Le puits infini

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Le puits infini
Exemples concrets de l’équation de Schrödinger
D’abord: le puits quantique infini
Le potentiel:
V(x)=⇢0 si 0 xa
1ailleurs
- Le système peut seulement exister entre x = 0 et x = a
- -> pour x < 0 et pour x > a , nous avons:
| (x)|2=0
- ->
(x)=0
au dehors
0xa
- Pour
0xa
, V(x) = 0 et l’éq de Schrödinger sera:
~2
2m
d2 (x)
dx2=E (x)
ou
d2 (x)
dx2=k2 (x)
avec
k⌘
p2mE
~

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Solutions
- On trouve des solutions différentes pour
(x)
:
n(x)
- A chaque solution
n(x)
correspond une énergie En
- Solution générale pour une telle éq. différentielle:
(x)=Asin kx +Bcos kx
(A et B: constantes)
- Trouver des expressions pour k et pour les constantes A
et B en utilisant les conditions aux limites et la condition
de normalisation
- Conditions aux limites:
n(x)
doit être continue
) (0) = 0 et (a)=0
x=0 ) (0) = 0 + B=0 )B=0
(x)=Asin kx
x=a) (a)=Asin ka =0
-A = 0 n’est pas une solution normalisable
)sin ka =0
)ka =0,±⇡,±2⇡,±3⇡··· =±n⇡
(n: nombre entier)
-k = 0 n’est pas possible (pas normalisable)
- les solutions négatives ne changent rien
kn=
n⇡
a
avec
n=1,2,3...

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Alors:
n(x)=Asin n⇡x
a
n = 1 :
1(x)=Asin ⇡x
a
n = 2 :
2(x)=Asin 2⇡x
a
n = 3 :
3(x)=Asin 3⇡x
a
La constante A ne change pas l’état dynamique

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Les énergies
- Les solutions:
n(x)=Asin n⇡x
a
correspondent aux énergies différentes:
En=~2k2
n
2m=n2⇡2~2 2ma2
avec
n=1,2,3...
- L’énergie est “quantifiée”
- Les énergies En sont les seules énergies qu’on peut
obtenir si on fait un mesure de l’énergie
- Si le système est préparé dans l’état
n
->
-> on trouve l’énergie En
- Si il est préparé dans une superposition de
n
et
m
->
-> on trouve soit En , soit Em , avec des probabilités
qui dépendent de la superposition
- Si, dans une mesure, on trouve l’énergie En ->
-> immédiatement après la mesure, le système se trouve
(avec 100% de probabilité) dans l’état
n
-> une mesure est aussi une préparation d’un état

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- L’état fondamental est E1
- L’énergie de l’état
n
est proportionnel à n2