Les nombres de Liouville

Les nombres de Liouville
Historique
Etudiés par Liouville en 1844, les nombres présentés ici sont les premiers nombres transcendants jamais
exhibés. Il faudra attendre 1873 pour que Hermite établisse la transcendance de e: Quelques années plus
tard, en 1882, Lindemann démontrera la transcendance de ; prouvant du même coup l'impossibilité de la
quadrature du cercle.
Dé nitions
Un nombre réel est dit algébrique de degré n s'il est racine d'un polynôme de degré n irréductible dans
l'anneau Q [X] des polynômes à coef cients rationnels.
p
Ainsi, les nombres algébriques de degré 1 sont les nombres rationnels et 2 est un nombre algébrique de
degré 2.
Un nombre réel est dit transcendant s'il n'est pas algébrique.
On appelle nombre de Liouville tout nombre réel du type
de f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g qui ne converge pas vers 0.
+1
P
ak
où (ak )k
k!
k=1 10
1
est une suite d'éléments
Rappel de numération
Tout élément x de ]0; 1] se décompose de manière unique sous la forme x =
une suite d'éléments de f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g qui ne converge pas vers 0.
+1
P
ak
k
k=1 10
où (ak )k
1
est
En particulier, si x est décimal, alors ak = 9 à partir d'un certain rang.
Ainsi
Proposition 1
+1
P 3
1
= 0; 333 : : : =
k
3
k=1 10
L'ensemble L des nombres de Liouville n'est pas dénombrable.
En effet l'application
Proposition 2
+1
P 9
1
2
4
= 0; 25 =
+ 2+
:
k
4
10 10
k=3 10
et
:
+1
P
+1
P ak
ak
7
!
est une bijection de ]0; 1] dans L , donc card L = card R:
k
k!
k=1 10
k=1 10
Tout nombre de Liouville est transcendant.
La justi cation repose sur le théorème suivant.
Théorème de Liouville (1844)
Pour tout nombre algébrique x de degré n; il existe un nombre réel c (x) > 0 véri ant :
(8a 2 Z) (8b 2 N )
[email protected]
x 6=
a
=) x
b
1/2
a
b
c (x)
bn
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Démonstration du théorème
Soit x un nombre algébrique de degré n et soient deux entiers a 2 Z et b 2 N tels que r =
Si n = 1; alors x est rationnel, donc x =
Alors jx
a
j b a j
=
b
b
rj =
et donc c (x) =
avec
1
1
b
2 Z et
a
6= x:
b
2N :
car le numérateur est un entier non nul
convient.
Si n > 1; x est alors racine d'un polynôme p (X) = 0 + 1 X +
+ n X n à coef cients entiers
irréductible dans Q [X]. Alors p (r) 6= 0 car p (X) n'est pas divisible par bX a donc
jp (r)j =
0b
n
n 1
1 ab
bn
+
+
n
na
+
1
bn
car le numérateur est un entier non nul.
La fonction dérivée p0 étant continue et donc bornée sur l'intervalle Ix = [x
1; x + 1] ;
On pose K = sup jp0 (t)j > 0: Alors
t2Ix
– si jx
– si jx
1
bn
1
rj > 1; n
b
rj
1;
jp (r)j = jp (x)
1
jx
p (r)j
K jx
rj (inégalité des accroissements nis)
rj :
Dans les deux cas, c (x) = min 1;
1
K
convient.
Démonstration de la proposition 2
+1
P ak
Soit x =
un nombre de Liouville.
k!
k=1 10
Pour tout entier m
Alors 0 < x
1; on considère le nombre rationnel rm =
rm =
+1
P
ak
k!
k=m+1 10
+1
P
9
1
= (m+1)!
k
10
k=(m+1)! 10
m a
P
Am
k
= m! où Am 2 N:
k!
10
k=1 10
1
:
1
10m:m!
Supposons que x soit un nombre algébrique de degré n: D'après le théorème de Liouville, il existerait
c (x)
une constante c (x) > 0 véri ant :
(8m 1)
jx rm j
:
10n:m!
10n:m!
1
On aurait alors :
(8m 1)
0 < c (x) 10n:m! jx rm j
= (m n):m!
m:m!
10
10
1
= 0: Donc x ne peut-être que transcendant.
ce qui est impossible puisque lim
m!1 10(m n):m!
[email protected]
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