.2 À l’aide d’une équation
Si f:E→Fest bijective, sa bijection réciproque est l’application f−1:F→Equi
associe à chaque élément de Fson unique antécédent dans Epar f. Autrement dit, si
l’équation f(x) = yd’inconnue x∈Eadmet une seule solution pour tout y∈F, alors
f:E→Fest bijective et sa bijection réciproque f−1:F→Es’obtient en associant à
chaque y∈Fl’unique solution x∈Eobtenue.
Conseil : c’est la méthode la plus simple en pratique car elle permet à la fois d’étudier
simplement la bijectivité de f:E→Fet de calculer la bijection réciproque si elle
existe.
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Exercice d’application 23
Soit α∈R?. Montrer que l’application f:R?
+→R? +, x 7→ xαest bijective et calculer sa
bijection réciproque.
Exercice d’application 24
Montrer que l’application f:R2→R2,(x, y)7→ (3x+ 2y, 4x+ 3y)est bijective et
calculer sa bijection réciproque.
Exercice d’application 25
Montrer que l’application h:{z∈C|Im(z)∈[0,2π[} → C?, z 7→ ezest bijective et
calculer sa bijection réciproque.
4.3 En reconnaissant une composition de plusieurs bijections
Si f:E→Fpeut s’écrire comme la composée de plusieurs applications bijectives,
de la forme f=fn◦···◦f2◦f1, alors f:E→Fest bijective et sa bijection réciproque
f−1:F→Eest donnée par la formule :
fn◦ ··· ◦ f2◦f1−1=f−1
1◦f−1 2◦ ··· ◦ f−1
n.
Attention : il est nécessaire de bien déterminer les ensembles de départ et d’arrivée de
chacune des applications fk(où k∈J1, nK) qui compose f(par exemple à l’aide des
tableaux de variations dans le cas de fonctions réelles d’une variable) afin de justifier la
bijectivité de chaque fk.
Conseil : cette méthode est surtout utile dans le cas de fonctions réelles d’une variable
afin de pouvoir utiliser le théorème de la bijection pour justifier chaque bijectivité.
Exercice d’application 26
Montrer que la fonction f:x7→ √3ecos(2x+1) −1restreinte à l’intervalle [0,1] réalise
une bijection dont on déterminera l’ensemble d’arrivée et sa bijection réciproque.
Exercice d’application 27
Montrer que la fonction f:x7→ 4 arctan(x)
π+2 arctan(x)réalise une bijection sur son ensemble de
définition dont on déterminera l’ensemble d’arrivée et sa bijection réciproque.
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