CHAPITRE 1 : Fractions et nombres décimaux

CHAPITRE 5
Divisions et problèmes
OBJECTIFS :
Connaître le vocabulaire : dividende, diviseur, quotient, reste.
Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne d’un nombre entier par un nombre entier
d’un ou deux chiffres.
Savoir utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 9.
Savoir diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000
Savoir prendre l’arrondi ou la troncature d’un nombre.
Le symbole ÷ Introduit en 1698 par l’allemand Gottfried Willhelm Leibniz, un des plus
grands génies qui aient existé.
A la fois philosophe, théologien, mathématicien, physicien, historien, Leibniz cultive et
perfectionne presque toutes les branches des connaissances humaines.
I. Divisibilité
I. Divisibilité
Définition
1) 1)Définition
Exemple :
56 = 8 x 7
On dit que 7 et 8 sont des diviseurs de 56.
Remarque :
On dit aussi
56 est dans la table de 7 et de 8.
56 est un multiple de 7 et de 8.
56 est divisible par 7 et par 8.
2)2)Critères
dede
divisibilité
Critères
divisibilité
Un nombre entier est divisible :
- par 2, s’il est pair ( il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8),
exemples :
26
48
10 024
- par 3, si la somme de ses chiffres est dans la table de 3,
exemple :
532 587
(car 5 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 = 30 et 30 est dans la table de 3)
- par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres
est dans la table de 4,
exemples :
5 148
632
10 024
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5,
exemples :
855
1 250
- par 9, si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.
exemple :
73 854
(car 7 + 3 + 8 + 5 + 4 = 27 et 27 est dans la table de 9)
Remarque : … un nombre divisible par 9
est donc forcément divisible par 3.
Division
II.II.
Division
posée posée
1)
euclidienne
1) La
Ladivision
division euclidienne
On veut effectuer la division euclidienne de 731 par 34
Le dividende
II. Division posée
21
731
-68
Le diviseur
34
1) La division
euclidienne Le quotient
051
-34
reste effectuer la division euclidienne de 731 par 34
OnLeveut
17
Le diviseur
Le dividende
Méthode:
Dans 73, combien de fois 34 ? 2 fois ! 2 x 34 = 68
731 34
73 – 68 -= 65 8(inférieur au diviseur)
2 1le 1
On abaisse
Le quotient
0 5 1 de fois 34 ? 1 fois ! 1 x 34 = 34
Dans 51, combien
- 3 (inférieur
4
51 – 34 = 17
au diviseur)
Le reste
17
Remarque : Dans
Le reste
toujours
Méthode:
73,est
combien
deinférieur
fois 34 ?au 2diviseur
fois ! .2 x 34 = 68
73 – 731
68 = 5= (inférieur
34 x au
21 diviseur)
+ 17
On abaisse le 1
51,générale
combien: de fois 34 ? 1 fois ! 1 x 34 = 34
…et de Dans
manière
51 – 34 = 17 (inférieur au diviseur)
DIVIDENDE = DIVISEUR X QUOTIENT + RESTEs
2) La division décimale
2) La division décimale
On distingue 2 types de divisions décimales :
- celles dont le quotient est fini
( la division « s’arrête », on obtient un reste nul )
- et celles dont le quotient est infini
(la division « ne s’arrête jamais », on n’obtient jamais un reste nul)
Exemples de divisions à quotient fini
32, 12
-32
00 1
0
12
-1 2
0
4
8 ,0 3
Lorsqu’on franchit la
virgule au dividende,
on la franchit également
au quotient.
4 5, 0 0 0
-40
05 0
- 4 8
20
- 16
40
- 40
0
Calculatrice :
8
5, 6 2 5
Ici, on est obligé
d’ajouter des zéros
inutiles au dividende
pour finir la division.
pour effectuer des divisions avec
la machine, on utilise la touche
Exemple de division à quotient infini
2 3, 0 0 0
-22
1 0
- 0
1 0 0
- 99
1 0
- 0
1 0
11
2 , 0 9 0 9 0 9 0…
Ici, on va « retomber» à
à chaque fois sur le reste 10…
le quotient sera donc
2,090909090909…
le quotient est infini

Dans ce cas, il faut donner une valeur approchée
du quotient sous forme d’une troncature ou d’un arrondi.
Troncature
de 2,090909…
à l’unité
au dixième
Arrondi de 2,090909…
2
2
car 2,0…est plus proche
de 2 que de 3
2,0
2,1
car 2,09…est plus proche
de 2,1 que de 2,0
Troncature vient de tronquer qui signifie couper, enlever une partie.
On note par exemple :
2,1 est l’arrondi au dixième du quotient de 23 par 11
ou encore 23 ÷ 11  2,1
III.
Calcul
III.
Calcul
mentalmental
1) Diviser par 4 (c’est ÷2 puis ÷2 )
ex :
84 ÷ 4
÷2
=
21
÷2
42
2) Diviser par 5 (c’est ÷10 puis x 2 )
ex :
160 ÷ 5
÷10
= 32
x2
16
3) Diviser par 10, 100, 1000,…
Lorsqu’on divise un nombre par 10 ; 100 ; 1000…
il « réduit » de 1 ; 2 ; 3 …. rangs.
exemples : 312 ÷ 1000 =
21,1 ÷ 10 =
0,312
2,11
6,3 ÷ 100 = 0,063
0,12 ÷ 100 = 0,0012