5 – Lois de probabilités discrètes – Espérance mathématique – Loi
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5 – Lois de probabilités discrètes – Espérance mathématique – Loi binomiale
Activité 1 : Modéliser une expérience aléatoire à l’aide d’une loi de probabilité discrète
On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée.
A partir de cette expérience, un jeu est proposé avec les règles suivantes :
Le joueur mise 5 € ;
S’il obtient 3 Piles, alors il empoche 12 € ;
S’il obtient exactement 2 Piles, alors il empoche 7 € ;
S’il obtient exactement 1 Pile, alors il empoche 2 € ;
S’il obtient 0 Pile, alors il n’empoche rien.
On voudrait modéliser ce jeu à l’aide d’un univers et d’une loi de probabilité adaptée.
1 – On appelle « gain algébrique » la somme réellement empochée par le joueur (gain – perte).
Donner les gains algébriques possibles pour ce jeu : .................................................................................
2 – Compléter le tableau suivant :
Gain algébrique
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
Probabilité
p1 =
p2 =
p3 =
p4 =
On a défini ci-dessus une loi de probabilité appelée loi de probabilité discrète.
Définition 6.5.1 : Soit E = { x1 , x2 , ... , xn } l’univers d’une expérience aléatoire.
Si toutes les issues sont des nombres réels, alors on dit que la loi de probabilité ci-dessous est discrète.
Issue
x1
x2
…
xn
Probabilité
p1
p2
…
pn
On appelle espérance mathématique de cette loi de probabilité, le nombre E défini par :
E = ......................................................................
On appelle variance de cette loi de probabilité le nombre V, défini par :
V = ..............................................................................................
On appelle écart type de cette loi de probabilité le nombre σ , défini par : σ = ...............
Exemple : On s’intéresse toujours à la loi de probabilité discrète définie ci-dessus.
1 – Calculer l’espérance mathématique de la loi de probabilité ci-dessus.
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2 – Quel sens peut-on donner à ce nombre ?
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3 – Calculer la variance et l’écart type de la loi de probabilité ci-dessus.
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Définition 6.5.2 : Expérience de Bernoulli – Loi de Bernoulli [Bernoulli – mathématicien suisse (1654 – 1705)]
Une expérience de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues appelées
()
succès ( S) et échec S , de probabilités respectives p et ……
La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
Issue
S
Probabilité
p
S
…………
Activité 2 : Etude d’un exemple de loi binomiale
On considère l’expérience aléatoire e qui consiste à lancer un dé à 6 faces bien équilibré.
On appelle S (succès) l’événement « Obtenir un 6 ».
On répète 3 fois cette expérience aléatoire dans des conditions d’indépendance.
1 – Représenter cette expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré.
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2 – Déterminer la loi de probabilité associée au nombre de succès.
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Cette loi de probabilité s’appelle la loi binomiale de paramètres 3 et
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Définition 6.5.3 : Loi binomiale
La loi de probabilité associée au nombre de succès dans la répétition de n expériences de Bernoulli de
paramètre p identiques et indépendantes s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p.
On la note B ( n ; p ) .
Exercice résolu : Un voyageur prend tous les matins le train sans payer. Le prix du billet est de 4,5 €, celui de
l'amende est de 30 €. A chaque voyage, il a une probabilité p =
1
de se faire contrôler.
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On suppose que les contrôles sont indépendants et que le voyageur fait 4 voyages par semaine.
a) Déterminer la loi de probabilité associée au nombre de contrôles subis par la voyageur en une semaine.
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b) En déduire la loi de probabilité associée au prix payé par le voyageur en une semaine.
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c) Calculer l’espérance mathématique de cette dernière loi de probabilité. Que peut-on en déduire ?
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