Devoir facultatif Term S Exponentielle

Devoir facultatif Terminale S Exponentielle
Partie A « Rappel » : L’ensemble des nombres rationnels , noté Q (comme quotient), est
l’ensemble de tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme a/b où a et b sont des entiers relatifs.
Les Grecs anciens étaient persuadés que tous les nombres sont rationnels…jusqu’à Pythagore, en
effet
2
Q alors que
2
existe puisque c’est la diagonale d’un carré de côté 1. On va le prouver. On
rappelle une propriété vue ou entrevue au collège : tout nombre entier s’écrit de façon unique sous forme de
produit de nombres premiers.
1 ) Montrer que si
n
est un entier alors :
pairnpairn 2
.
2 ) Prouver que
2
Q par l’absurde. Méthode : supposer donc que
2
peut s’écrire sous la forme a / b où
a et b sont des entiers sans facteur commun (c'est-à-dire qu’on suppose que a / b est la forme irréductible de
la fraction
2
) et en déduire une contradiction.
Partie B On peut sauter les questions 1 à 4 si on fait ensuite correctement la partie C.
1 ) On considère
f
définie sur I = [0 ; 1] par
 !
...
!2!1
12
n
xxx
exf n
x
.
Montrer que pour tout
x
de i,
1'0  xf
. En déduire que
10 ff 
.
2 ) En utilisant
g
définie par
!n
x
xfxg 
, montrer que
!
1
01 n ff 
.
3 ) On pose
!
1
...
!2
1
!1
1
1n un
. Montrer que
eu
n
en
!
1
1
puis que
!
3
0n ue n
.
4 ) On pose
!.
1
nn
uv nn 
pour tout entier
n
. Montrer que les suites
n
u
et
n
v
convergent vers
e
, mais
avec des sens de variations opposés. En déduire que pour tout
n
,
nn veu 
.
5 ) On va montrer par l’absurde que
e
Q. On suppose donc que
e
peut s’écrire sous la forme p / q où p et
q sont des entiers. Montrer qu’on a alors
q
uqqpqN!!
est un entier…compris dans
1;0
.
Partie C
On va montrer que la convergence de
n
u
vers
e
est un cas particulier d’un résultat plus général : pour tout
x
de [0 ; 1], si on pose
!
...
!2!1
12
n
xxx
wn
n
, alors la suite
n
w
converge vers
x
e
. Soit
INn
0n
.
1 ) On pose
!
...
!2!1
1)( 2
n
xxx
xg n
pour
x0
. Prouver que
x
exg )(
.
2 ) On pose
!.
)()( nn
x
xgzxh n
n
pour
10  x
. Prouver que
xhex
.
3 ) Soit
x
un réel fixé de [0 ; 1]. Montrer que la suite
n
w
est convergente vers un réel qu’on note L.
4 ) On s’autorise la notation (naturelle) : si la suite
n
a
définie par
n
kkn ba 0
converge vers un réel
l
,
alors
0kk
bl
. Montrer qu’on a prouvé dans ce qui précède que pour tout
x
de [0 ; 1],
0! k
x
ke
k
x
.
C’est vrai en fait pour tout réel
x
mais pas prouvé ici (si
0x
, la suite
n
w
n’est plus croissante…, si
1x
, 2) est fausse…etc)
Partie D Quelques repères historiques. Aucune question n’est posée ! Au dix huitième siècle, on a distingué, parmi
les nombres irrationnels, ceux qui sont algébriques = solution d’une équation à coefficients dans Q et ceux qui ne le sont
pas (on les a qualifiés de transcendants). Bien sûr,
2
est algébrique puisqu’il est solution de l’équation
.02.1 2x
Dates de quelques preuves :
e
est irrationnel (Euler, 1737), est irrationnel (Legendre, 1795),
e
est transcendant
(Hermite, 1873), est transcendant (Lindemann, 1882). Plus proche de nous : en posant pour
s
entier,
2s
,
0
1
)( ns
n
s
, lire « zéta »,
)3(
est irrationnel (Apéry, 1979) et même il existe une infinité d’entiers
s
impairs tels
que
)(s
est irrationnel (Rivoal, 2000). En 2014, on sait que
)2(
, dont la valeur surprenante (
6/
2
) avait été
obtenue par Euler dès 1745, est transcendant ; mais personne ne sait si
)3(
est transcendant.