Le puits infini

LectureNotes2016
Le puits infini
Exemples concrets de l’équation de Schrödinger
D’abord: le puits quantique infini
Le potentiel: V (x) =
⇢
0 si 0  x  a
1 ailleurs
-
Le système peut seulement exister entre x = 0 et x = a
-> pour x < 0 et pour x > a , nous avons: | (x)|2 = 0
-> (x) = 0 au dehors 0  x  a
-
Pour 0  x  a , V(x) = 0 et l’éq de Schrödinger sera:
~2 d2 (x)
= E (x)
2m dx2
ou
p
d2 (x)
2mE
2
=
k
(x)
k
⌘
avec
dx2
~
1
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Solutions
-
On trouve des solutions différentes pour (x) : n (x)
A chaque solution n (x) correspond une énergie En
-
Solution générale pour une telle éq. différentielle:
(x) = A sin kx + B cos kx
(A et B: constantes)
-
Trouver des expressions pour k et pour les constantes A
et B en utilisant les conditions aux limites et la condition
de normalisation
-
Conditions aux limites:
)
x=0
(0) = 0 et
)
n (x)
doit être continue
(a) = 0
(0) = 0 + B = 0
)
B=0
(x) = A sin kx
-
-
x=a )
(a) = A sin ka = 0
A = 0 n’est pas une solution normalisable
) sin ka = 0
) ka = 0, ±⇡, ±2⇡, ±3⇡ · · · = ±n⇡
(n: nombre entier)
k = 0 n’est pas possible (pas normalisable)
les solutions négatives ne changent rien
n⇡
kn =
avec n = 1, 2, 3 . . .
a
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Alors:
n (x) = A sin
n⇡x
a
n=1:
1 (x) = A sin
⇡x
a
n=2:
2 (x) = A sin
2⇡x
a
n=3:
3 (x) = A sin
3⇡x
a
La constante A ne change pas l’état dynamique
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Les énergies
-
n⇡x
a
correspondent aux énergies différentes:
Les solutions:
n (x)
= A sin
2 2
~2 kn2
2 ⇡ ~
En =
=n
2m
2ma2
avec
n = 1, 2, 3 . . .
-
L’énergie est “quantifiée”
-
Les énergies En sont les seules énergies qu’on peut
obtenir si on fait un mesure de l’énergie
-
Si le système est préparé dans l’état
-> on trouve l’énergie En
-
Si il est préparé dans une superposition de n et m ->
-> on trouve soit En , soit Em , avec des probabilités
qui dépendent de la superposition
-
Si, dans une mesure, on trouve l’énergie En ->
-> immédiatement après la mesure, le système se trouve
(avec 100% de probabilité) dans l’état n
n
->
-> une mesure est aussi une préparation d’un état
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-
L’état fondamental est E1
L’énergie de l’état
n
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est proportionnel à n2
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Normalisation
-
Pour qu’une interprétation statistique soit valide, les
fonctions d’onde doivent être normalisées:
Z 1
| n (x)|2 dx = 1
1
Normalisation = trouver la constante A
Z
1
Z
a
n⇡x
)
| n (x)| dx =
A sin
a
1
0

Z a
1
|A|2
sin2 kn x dx = |A|2
(kx
2k
0
|A|2
=
(ka
2k
|A|2 a
=
(n⇡
2n⇡
2
2
dx = 1
a
sin kx cos kx)
sin ka cos ka)
|A|2 a
sin n⇡ cos n⇡) =
= 1
2
r
2
plus facile: A =
a
n (x)
=
r
6
2
n⇡x
sin
a
a
0
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Densité de probabilité
Si je mesure la position du système, où est il probable de le
trouver?
Donné par: |
n=1:
n=2:
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n (x)|
2
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n=3:
n=4:
Il existe des positions où on ne trouve jamais le système
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