Devoir facultatif 13 Intégration 1.doc

Devoir facultatif Intégration Partie 1
On va montrer que e n’est pas un nombre rationnel (c’est-à-dire que e ne peut pas
s’exprimer sous la forme d’un quotient de nombres entiers).
1 ) Soient u et v des fonctions dérivables sur a ; b . Calculer u( x).v( x) ' et en déduire la
formule dite d’intégration par parties (IPP) :
b

a
u ' ( x).v( x)dx  u( x).v( x)a   u ( x).v ' ( x)dx .
b
b
a
1
2 ) Pour tout entier n  1 , on pose I n   x n e1 x dx .
0
a ) Montrer que pour tout n ,
1
e
 In 
.
n 1
n 1
b ) Montrer avec une IPP que I1  e  2. Cette formule d’IPP (hors-programme depuis
quelques années) est pratique quand l’intégrale de droite est calculable alors que celle de
gauche ne l’est pas.
c) Montrer avec une IPP que pour tout n , I n1  n  1.I n  1.
3 ) Pour tout entier n  1 , on pose kn  n !e  I n . Exprimer k n1 en fonction de k n et en
déduire que pour tout entier n  1 , k n est un entier.
4 ) Montrer que pour tout entier n  1 , I n n’est pas un entier (on admet que 2< e <3).
5 ) Montrer que si p, q et n sont des entiers, n  q 
n! p
est un entier.
q
6 ) Montrer que e n’est pas un nombre rationnel. On raisonne par l’absurde : on suppose le
contraire de ce qu’on veut prouver, c’est-à-dire qu’ il existe des entiers p et q tels que
e  p / q , et on essaie d’aboutir à un résultat absurde.
Leonhard Euler (1707-1783) démontre en 1737 que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est
pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement
en fraction continue. En 1873, soit plus d'un siècle plus tard, Charles Hermite montre que le nombre e est même transcendant,
c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. (source : Wikipédia)