Réels - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 15/10/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no4 : Réels
Exercice 1 – Soit, pour tout couple (q, n)∈(N∗)2,uq,n =
n−1
X
k=0
1
2kq+k−1
ket vq,n =1
2n−1
n−1
X
k=0 q+n−1
k.
1. Vérifier que lorsque q= 1 ou n= 1, on a uq,n =vq,n.
2. Trouver une relation simple entre uq,n,uq−1,n et uq,n−1.
3. Trouver une relation analogue pour la suite (vq,n).
4. Montrer que pour tout (q, n)∈(N∗)2, uq,n =vq,n.
Exercice 2 –Soit cla constante de Liouville, définie par :
c=
+∞
X
k=0
10−k!= lim
n→+∞
n
X
k=0
10−k!.
Le but est de démontrer que cest un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients
entiers ou rationnels. On établit en fait cette propriété pour une famille plus large de réels, appelés nombres de Liouville.
Nous démontrons d’abord dans la question 1 que cest bien défini, puis dans la question 2 que cest irrationnel.
1. Convergence de la série définissant c
En étudiant la convergence de la série, montrer l’existence de la constante de Liouville c=
+∞
X
k=0
10−k!.
2. Irrationnalité de c
(a) Montrer que pour tout n∈N,
+∞
X
k=n+1
10−k!61
9·10(n+1)!−1.
(b) Supposons qu’il existe deux entiers pet qtels que c=p
q. En remarquant que 10n!Snest entier, et en
encadrant p10n!, trouver une contradiction. Conclure.
3. Inégalité des accroissements finis
Soit (a, b)∈R2tel que a < b. À l’aide d’une intégration, montrer que si fest une fonction dérivable sur un
intervalle [a, b], de dérivée continue sur [a, b]et telle que |f′|est majorée par M, alors |f(b)−f(a)|6M|b−a|.
Justifiez que cette expression est encore valable si b6a, l’inervalle considéré étant alors [b, a].
4. Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
Le but de cette question est de démontrer le théorème de Liouville, s’énonçant ainsi :
Théorème de Liouville. Soit αun nombre algébrique non rationnel. Alors il existe un réel A > 0et un entier
d>2, tels que pour tout nombre rationnel p
q, ((p, q)∈Z×N∗), on ait : 
α−p
q
>A
qd.
Ce théorème affirme que les nombres algébriques non rationnels sont « assez mal » approchés par des rationnels.
Soit αun nombre algébrique, c’est-à-dire tel qu’il existe un polynôme Pnon nul à coefficients entiers vérifiant
P(α) = 0. On suppose de plus que αn’est pas rationnel.
On admettra dans cette question qu’une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée.
(a) Montrer qu’il existe un polynôme Pnon nul à coefficients entiers tel que P(α) = 0, de degré minimal dans
l’ensemble de tous les polynômes non nuls vérifiant cette propriété. On se donne désormais un tel polynôme
Pet on note dson degré.
1

(b) Justifier que d>2.
(c) Montrer que Pne peut pas avoir de racine rationnelle.
(d) En déduire que pour tout (p, q)∈Z×N∗, qdPp
q
>1.
(e) À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, en déduire l’existence d’un réel M > 0tel que pour tout
nombre rationnel p
q((p, q)∈Z×N∗) tel que 
α−p
q
61, on ait :
α−p
q
>1
Mqd.
(f) En posant A= min 1,1
M, montrer le théorème de Liouville.
5. Transcendance de c
On appelle nombre de Liouville un réel irrationnel xtel que :
∀n∈N∗,∃(pn, qn)∈Z×(N\ {0,1}), x−pn
qn
61
(qn)n.
(a) À l’aide du théorème de Liouville, montrer qu’un nombre de Liouville n’est pas algébrique (on dit qu’il est
transcendant).
(b) En déduire que cest transcendant.
Exercice 3 –(Premier pas vers la transcendance de e)
Nous montrons dans cet exercice que eest irrationnel, puis nous montrons qu’il ne peut pas être racine d’un polynôme
du second degré à coefficients rationnels. On admettra dans l’ensemble de cette exercice que pour tout x∈R,
ex=
+∞
X
n=0
xn
n!,
cette série étant convergente pour toute valeur de xdans R.
1. Irrationnalité de e.
(a) Montrer que pour tout q∈N∗,
+∞
X
n=q+1
1
n!6e (q+ 1)!.
(b) Supposons que e = p
q, où pet qsont entiers. Quitte à prendre une fraction non irréductible, on peut supposer
que q+ 1 >e. Montrer que : q
X
n=0
1
n!<p q<
q
X
n=0
1
n!+1 q!.
(c) En multipliant par q!, trouver une contradiction et conclure.
2. Indépendance sur Qde 1,eet e2
Le but de cette question est de montrer qu’il n’existe pas de rationnels p,qet rnon tous nuls tels que p+qe+re2=
0. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant leur existence.
(a) Montrer qu’il existe alors des entiers a,bet cnon tous nuls tels que c=ae +be−1, et que nécessairement,
aet bsont non nuls.
(b) Montrer que pour tout n∈N, il existe un réel dntel que :
c=a
n
X
k=0
1
k!+b
n
X
k=0
(−1)k
k!+dn,
où
|dn|6(|a|+|b|)e
(n+ 1)! .
2

(c) Montrer que n!dn→0, et en déduire que pour tout nassez grand,
c=a
n
X
k=0
1
k!+b
n
X
k=0
(−1)k
k!
(d) En déduire que pour tout nassez grand,
a·1
n!=b·(−1)n+1 n!.
(e) Conclure.
Exercice 4 –
1. Soit n∈N∗. Montrer qu’il existe un unique réel A(n)de [0,1] tel que cos(πA(n)) = 1
√n.
Le but de l’exercice est de montrer que le réel A(n), qu’on peut aussi écrire :
A(n) = 1
πArccos 1
√n,
est irrationnel lorsque nest un entier impair supérieur ou égal à 3. On se fixe un entier nimpair supérieur ou égal à
3, et on note, ϕn=πA(n).
2. (a) Montrer que pour tout k∈N∗, et tout ϕ∈R,
cos((k+ 1)ϕ) = 2 cos(ϕ) cos(kϕ)−cos((k−1)ϕ).
(b) En déduire l’existence d’une suite (Ak)k∈Nd’entiers tels que
∀k∈N,cos(kϕn) = Ak
(√n)k,
et vérifier que (Ak)satisfait à la relation :
∀k∈N∗, Ak+1 = 2Ak−nAk−1.
(c) Montrer que nne divise aucun des entiers Ak,k∈N.
3. Montrer que si A(n)est rationnel, il existe un entier pair ℓtel que Aℓ
(√n)ℓ= 1. En déduire que ndivise Aℓet
conclure.
3