Exercices de base Exercices de niveau moyen

Exercices de probabilités discrètes
travail personnel
Exercices de base
Exercice 1
Une urne contient 10 boules : n boules noires et 10−n boules rouges (avec 2n8 ). On
extrait simultanément 2 boules de l'urne. On admet l'équiprobabilité de tous les tirages de 2 boules.
1. Soit A l'événement : « les 2 boules tirées sont de couleurs différentes ». Déterminez les
7
valeurs de n pour lesquelles la probabilité de l'événement A est égale à
.
15
2. Dans cette question, n = 6. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage de 2 boules,
associe le nombre de boules noires obtenues dans ce tirage. ). Donner la loi de probabilité de
X.
Exercice 2
Des études statistiques montrent que 6% des individus d'une population souffrent d'une maladie
donnée. Un test est utilisé pour diagnostiquer la maladie considérée. On a établi que :
● sachant qu'un individu est malade, la probabilité qu'il ait un test positif est de 0,95.
● sachant qu'un individu n'est pas malade, la probabilité qu'il ait un test négatif est de 0,97.
On désigne par M l'événement : « être malade » et par T l'événement « avoir un test positif ».
1. Calculer les probabilités des événements « M et T », « M et T », « M et T ». En
déduire la probabilité de T.
2. Quelle est la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit malade ?
Exercice 3
Bébert part à la chasse au lapin. Il n'a sur lui que 10 cartouches. On admet qu'à chaque tir, il a 2
chances sur 3 de toucher sa cible et que les tirs sont indépendants les uns des autres. Soit X la
variable aléatoire égale au nombre de lapins tués.
1. Préciser la loi de X.
2. Quelle est la probabilité que Bébert ait tué 4 lapins ?
3. Quelle est la probabilité que Bébert ait tué au moins 2 lapins ?
Exercices de niveau moyen
Exercice 4
Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M 1,
M2 et M3. La moitié des appareils de son stock provient de M 1, un huitième de M2 et le reste de M3.
Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M 1 sont rouges, que 5% des
appareils de la marque M2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M 3 le sont aussi. On
choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste.
1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de M3 ?
2. Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vient de M2 ?
3. Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ?
4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il
soit de la marque M1 ?
Exercice 5
Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure, il prend le bus de ramassage gratuit mis à
disposition par l'entreprise, s'il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte 1,5€.
1
Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est
, s'il
5
1
est en retard un jour donné la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est
.
20
Pour tout entier naturel n non nul, on appelle Rn l'événement « l'employé est en retard le jour
n ». On note p n la probabilité de Rn et q n celle de Rn . On suppose que p 1=0 .
1. Détermination d'une relation de récurrence.
a) déterminer les probabilités conditionnelles p R  Rn1  et p R  Rn1  .
b) déterminer p  Rn1∩ Rn  en fonction de p n et p R  Rn1  en fonction de q n .
c) exprimer p n1 en fonction de p n et q n .
1 3
p .
d) en déduire p n1 = −
5 20 n
4
2. Etude de la suite  p n . Pour tout entier naturel non nul, on pose v n = p n−
.
23
3
a) Démontrer que v n  est une suite géométrique de raison –
.
20
b) exprimer v n puis p n en fonction de n.
c) justifier que la suite  p n est convergente et calculer sa limite.
n
n
n
Exercice 6
1. Une grande enveloppe contient les douze « figures » d'un jeu de cartes : les 4 rois, les 4
reines et les 4 valets. On effectue successivement cinq fois le tirage d'une carte que l'on
remet à chaque fois dans l'enveloppe. Soit X la variable aléatoire dont la valeur est égale au
nombre de rois obtenus au cours des 5 tirages. Déterminer la loi de probabilité de X et
calculer son espérance mathématique. Interpréter ce résultat.
2. Dans la même grande enveloppe contenant les mêmes douze cartes, on tire simultanément et
au hasard 5 cartes. Soit Y la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de rois
obtenus. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer son espérance mathématique.
Interpréter ce résultat.
Exercice 7
Une urne A contient une boule rouge et trois boules vertes. Une urne B contient deux boules rouges
et deux boules noires. Les boules sont indiscernables au toucher.
1. On dispose d'une dé à 6 faces parfaitement équilibré. On le lance une fois; si l'on obtient un
multiple de 3, on tire au hasard une boule de l'urne A, sinon on tire au hasard une boule de
l'urne B.
a) calculer la probabilité d'obtenir une boule noire.
b) quelle est la couleur qui a la plus grande probabilité de sortir ?
c) quelle est la probabilité que la boule tirée provienne de l'urne B sachant qu'elle est rouge ?
2. On réunit toutes les boules dans une seule urne et on tire successivement trois boules que
l'on pose chaque fois devant l'urne.
1
a) montrer que la probabilité de l'événement « la troisième boule tirée est noire » vaut
.
4
b) certains pensent que l'événement « la première boule tirée est noire » a une probabilité
supérieure à l'événement « la troisième boule tirée est noire ». est-ce vrai ? Justifier.
Exercices plus compliqués
Exercice 8
On tire au hasard et simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. On rappelle qu'un jeu de 32 cartes
possède 4 « couleurs » : pique, coeur, carreau, trèfle, chacune d'entre elles ayant huit « hauteurs » :
7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as. Quelle est la probabilité d'obtenir :
1. exactement une paire ? (2 cartes de même hauteur)
2. un brelan ? (3 cartes de même hauteur)
3. un carré ? (4 cartes de même hauteur)
4. 2 paires distinctes ?
5. Un full ? (un brelan et une paire)
Exercice 9
On donne dans le plan trois points A, B et C distincts non alignés.
Une urne U contient six cartons indiscernables au toucher portant les nombres -2, -1, 0, 1, 2 et 3.
Une urne V contient cinq cartons indiscernables au toucher ; quatre cartons portent le nombre 1 et
un carton le nombre -1.
On tire au hasard un carton dans chacune des urnes. Les tirages sont équiprobables. On note a le
nombre lu sur le carton de U et b celui lu sur le carton de V.
1. Justifier que le système de points pondérés {  A , a ; B , b ;C ,4 } admet un barycentre
que l'on notera G.
2. a) déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
* E1 : « G appartient à la droite (BC) »
* E2 : « G appartient au segment [BC] »
b) Montrer que la probabilité de l'événement E3 « G est situé à l'intérieur du triangle ABC et
2
n'appartient à aucun des côtés » est égale à
.
5
3. Soit n un entier naturel non nul. On répète n fois et dans les mêmes conditions l'épreuve qui
consiste à tirer un carton dans chacune des urnes U et V puis de considérer le barycentre G
de la question 1. On désigne par X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de
réalisations de l'événement E3.
a) déterminer l'entier n pour que l'espérance de la variable aléatoire X soit égale à 4.
b) déterminer le plus petit entier n pour que la probabilité d'avoir au moins un des
barycentres situé à l'intérieur du triangle ABC soit supérieure ou égale à 0,99.
Exercice 10
Une urne U1 contient 2 boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules vertes ; une urne U 2 contient 4
boules rouges et 5 boules bleues, tandis qu'une troisième urne U 3 contient 3 boules bleues et 6
boules vertes. On procède alors à l'expérience suivante :
on tire au hasard une boule de l'urne U 1 que l'on place dans l'urne U 2, puis on tire au hasard une
boule de l'urne U2 que l'on place dans U3. Enfin, on tire au hasard une boule de U 3 que l'on place
dans U1.
Quelle est la probabilité que la composition de l'urne U 1 n'ait pas changé à l'issue de ces 3
manipulations ?