6. Fiche Cours Divisions

DIVISIONS
I.
PARTAGER ET RÉPARTIR
a. Pour partager :
Avec 250 roses la fleuriste fait 19 bouquets ayant chacun le même nombre de roses.
Elle fait 19 bouquets de _____ roses avec ________ × 19 roses c’est-à-dire ________ roses.
Il lui reste _______ roses inutilisées.
b. Pour répartir : (faire des paquets)
M. Fructal range 4 800 pommes dans des cageots de 23 pommes.
Il remplit _________ cageots de 23 pommes avec 23 × _______ pommes c’est-à-dire ____________
pommes. Mais il lui faut un 209e cageot pour ranger les __________ pommes qui restent.
II.
LA DIVISION EUCLIDIENNE (ENTIÈRE)
Dans une division euclidienne, les nombres sont tous des nombres entiers.
Division euclidienne de 250 par 19 :
• Calcul posé :
• Écriture en ligne : 250 = ( 19× 13 ) + 3 avec 3 < 19, c’est-à-dire
Dividende = ( Diviseur × Quotient ) + Reste avec Reste < Diviseur
III. DIVISIBILITÉ
Définition :
Quand on écrit 42 = 6 × 7 , on peut dire que 6 est un diviseur de 42 ou que 42 est divisible par 6. Ceci
signifie que la division de 42 par 6 « tombe juste» (le reste est égal à zéro.).
Critères de divisibilité
On peut savoir si un nombre entier est ou n’est pas divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 sans faire la division,
grâce à des critères de divisibilité.
Propriétés : Un nombre entier est divisible :
• par 2 quand son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
On dit que c’est un nombre pair (sinon il est impair ) ;
• par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5.
• par 10 quand son chiffre des unités est 0.
• par 4 quand le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités est divisible par 4
Propriétés : Un nombre entier est divisible :
• par 3 quand la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• par 9 quand la somme de ses chiffres est divisible par 9.
IV.
QUOTIENT DÉCIMAL EXACT
Si on partage 46 € en 8 personnes en utilisant une division euclidienne, chaque personne reçoit 5 €, et il
restera 6 € ... Dans ce genre de situation, un quotient entier ne convient pas. Il est nécessaire de
poursuivre la division et donner un quotient décimal exact.
Calcul posé
Le dividende
Le diviseur (non nul)
Le quotient décimal exact
Le reste nul
Écriture en ligne:
46 = 8 x 5,75
C'est à dire : Dividende = Diviseur × Quotient
ou
Dividende : Diviseur = Quotient
Remarques
- Comme dans la division euclidienne, le diviseur ne peut pas être égal à 0.
- Quand le dividende est inférieur au diviseur, le quotient décimal est compris entre 0 et 1.
- Le quotient s’écrit parfois avec beaucoup de décimales.
Par exemple, 250 : 128 = 1,953 125
Dans certains cas, on peut même ne jamais obtenir 0 comme reste et il n’y a pas de quotient décimal
exact !
Par exemple, 53 : 7 = 7,5714285714285714285714285714286...
V.
DIVISER PAR 10, 100, 1 000
Diviser un nombre par 10 (par 100, par 1 000), c'est donner à chacun de ses chiffres une valeurs 10 fois
(100 fois, 1 000 fois) plus petite.
Cela revient à décaler chaque chiffre d'un rang (de deux rangs, de trois rangs) vers la droite.
Par exemple, si l'on divise 35,2 par 10, les 3 dizaines deviennent 3 unités, les 5 unités deviennent 5
dixièmes et les 2 dixièmes deviennent 2 centièmes.
D'où 35,2 : 10 = 3,52.
VI.
VALEURS APPROCHÉES D'UN NOMBRE DÉCIMAL
Si on partage 15 € en 8 personnes, chaque personne devra recevoir 1,875 € … Le quotient décimal exact
ne convient pas dans ce genre de situation. On doit alors considérer des valeurs « fausses » mais
« proches » comme 1,87 € ou 1,88 €.
Notation : 15 : 8  1,88, se lit 15 est à peu près égal à 1,88.
Ainsi, chaque nombre admet des valeurs approchées à l'unité, au dixième, au centième...
Par exemple, le nombre 7,571428 a :
- pour valeurs approchées à l'unité 7 et 8.
Comme 7 < 7,571428 < 8
On dit que 7 est une valeur approchée par défaut et 8 une valeur
approchée par excès
- pour valeurs approchées au dixième
7,5 (par défaut) et 7,6 ( par excès).
- pour valeurs approchées au dixième
7,57 (par défaut) et 7,58 ( par excès).