Étudier des applications

Fiche méthodologique no 6
1.3
Cas d’une fonction réelle d’une variable
Si une fonction réelle d’une variable f est strictement monotone sur son ensemble de
départ E ⊂ R alors f : E → F est une application injective. Il suffit donc de dresser le
tableau des variations de f sur E pour étudier son injectivité.
Étudier des applications
Exercice d’application 5
Étudier l’injectivité de l’application f : R → R, x 7→ x3 + 3x2 + 6x + 1.
Soit f : E → F une application entre deux ensembles E et F .
1
Exercice d’application 6
Étudier l’injectivité de la fonction tangente sur son ensemble de définition.
Étudier l’injectivité d’une application
1.1
2
À l’aide de la définition
Pour montrer que f : E → F est injective, il suffit de prouver la proposition suivante :
Étudier la surjectivité d’une application
2.1
À l’aide de la définition
Pour montrer que f : E → F est surjective, il suffit de prouver la proposition suivante :
∀(x1 , x2 ) ∈ E 2 , f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
∀y ∈ F, ∃x ∈ E, f (x) = y .
Ainsi, on commence par fixer deux éléments quelconques de E, on suppose qu’ils ont
même image par f puis on démontre que ces deux éléments sont égaux.
Réciproquement, pour montrer que f : E → F n’est pas injective, il suffit de trouver
deux éléments distincts de E qui ont même image par f .
Exercice d’application 1
Montrer que l’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + y, x − y) est injective.
Exercice d’application 7
Montrer que l’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (x + y, x − y) est surjective.
Exercice d’application 2
Étudier l’injectivité de l’application ϕ : {f ∈ RR | f dérivable} → RR , f 7→ f 0 .
1.2
Ainsi, on commence par fixer un élément quelconque de F puis on détermine un antécédent dans E de cet élément par f .
Réciproquement, pour montrer que f : E → F n’est pas surjective, il suffit de trouver
un élément qui n’admet aucun antécédent dans E par f .
Exercice d’application 8
Étudier la surjectivité de l’application ϕ : RR → R, f 7→ f (0).
À l’aide d’une équation
2.2
À l’aide d’une équation
Pour montrer que f : E → F est injective, il suffit de prouver que chaque élément de
F admet au plus un antécédent dans E par f . Autrement dit, il suffit de prouver que
pour tout y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E admet au plus une solution.
Réciproquement, s’il existe y ∈ F tel que l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E admet
au moins deux solutions alors f : E → F n’est pas injective.
Pour montrer que f : E → F est surjective, il suffit de prouver que chaque élément de
F admet au moins un antécédent dans E par f . Autrement dit, il suffit de prouver que
pour tout y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E admet au moins une solution.
Réciproquement, s’il existe y ∈ F tel que l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E
n’admet aucune solution alors f : E → F n’est pas surjective.
Exercice d’application 3
Étudier l’injectivité de l’application f : R2 → R, (x, y) 7→ x + y.
Exercice d’application 9
Étudier la surjectivité de l’application f : R → R2 , x 7→ (x, −x).
Exercice d’application 4
Étudier l’injectivité de l’application h : C → C, z 7→ z.
Exercice d’application 10
Étudier la surjectivité de l’application h : C → C, z 7→ ez .
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
1 sur 3
Sébastien Godillon
2.3
Cas d’une fonction réelle d’une variable
3.3
Si une fonction réelle d’une variable f est telle que l’image directe de son ensemble
de départ E recouvre tout l’ensemble d’arrivée F , c’est-à-dire telle que f (E) = F ,
alors f : E → F est une application surjective. Il suffit donc de dresser le tableau des
variations de f sur E pour étudier sa surjectivité.
Exercice d’application 12
Étudier la surjectivité de l’application f : R → R, x 7→ ex + e−x .
3.1
Exercice d’application 19
1
Montrer que la fonction f : x 7→ x−ln(x)
restreinte à l’intervalle ]0, 1[ réalise une bijection
dont on déterminera l’ensemble d’arrivée.
Étudier la bijectivité d’une application
Exercice d’application 20
Étudier la bijectivité de l’application f : R \ {1} → R \ {1}, x 7→
À l’aide de la définition
Pour montrer que f : E → F est bijective, il suffit de prouver qu’elle est injective et
surjective.
Réciproquement, pour montrer que f : E → F n’est pas bijective, il suffit de prouver
qu’elle n’est pas injective ou qu’elle n’est pas surjective.
Exercice d’application 13
Étudier la bijectivité de l’application ϕ : RR → RR , f 7→ (x 7→ f (−x)).
Exercice d’application 15
Étudier la bijectivité de l’application f : R2 → R3 , (x, y) 7→ (x + y, x + 2y, 2x + 2y).
À l’aide d’une équation
Pour montrer que f : E → F est bijective, il suffit de prouver que chaque élément de
F admet exactement un antécédent dans E par f . Autrement dit, il suffit de prouver
que pour tout y ∈ F , l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E admet une seule solution.
Réciproquement, s’il existe y ∈ F tel que l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E
n’admet aucune solution ou admet au moins deux solutions alors f : E → F n’est pas
bijective.
Exercice d’application 16
Montrer que l’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (2x + 3y, x + 2y) est bijective.
Exercice d’application 17
Étudier la bijectivité de l’application h : C \ {i} → C \ {1}, z 7→
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
z+2
z−i .
4
4.1
x+2
x−1 .
Calculer une bijection réciproque
En tant qu’application inverse
S’il existe une application g : F → E telle que g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF , alors
l’application f : E → F est bijective et l’application g obtenue est unique : c’est la
bijection réciproque g = f −1 : F → E de f : E → F .
Exercice d’application 21
Soit p : R3 → R3 une application telle que :
−
−
−
−
−
−
— p(λ→
u + µ→
v ) = λp(→
u ) + µp(→
v ) pour tout (λ, →
u , µ, →
v ) ∈ R × R3 × R × R3 ,
— et p ◦ p = p.
On pose s = 2p − Id. Calculer s ◦ s et montrer que s est une application bijective dont
on déterminera la bijection réciproque.
Exercice d’application 14
Étudier la bijectivité de l’application f : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (x + y + z, x + 2y + 3z).
3.2
Si une fonction réelle d’une variable f est continue et strictement monotone sur un
intervalle I ⊂ R alors f (I) est un intervalle dont les bornes sont les limites de f aux
bornes de I et f : I → f (I) est une application bijective.
Il suffit donc de dresser le tableau des variations de f sur I pour étudier sa bijectivité.
Exercice d’application 18
√
Montrer que la fonction f : x 7→ x2 + 1 − x réalise une bijection sur son ensemble de
définition dont on déterminera l’ensemble d’arrivée.
Exercice d’application 11
Étudier la surjectivité de la fonction f : R → R, x 7→ x3 + 6x2 + 9x + 5.
3
En utilisant le théorème de la bijection
Exercice d’application 22
Montrer que l’application ϕ : RR → RR , f 7→ (x 7→ f (x + 1)) est bijective et calculer sa
bijection réciproque.
4.2
À l’aide d’une équation
Si f : E → F est bijective, sa bijection réciproque est l’application f −1 : F → E qui
associe à chaque élément de F son unique antécédent dans E par f . Autrement dit, si
l’équation f (x) = y d’inconnue x ∈ E admet une seule solution pour tout y ∈ F , alors
f : E → F est bijective et sa bijection réciproque f −1 : F → E s’obtient en associant à
chaque y ∈ F l’unique solution x ∈ E obtenue.
Conseil : c’est la méthode la plus simple en pratique car elle permet à la fois d’étudier
simplement la bijectivité de f : E → F et de calculer la bijection réciproque si elle
existe.
2 sur 3
Sébastien Godillon
Exercice d’application 23
Soit α ∈ R? . Montrer que l’application f : R?+ → R?+ , x 7→ xα est bijective et calculer sa
bijection réciproque.
Exercice d’application 24
Montrer que l’application f : R2 → R2 , (x, y) 7→ (3x + 2y, 4x + 3y) est bijective et
calculer sa bijection réciproque.
Exercice d’application 25
Montrer que l’application h : {z ∈ C | Im(z) ∈ [0, 2π[} → C? , z 7→ ez est bijective et
calculer sa bijection réciproque.
4.3
En reconnaissant une composition de plusieurs bijections
Si f : E → F peut s’écrire comme la composée de plusieurs applications bijectives,
de la forme f = fn ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 , alors f : E → F est bijective et sa bijection réciproque
f −1 : F → E est donnée par la formule :
fn ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1
−1
= f1−1 ◦ f2−1 ◦ · · · ◦ fn−1 .
Attention : il est nécessaire de bien déterminer les ensembles de départ et d’arrivée de
chacune des applications fk (où k ∈ J1, nK) qui compose f (par exemple à l’aide des
tableaux de variations dans le cas de fonctions réelles d’une variable) afin de justifier la
bijectivité de chaque fk .
Conseil : cette méthode est surtout utile dans le cas de fonctions réelles d’une variable
afin de pouvoir utiliser le théorème de la bijection pour justifier chaque bijectivité.
Exercice d’application 26
√
Montrer que la fonction f : x 7→ 3ecos(2x+1) − 1 restreinte à l’intervalle [0, 1] réalise
une bijection dont on déterminera l’ensemble d’arrivée et sa bijection réciproque.
Exercice d’application 27
4 arctan(x)
Montrer que la fonction f : x 7→ π+2
arctan(x) réalise une bijection sur son ensemble de
définition dont on déterminera l’ensemble d’arrivée et sa bijection réciproque.
BCPST 1A lycée Hoche 2016-2017
3 sur 3
Sébastien Godillon