LM 110 - Analyse 3
Formule de Taylor-Lagrange
Montrer que ∀x∈R+:x−x3
6≤sin x≤x−x3
6+x5
120
– Montrons d’abord que x−x3
6≤sin x.
Taylor-Lagrange à l’ordre 2 entre 0et xappliqué à la fonciton x7−→ sin x.
∃c∈]0, x[ : sin x=x−x3
3! sin(3) (c) = x+x3
6cos c
Or −1≤cos c≤1⇔ −x3
6≤x3
6cos c≤x3
6⇔x−x3
6≤x−x3
6cos c
| {z }
=sin x
≤x+x3
6
Soit x−x3
6≤sin x
– Montrons ensuite que sin x≤x−x3
6+x5
120
Taylor-Lagrange à l’ordre 5 entre 0et xappliqué à la fonction x7−→ sin x.
∃c∈]0, x[ : sin x=x−x3
3! +x5
5! sin(5) (c) = x−x3
6+x5
120 cos c
Or −1≤cos c≤1⇔ − x5
120 ≤x5
120 cos c≤x5
120 ⇔x−x3
6−x5
120 ≤x−x3
6+x5
120 cos c
| {z }
=sin x
≤x−x3
6+x5
120
Soit sin x≤x−x3
6+x5
120
Ainsi, ∀x∈R+:x−x3
6≤sin x≤x−x3
6+x5
120
Formule de Taylor-Lagrange
Soit n∈N, montrer que :
∀x∈[0,1] : 1 + nx ≤(1 + x)n≤1 + nx +n(n−1) ×2n−3x2
On applique la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 1entre 0et xà la fonction x7−→ (1 + x)n
∃c∈]0,1[ : (1 + x)n= 1 + nx + ((1 + c)n)00 ×x2
2
Or on a : ((1 + x)n)0=n(1 + x)n−1
((1 + x)n)00 =n(n−1) (1 + x)n−2
Or 0< c < 1⇔1<1 + c < 2
⇔1<(1 + c)n−2<2n−2car x7−→ (1 + x)ncroissante sur R+
⇔0≤1<(1 + c)n−2<2n−2
⇔0≤n(n−1) (1 + c)n−2< n (n−1) ×2n−2
⇔0≤n(n−1) (1 + c)n−2×x2
2< n (n−1) ×2n−3x2
⇔1 + nx ≤1 + nx +n(n−1) (1 + c)n−2×x2
2
| {z }
=(1+x)n
≤1 + nx +n(n−1) ×2n−3x2
⇔1 + nx ≤(1 + x)n≤1 + nx +n(n−1) ×2n−3x2