DM LC Novembre 2011 Corrigé

Université Joseph Fourier - Grenoble I
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence - L1
Devoir à la Maison, Novembre 2011
Lois de Conservation et Fluides
Ce Devoir est supposé pouvoir être traité en 2 heures environ.
Une partie de la note portera sur les explications accompagnant les calculs.
On donnera toujours les expressions littérales avant de faire les applications numériques.
Puissance d’une voiture - Corrigé A. Montée
On considère une voiture de masse M qui roule à la vitesse v constante sur une route
rectiligne, inclinée d’un angle α (cf. Figure 1). Dans cette partie, on néglige les frottements.
!
Figure 1.
1. Exprimer la vitesse ascensionnelle de la voiture va, (composante verticale de la vitesse)
en fonction de v et de α.
La vitesse peut être décomposée en une composante horizontale et une composante
ascensionnelle : v = vh + va et on voit que || va || = || v || x sin α = v sin α.
0,5 pt
!
!
!
2. Exprimer l’augmentation de l’énergie potentielle ∆Ep de la voiture dans un intervalle de
temps ∆t en fonction de M, g, va et ∆t.
Dans un intervalle de temps ∆t, l’altitude de la voiture a augmenté de va ∆t. L’augmentation
de l’énergie potentielle s’écrit donc : ∆Ep = Mg va ∆t.
0,5 pt
3. Exprimer alors la puissance mécanique Pm nécessaire pour faire monter la voiture en
fonction de M, g, v et α.
La puissance mécanique Pm nécessaire pour faire monter la voiture s’écrit simplement :
Pm = ∆Ep / ∆t = Mg va = Mg v sin α.
1 pt
4. Application numérique : on donne v = 50 km/h ; M = 1,2 tonne ; α = 5° ; g ≈ 10 ms-2.
Calculer Pm.
Pm = Mg v sin α = 1200 kg x 10 m.s-2 x (50 000/3600) m.s-1 x sin 5° ≈ 14,5 kW
0,5 pt
5. À l’instant t = 0, le conducteur se met en roues libres. Expliquer ce qui se passe et
exprimer la distance ∆l parcourue par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.
On peut écrire que l’énergie cinétique du véhicule se transforme intégralement en énergie
potentielle (on suppose toujours que les frottements sont négligeables) :
0,5 pt
2
2
Ec = Ep soit ½ Mv = Mg ∆z soit ∆z = v / 2g (∆z est l’accroissement d’altitude).
D’où la distance parcourue le long de la route : ∆l = ∆z / sin α = v2/(2g sin α).
0,5 pt
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6. Application numérique : avec les mêmes valeurs qu’à la question 4, calculer la distance
∆l parcourue par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.
On a : ∆z = (50000/3600 ms-1)2 / (2 x 10 ms-2) ≈ 9,6 m
et ∆l = ∆z / sin α ≈ 110 m.
0,5 pt
B. Forces de frottements
On suppose que les frottements s’opposant au mouvement du véhicule (dans l’air et au
contact du sol) peuvent êtres modélisés par une force F proportionnelle au carré de la
vitesse : || F || = F = K || v ||2 = Kv2.
1. Déterminer la dimension de la constante K.
On écrit : K = F/v2, soit dimensionnellement : [K]!= [F]/[v2] = (MLT-2)/(L2T-2) = ML-1 (c’est-àdire
0,5 pt
! une masse
! sur une longueur).
2. Rappeler l’expression vectorielle du travail dW de la force de frottements F s’exerçant
sur une longueur dl dans un intervalle de temps dt.
On a dW = F . dl .
0,5 pt
3. En divisant l’expression obtenue à la question précédente par l’intervalle
de temps dt,
!
établir la!relation entre PF la puissance dissipée par la force F , et la vitesse v de la voiture.
On!a!dW/dt = F . dl /dt soit : PF = F . v .
0,5 pt
4. Indiquer qualitativement la direction de la force de frottement F (en l’expliquant). En déduire une expression simplifiée de PF. Quelle est la!signification physique
du signe de PF ?
!
La force
au mouvement : F est orientée dans la direction contraire
! ! de frottement s’oppose
!!
à la vitesse v . On a donc PF = F . v = - Fv. PF est négative
: il s’agit d’une puissance
!
« perdue » par la voiture puisqu’elle est dégradée en chaleur.
1 pt
5. On suppose qu’à la vitesse v = 50 km/h
! la valeur absolue de la puissance dissipée par
les frottements
: |PF| représente
!
! ! r = 47% de la Puissance totale PT fournie par le moteur (le
reste constituant la puissance mécanique, Pm). En déduire l’expression littérale de K en
fonction de r, PT et v.
On écrit : |PF| = Fv = Kv2 x v = r PT d’où K = r PT / v3.
1 pt
6. Calculer K pour r = 47%, PT = 27,5 kW et v = 50 km/h.
K = 0,47 x 27,5.103 W / (50 000 m/3600 s)3 = 4,82 kg/m.
0,5 pt
C. Puissance et vitesse
On donne les deux courbes suivantes :
La Figure 2. donne la puissance maximale P que peut fournir le moteur (en kW) en fonction
du régime moteur (vitesse de rotation du moteur, en tours par minute).
La Figure 3. représente la vitesse du véhicule en fonction également du régime moteur
(vitesse de rotation du moteur, en tours par minute), pour les différents rapports de la boîte
de vitesse. Par exemple en première vitesse (R1), le véhicule avance à 12,5 km/h lorsque
le moteur tourne à 2000 tours/min.
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Figure 2.
Figure 3.
Dans cette partie, la voiture roule sur une route rectiligne, inclinée d’un angle α (Figure 1).
1. La vitesse de la voiture est constante et vaut v = 50 km/h. À partir des Figures 2 et 3,
déterminer la puissance maximale P que peut fournir le moteur suivant que le conducteur
utilise le rapport R1, R2, R3 ou R4.
On relève le régime moteur correspondant à 50 km/h sur la Figure 3. et on en déduit la
puissance disponible sur la Figure 2. :
Avec le rapport R1 => Régime = 7500 t/min => P = 27,5 kW
Avec le rapport R2 => Régime = 5000 t/min => P = 33 kW
Avec le rapport R3 => Régime = 3500 t/min => P = 25 kW
Avec le rapport R4 => Régime = 2500 t/min => P = 17,5 kW
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2. On suppose que la puissance totale nécessaire pour monter cette route à v = 50 km/h
est PT = 27,5 kW. Indiquer qualitativement pour chaque rapport (R1 à R4) ce qui se passe.
Avec le rapport R1, la puissance maximale P du moteur correspond exactement à la
Puissance nécessaire, mais d’une part on est en surrégime et d’autre part, on ne peut pas
accélérer (la puissance diminuerait et deviendrait alors trop faible).
Avec le rapport R2, la puissance nécessaire est inférieure à la Puissance maximale P que
peut fournir le moteur. On dispose encore d’une réserve de Puissance.
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Avec les rapports R3 et R4, le régime moteur est faible et la puissance est insuffisante : on
ne peut pas rouler à cette vitesse et avec ces rapports sur cette route.
1 pt
3. La voiture roule à 50 km/h avec le rapport R2. À l’instant t0 on veut accélérer. Quelle est
la puissance disponible Pdispo pour accélérer à l’instant t0 (c’est à dire au début de
l’accélération) ? On rappelle que la puissance dissipée par les frottements représente
r = 47% de la Puissance totale fournie par le moteur.
Avec le rapport R2 à 50 km/h, le moteur tourne à 5000 t/min et à ce régime, la puissance
maximale que pourrait fournir le moteur est P = 33 kW.
On dispose donc de Pdispo = (1 - r).(P - PT) = (1 - 0,47) x (33 - 27,5) = 2915 W ≈ 2,9 kW. 1 pt
4. À partir de l’expression obtenue à la question B.3. exprimer puis calculer la force de
traction F traction disponible pour l’accélération à l’instant t0.
On a : Pdispo = F traction. v = Ftraction . v
soit : Ftraction = Pdispo / v
Soit : Ftraction = 2915 W / (50 000 m / 3600 s) = 210 N.
0,5 pt
!5. En déduire l’accélération a de la voiture à l’instant t0 (au début de l’accélération). On
rappelle
de la voiture : M = 1,2 tonne.
! la masse
!
Avant l’accélération, la somme des forces était nulle (v = cte). On peut donc écrire :
Ftraction = M x a soit : a = Ftraction / M = 210 N / 1200 kg = 0,175 m.s-2.
0,5 pt
D. Combustion du carburant
On suppose que l’essence utilisée par cette voiture est essentiellement constituée
d’octane, de formule C8H18. La combustion de l’octane produit de l’eau et du dioxyde de
carbone, et libère une énergie E1 = 47 MJ pour une masse m1 = 1 kg d’octane brûlé.
1. Écrire et équilibrer la réaction de combustion de l’octane.
On a la relation : C8H18 + α O2 → β H2O + γ CO2 que l’on équilibre pour les 3 éléments :
C:1x8=γ
⇒
γ=8
H : 1 x 18 = 2β
⇒
β=9
O : 2α = β + 2γ
⇒
α = 12,5
On normalise en multipliant tout par 2 :
2 C8H18 + 25 O2 → 18 H2O + 16 CO2.
1 pt
2. Le rendement thermique du moteur est noté rt (rapport entre l’énergie mécanique fournie
par le moteur, et l’énergie calorifique fournie par la combustion de l’essence). Exprimer ce
rendement en fonction de la puissance mécanique totale PT, et de la puissance calorifique
fournie par la combustion de l’essence Pc.
On a simplement : rt = ET / Ec = (PT x ∆t) / (Pc x ∆t) = PT / Pc.
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3. Exprimer Pc en fonction du débit massique d’essence dc (masse d’essence consommée
par unité de temps), de E1 et de m1. On pourra raisonner sur un intervalle de temps ∆t.
On écrit :
m1/∆t ⇔ E1/∆t
dc ⇔ Pc
D’où la puissance calorifique : Pc = (E1/∆t) [dc / (m1/∆t)] = E1dc / m1.
0,5 pt
4. Exprimer alors le débit massique d’essence dc en fonction de rt, PT, E1 et m1.
A partir de : Pc = E1dc / m1 on a : dc = m1 Pc / E1.
D’autre part, on a rt = PT / Pc soit : Pc = PT / rt
D’où : dc = (m1 PT) / (rt E1).
0,5 pt
5. Calculer dc pour une puissance PT = 27,5 kW et un rendement thermique rt = 35%.
On a : dc = 1 kg x 27,5.103 W / (0,35 x 47.106 J) = 1,67.10-3 kg/s = 1,67 g/s
1 pt
6. En déduire la consommation de la voiture si elle effectue 100 km dans ces conditions, en
kilogrammes, puis en litres d’essence (la masse volumique de l’essence est ρ = 700 kg/m3).
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En roulant à 50 km/h, il faut 2 heures = 7200 secondes pour parcourir 100 km. La consom
mation correspondante est donc de dc x 7200 = 12,0 kg pour 100 km.
Soit encore : 12,0 kg / 700 kg/m3 = 17,2.10-3 m3 = 17,2 litres pour 100 km.
1 pt
E. Freinage
1. On suppose que la voiture roule à la vitesse v sur une route rectiligne horizontale. D’un
point de vue énergétique, que se passe-t-il si la voiture freine ?
L’énergie cinétique est transformée en chaleur dans les freins.
0,5 pt
2. La voiture de masse M possède 4 freins à disque en acier de masse unitaire m1 et de
chaleur massique C. Donner l’expression littérale de l’élévation de température ∆T1 des
freins lors du freinage (de la vitesse v à jusqu’à l’arrêt), en fonction de M, m1, v et C.
On suppose que toute l’énergie est dégradée en chaleur dans les disques de frein :
Ec = Q soit : ½ M v2 = 4m1 C ∆T1 soit ∆T1 = ½ M v2 / (4m1 C).
1 pt
-1 -1
3. On donne M = 1200 kg, m1 = 10 kg, v = 130 km/h et C = 500 J.kg .K . Calculer ∆T1.
∆T1 = ½ x 1200 kg x (130 000 m/3600 s)2 / (4 x 10 kg x 500 J/kg.K) = 39 K
0,5 pt
4. On suppose maintenant que la voiture descend une montagne d’altitude H en ne freinant
qu’avec ses freins. Donner l’expression littérale de l’élévation de température ∆T2 des
disques de frein lorsque l’on arrive en bas de la montagne, en fonction de M, m1, g, H et C.
On suppose que toute l’énergie potentielle Ep est dégradée en chaleur dans les freins :
Ep = Q soit : M g H = 4m1 C ∆T soit ∆T = M g H / (4m1 C).
0,5 pt
-2
5. On donne H = 1000 m, g ≈ 10 m.s . Calculer ∆T2 et commenter le résultat trouvé.
∆T2 = 1200 kg x 10 m/s2 x 1000 m / (4 x 10 kg x 500 J/kg.K) = 600 K.
0,5 pt
Cette valeur n’est pas réaliste : pour éviter une surchauffe des freins, on utilise le « freinmoteur », qui absorbe une partie de l’énergie du freinage. D’autre part, la descente n’est
pas instantanée, et les freins se refroidissent en permanence dans l’air.
0,5 pt
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