6. Fiche Cours Divisions

DIVISIONS
I. PARTAGER ET RÉPARTIR
a. Pour partager :
Avec 250 roses la fleuriste fait 19 bouquets ayant chacun le même nombre de roses.
Elle fait 19 bouquets de _____ roses avec ________ × 19 roses c’est-à-dire ________ roses.
Il lui reste _______ roses inutilisées.
b. Pour répartir : (faire des paquets)
M. Fructal range 4 800 pommes dans des cageots de 23 pommes.
Il remplit _________ cageots de 23 pommes avec 23 × _______ pommes c’est-à-dire ____________
pommes. Mais il lui faut un 209e cageot pour ranger les __________ pommes qui restent.
II. LA DIVISION EUCLIDIENNE (ENTIÈRE)
Dans une division euclidienne, les nombres sont tous des nombres entiers.
Division euclidienne de 250 par 19 :
• Calcul posé :
• Écriture en ligne : 250 = ( 19× 13 ) + 3 avec 3 < 19, c’est-à-dire
Dividende = ( Diviseur × Quotient ) + Reste avec Reste < Diviseur
III. DIVISIBILITÉ
Définition :
Quand on écrit 42 = 6 × 7 , on peut dire que 6 est un diviseur de 42 ou que 42 est divisible par 6. Ceci
signifie que la division de 42 par 6 « tombe juste» (le reste est égal à zéro.).
Critères de divisibilité
On peut savoir si un nombre entier est ou n’est pas divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 sans faire la division,
grâce à des critères de divisibilité.
Propriétés : Un nombre entier est divisible :
• par 2 quand son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
On dit que c’est un nombre pair (sinon il est impair ) ;
• par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5.
• par 10 quand son chiffre des unités est 0.
• par 4 quand le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités est divisible par 4
Propriétés : Un nombre entier est divisible :
• par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• par 9 quand la somme de ses chiffres est divisible par 9.

IV. QUOTIENT DÉCIMAL EXACT
Si on partage 46 € en 8 personnes en utilisant une division euclidienne, chaque personne reçoit 5 €, et il
restera 6 € ... Dans ce genre de situation, un quotient entier ne convient pas. Il est nécessaire de
poursuivre la division et donner un quotient décimal exact.
Calcul posé
Écriture en ligne: 46 = 8 x 5,75
C'est à dire : Dividende = Diviseur × Quotient ou Dividende : Diviseur = Quotient
Remarques
- Comme dans la division euclidienne, le diviseur ne peut pas être égal à 0.
- Quand le dividende est inférieur au diviseur, le quotient décimal est compris entre 0 et 1.
- Le quotient s’écrit parfois avec beaucoup de décimales.
Par exemple, 250 : 128 = 1,953 125
Dans certains cas, on peut même ne jamais obtenir 0 comme reste et il n’y a pas de quotient décimal
exact !
Par exemple, 53 : 7 = 7,5714285714285714285714285714286...
V. DIVISER PAR 10, 100, 1 000
Diviser un nombre par 10 (par 100, par 1 000), c'est donner à chacun de ses chiffres une valeurs 10 fois
(100 fois, 1 000 fois) plus petite.
Cela revient à décaler chaque chiffre d'un rang (de deux rangs, de trois rangs) vers la droite.
Par exemple, si l'on divise 35,2 par 10, les 3 dizaines deviennent 3 unités, les 5 unités deviennent 5
dixièmes et les 2 dixièmes deviennent 2 centièmes.
D'où 35,2 : 10 = 3,52.
VI. VALEURS APPROCHÉES D'UN NOMBRE DÉCIMAL
Si on partage 15 € en 8 personnes, chaque personne devra recevoir 1,875 € … Le quotient décimal exact
ne convient pas dans ce genre de situation. On doit alors considérer des valeurs « fausses » mais
« proches » comme 1,87 € ou 1,88 €.
Notation : 15 : 8  1,88, se lit 15 est à peu près égal à 1,88.
Ainsi, chaque nombre admet des valeurs approchées à l'unité, au dixième, au centième...
Par exemple, le nombre 7,571428 a :
- pour valeurs approchées à l'unité 7 et 8.
Comme 7 < 7,571428 < 8
On dit que 7 est une valeur approchée par défaut et 8 une valeur
approchée par excès
- pour valeurs approchées au dixième
7,5 (par défaut) et 7,6 ( par excès).
- pour valeurs approchées au dixième
7,57 (par défaut) et 7,58 ( par excès).
Le dividende Le diviseur (non nul)
Le quotient décimal exact
Le reste nul