Approximation diophantienne et nombres quadratiques

α d > 1
P
A > 0
p/q
αp
q
>A
qd.
(a)α A
A p/q =α
(b)α d > 1k P1=kP
p/q
qd|P(α)P(p/q)| ≥ 1.
(c)P(α)P(p/q)
(d)
(e)
α
(a)a/b
|αa/b|<1
2b2
α
α n > 1
k∈ {2,··· , n}
ϕk=qk2/qk1, ψk=rk+ϕk= [ak,···] + ϕk
(b)k2 1k+1 =ak+ϕk1k+ 1/rk=ψk1
(c)ψk5ψk15
ϕk>51
2.
k=n, n 1, n 2
αpk
qk
1
5q2
k
.
(d)α= (pnrn+1 +qn)/(qnrn+1 +qn1)
ψk+1 5k=n, n 1, n 2
(e) (e)ϕnϕn+1 (51)/2
(f)k=n2, n 1, n
αpk
qk
<1
5q2
k
α α
(g) 1/5
(a)α
n1
1
qn(an+1 + 2) <
αpn
qn
1
q2
nan+1
.
(b)f:N]0,+[α
αp
q
< f(q)
p/q
(c)α
a0,··· , an,··· α c > 0
αp
q
<c
q2
p, q
c > 0
(a)α, β a0,··· , an
α= [a0, a1,··· , an, β].
a, b, c, d
α=+b
+d.
(b)α
α
2++c= 0
A, B, C A 6= 0
[a0,··· , an,···]α pn/qn
rn= [an+1,···]
(c)rn
Anr2
n+Bnrn+Cn= 0
An=Ap2
n1+Bpn1qn1+Cq2
n1
Bn= 2Apn1pn2+B(pn1qn2+pn2qn1)+2Cqn1qn2
Cn=Ap2
n2+Bpn2qn2+Cq2
n2
(d)Cn=An1B2
n4AnCn=b24ac n 1
(e)δn1pn1=αqn1+δn1/qn1δn1
(f)pn1
|An|<2||+|a|+|b|
(f)An, Bn, Cnm
n rm=rm+n(a) (b)
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