Dérivation - Math in LdH 09

Dérivation : Résumé de cours et méthodes
1Nombre dérivé - Fonction dérivée :
DÉFINITION
•Etant donné fest une fonction définie sur un intervalle Icontenant le réel a,fest dérivable en asi lim
h→0
f(a+h)−f(a)
hexiste
et est égale à un réel que l’on appelle alors nombre dérivé de fen aet que l’on note f0(a).
•Si fest dérivable pour tous les éléments de I, on dit que fest dérivable sur Iet on appelle dérivée de fla fonction, notée f0,
qui à tout ade Iassocie f0(a), le nombre dérivé de fen a.
Exemple : Soit fdéfinie sur Rpar f(x) = x2.
Pour tout a, lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=lim
h→0
(a+h)2−a2
h=lim
h→0
a2+2ah +h2−a2
h=lim
h→02a+h=2a.fest donc dérivable en aet
f0(a) = 2a.
On dit que fest dérivable sur Ret que sa fonction dérivée est définie par f0(x) = 2x.
2Dérivées des fonctions usuelles :
Fonction Fonction dérivée pour tout xde Exemples
f(x) = a f 0(x) = 0Rf(x) = 3⇒f0(x) = 0
f(x) = ax +b f 0(x) = aR
f(x) = x⇒f0(x) = 1
f(x) = 2x−4⇒f0(x) = 2
f(x) = xn(nentier >2)f0(x) = nxn−1R
f(x) = x2⇒f0(x) = 2x
f(x) = x3⇒f0(x) = 3x2
f(x) = 1
xf0(x) = −1 x2R∗
f(x) = 1
xn(nentier >2)f0(x) = −n xn+1R∗
f(x) = 1
x2⇒f0(x) = −2 x3
f(x) = 1
x3⇒f0(x) = −3 x4
f(x) = √x f 0(x) = 1
2√x]0;+∞[
f(x) = sinx f 0(x) = cosxR
f(x) = cosx f 0(x) = −sinxR
1S-Dérivation1

3Etude forme par forme des opérations sur les fonctions dérivables :
Avertissement : Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple à
dire que la dérivée de x2est égale à 2x(alors que nous devrions dire en fait que la dérivée de la fonction qui à xassocie x2est la
fonction qui à xassocie 2x).
Il ne faut jamais oublier que l’on ne doit pas confondre une fonction favec f(x)(l’image de xpar fqui est un réel) et que la
dérivée f0est elle-même une fonction qui à tout xassocie f0(x)(le nombre dérivé de fen x, qui est un réel).
Toujours par souci de simplification, nous ne nous préciserons pas dans les exemples les intervalles où les fonctions sont dérivables
afin de nous concentrer sur l’utilisation des formules.
3-1 Forme f+g
PROPRIÉTÉ
Si fet gsont deux fonctions dérivables sur un intervalle Ialors la fonction f+gest aussi dérivable sur Iet (f+g)0=f0+g0.
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x2+xest définie par :
f0(x) = 2x
|{z}
d´ eriv´ ee de x2
+1
|{z}
d´ eriv´ ee de x
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x3+4xest définie par :
f0(x) = 3x2
|{z}
d´ eriv´ ee de x3
+4
|{z}
d´ eriv´ ee de 4x
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = √x+1
xest définie par :
f0(x) = 1
2√x
|{z}
d´ eriv´ ee de √x
+(−1)
x2
|{z}
d´ eriv´ ee de 1
x
3-2 Forme k f (kréel)
PROPRIÉTÉ
Si fest une fonction dérivable sur un intervalle Iet si kest un réel alors la fonction k f est aussi dérivable sur Iet (k f )0=k f 0.
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 3x2est définie par :
f0(x) = 3×2x
|{z}
d´ eriv´ ee de x2
=6x
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = −5x3est définie par :
f0(x) = −5×3x2
|{z}
d´ eriv´ ee de x3
=−15x2
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 2
x=2×1 xest définie par :
f0(x) = 2×(−1)
x2
|{z}
d´ eriv´ ee de 1
x
=−2
x2
3-3 Forme f g
PROPRIÉTÉ
Si fet gsont deux fonctions dérivables sur un intervalle Ialors la fonction f g est aussi dérivable sur Iet (f g)0=f0g+f g0.
21S-Dérivation

Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x√xest définie par :
f0(x) = 1
|{z}
d´ eriv´ ee de x×√x+x×1
2√x
|{z}
d´ eriv´ ee de √x
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x2(3+√x)est définie par :
f0(x) = 2x
|{z}
d´ eriv´ ee de x2×(3+√x) + x2×1
2√x
|{z}
d´ eriv´ ee de 3+√x
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x2×sinxest définie par :
f0(x) = 2x
|{z}
d´ eriv´ ee de x2×sinx+x2×cosx
|{z}
d´ eriv´ ee de sin x
3-4 Forme f2
PROPRIÉTÉ
Si fest une fonction dérivable sur un intervalle Ialors la fonction f2est aussi dérivable sur Iet f20=2f0f.
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x)=(3x+1)2est définie par :
f0(x) = 2×3
|{z}
d´ eriv´ ee de 3x+1×(3x+1) = 6(3x+1)
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x3+4x2est définie par :
f0(x) = 2×(3x2+4)
|{z }
d´ eriv´ ee de x3+4x
×(x3+4x)
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x)=(cosx)2est définie par :
f0(x) = 2×(−sinx)
| {z }
d´ eriv´ ee de cos x
×(cosx) = −2×sinx×cosx
3-5 Forme 1
f
PROPRIÉTÉ
Si fest une fonction dérivable sur un intervalle I(où f(x)ne s’annule pas) alors la fonction 1
fest aussi dérivable sur Iet
1
f0=−f0 f2.
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 1
5x−1est définie par :
f0(x) = −
d´ eriv´ ee de 5x−1
z}|{
5
(5x−1)2
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 1
x2+3est définie par :
f0(x) = −
d´ eriv´ ee de x2+3
z}|{
2x
(x2+3)2
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 1
sinxest définie par :
f0(x) = −
d´ eriv´ ee de sin x
z}|{
cosx
(sinx)2
1S-Dérivation3

3-6 Forme f
g
PROPRIÉTÉ
Si fet gsont deux fonctions dérivables sur un intervalle I(où g(x)ne s’annule pas) alors la fonction f
gest aussi dérivable sur I
et f
g0=f0g−f g0 g2.
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 7x
2x+3est définie par :
f0(x) =
d´ eriv´ ee de 7x
z}|{
(7)×(2x+3)−(7x)×
d´ eriv´ ee de 2x+3
z}|{
(2)
(2x+3)2=14x+21 −14x (2x+3)2=21 (2x+3)2
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = x2
3x+1est définie par :
f0(x) =
d´ eriv´ ee de x2
z}|{
(2x)×(3x+1)−(x2)×
d´ eriv´ ee de 3x+1
z}|{
(3)
(3x+1)2=6x2+2x−3x2 (3x+1)2=3x2+2x (3x+1)2
3-7 Forme f(ax +b)(aet bréels)
PROPRIÉTÉ
Soit fdéfinie sur un intervalle I,aet bdeux réels et Jun intervalle tel que, pour tout xde J,ax +b∈I. Si fest dérivable sur I
alors la fonction gdéfinie par g(x) = f(ax +b)est dérivable sur Jet g0(x) = a×f0(ax +b).
Exemples de fonctionnement de cette formule :
1) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x)=(4x+5)3est définie par :
f0(x) = 4
|{z}
d´ eriv´ ee de 4x+5×3(4x+5)2
| {z }
on d´ erive comme x3mais avec 4x+5
=12(4x+5)2
2) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = √3x+1 est définie par :
f0(x) = 3
|{z}
d´ eriv´ ee de 3x+1×1
2√3x+1
| {z }
on d´ erive comme √xmais avec 3x+1
=3
2√3x+1
3) La dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = sin(−2x)est définie par :
f0(x) = −2
|{z}
d´ eriv´ ee de −2x
×cos(−2x)
| {z }
on d´ erive comme sin xmais avec −2x
=−2cos(−2x)
41S-Dérivation

4Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :
Fonction Fonction dérivée
f+g f 0+g0
k f (k∈R)k f 0
f g f 0g+f g0
f22f0f
1
f−f0 f2
f
g
f0g−f g0
g2
x7−→ f(ax +b)
(aet bréels) x7−→ a×f0(ax +b)
5Exemples de dérivation nécessitant l’utilisation de plusieurs formes :
La première chose à faire avant de dériver une fonction est de déterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) afin de déter-
miner quelles sont les formes à utiliser.
Exemples :
1) Dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 2x3+5x2+7x−5 :
La fonction se présente d’abord comme une somme de termes, on utilise donc la forme f+g(de dérivée f0+g0) et pour
dériver 2x3et 5x2on utilise la forme k f . Ce qui donne :
f0(x) = 2×(3x2)
|{z}
d´ eriv´ ee de x3
+5×(2x)
|{z}
d´ eriv´ ee de x2
+ (7)
|{z}
d´ eriv´ ee de 7x−5
=6x2+10x+7
2) Dérivée de la fonction fdéfinie par f(x)=(8x2+5)√x:
La fonction se présente sous la forme d’un produit, on utilise donc la forme f g (de dérivée f0g+f g0). La dérivée de 8x2
(forme k f ) est égale à 8 ×(dérivée de x2) = 8×(2x) = 16x. La dérivée de 5 est elle égale à 0. Donc la dérivée de 8x2+5
est égale à 16x.
D’où le résultat final :
f0(x) = 16x
|{z}
d´ eriv´ ee de 8x2+5×√x+ (8x2+5)×1
2√x
|{z}
d´ eriv´ ee de √x
=16x√x+8x2+5
2√x
3) Dérivée de la fonction fdéfinie par f(x) = 1
4−7x2:
La fonction se présente sous la forme d’un inverse, on va donc utiliser la forme 1
f(de dérivée −f0 f2). On aura donc besoin
de la dérivée de 4−7x2:
La dérivée de −7x2(forme k f ) est égale à −7×(dérivée de x2) = −7×(2x) = −14x. La dérivée de 4 étant nulle, la dérivée
de 4 −7x2sera donc égale à −14x.
D’où le résultat final :
f0(x) = −
d´ eriv´ ee de 4−7x2
z }| {
(−14x)
(4−7x2)2=14x (4−7x2)2
1S-Dérivation5