Amérique du nord juin 2005 EXERCICE 4 5 points On dispose d`un

Amérique du nord juin 2005
EXERCICE 4 5 points
On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois
faces portent le numéro 3.
On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R,
I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes).
Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu.
Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il
perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces
deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces
trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
A la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s).
On définit les évènements suivants :
D1 : « le dé indique 1 »
D2 : « le dé indique 2 »
D3 : « le dé indique 3 »
G: « la partie est gagnée ».
A et B étant deux évènements tels que p(A) ≠ 0, on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
1° a) Déterminer les probabilités pD1(G), pD2 (G), et pD3(G)
23
b) Montrer alors que p(G) =
.
180
2° Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
3° Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur
arrondie à 10−2 près.
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit
supérieure à 0,9?
On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le
numéro 3. On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I,
T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes). Un joueur fait une partie en deux étapes :
Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu. Deuxième étape :
• si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas
contraire.
• si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules
porte une voyelle et il perd dans le cas contraire.
• si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte
une voyelle et il perd dans le cas contraire.
A la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s). On définit les évènements suivants :
D1 : « le dé indique 1 »
D2 : « le dé indique 2 »
D3 : « le dé indique 3 »
G: « la partie est gagnée ».
A et B étant deux évènements tels que p(A) ≠ 0, on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé.
1° a) Déterminer les probabilités pD1(G), pD2 (G), et pD3(G)
Si D1 est réalisé alors il tire au hasard une boule de l’urne et gagne la partie si cette boule porte une voyelle :
4 2
PD1(G) =
=
10 5
Si D2 est réalisé alors, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne et gagne la partie si chacune de ces
4
 10 
deux boules porte une voyelle. Il y a alors  2  manières de choisir deux voyelles parmi quatre et  2  manières
4
 
2
4×3
2
de choisir deux boules parmi huit : PD2(G) =
=
=
×
10
10
9
15
 
 
 2 
Si D3 est réalisé alors il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne et il gagne la partie si chacune de
4
 10 
ces trois boules porte une voyelle. Il y a alors  3  manières de choisir trois voyelles parmi quatre et  3 
4
 
3
4×3×2 1
manières de choisir deux boules parmi huit : PD2(G) =
=
=
× 9 × 8 30
10
10
 
 
 3 
b) Montrer alors que p(G) =
23
.
180
Le dé possède une face qui porte le numéro 1, deux faces qui portent le numéro 2 et trois faces qui portent le
1
2
3
numéro 3. On a donc p(D1) = , p(D2) = et p(D3) =
6
6
6
2 1
1
p(D1 ∩ G ) = p(D1) × PD1(G) = ×
=
5 6 15
2 2
2
× =
p(D2 ∩ G ) = p(D2) × PD2(G) =
15 6 45
1 3 1
× =
p(D3 ∩ G ) = p(D3) × PD3(G) =
30 6 60
1
2
1 12 + 8 + 3 23
P(G) =
+
+
=
=
15 45 60
180
180
2° Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé.
pG(D1) =
p(G ∩ D1)
1/15
1 180 12
×
=
=
=
p(G)
23/180 15 23 23
3° Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près.
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9?
23
180
La variable aléatoire X qui représentent le nombre de parties gagnées lors de la répétition de 6 épreuves
23
indépendantes de Bernouilli suit une loi binomiale de paramètre 6 et
180
23 4
 6  23 2 
× 1 –
≈ 0,01
p(X = 2) =  2  

180
180 
Soit E l'événement "gagner au moins une partie"


23 6 1576

l'événement contraire E est " ne gagner aucune partie" et p (E) = 1 –
=
180 1806

157n
ln (0,1)
157n

157

p(E) ≥ 0,9 ⇔ 1 – 
 ≥ 0,9 ⇔ 180 ≤ 0,1 ⇔ n × ln 180 ≤ ln (0,1) ⇔ n ≥ ln 157 – ln 180
180






157

car ln 
 = ln 157 – ln 180 < 0
180
ln (0,1)
≈ 16,8.
ln 157 – ln 180
Il doit faire au moins 17 parties pour gagner au moins une fois avec une probabilité de 0,9.
Une partie est une épreuve de Bernouilli de paramètre p = p(G) =