Groupes, arithmétique

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 07/01/2016
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no10 : Groupes, arithmétique
Problème 1 –Nombres de Carmichael
Le but de ce problème est d’étudier certaines propriétés des nombres de Carmichael, nombres composées qui satisfont
tout de même la propriété du petit théorème de Fermat. Notre but est notamment de donner une caractérisation des
nombres de Carmichael en fonction de l’indicateur de Carmichael λ(G), défini comme l’exposant du groupe (Z/nZ)∗
des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ, donc comme le ppcm des ordres des éléments de ce groupe. Pour étudier cet
indicateur de Carmichael, nous commençons par l’étude des groupes (Z/nZ)∗, éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.
Partie I – Structure du groupe (Z/pZ)∗
Soit pun nombre premier. On montre dans cette partie que le groupe ((Z/pZ)∗,×)des éléments inversibles du corps
Fp=Z/pZest cyclique d’ordre p−1, donc isomorphe à (Z/(p−1)Z,+) ou encore à (Up−1,×). Un générateur de ce
groupe est appelé racine primitive modulo p. On admettra dans cette partie que si Pest un polynôme à coefficients
dans un corps Ket si rest une racine de P, alors Pest divisible par (X−r): autrement dit, il existe un polyôme Q
tel que P(X) = (X−r)Q(X).
1. Soit (G, ×)un groupe abélien fini, et xet ydeux éléments de Gd’ordre aet b. Montrer qu’il existe deux
éléments x′et y′d’ordre a′et b′tels que a′∧b′= 1 et a′b′=a∨b.
2. En considérant x′y′, en déduire l’existence d’un élément d’ordre a∨b.
3. Soit ω(G)le ppcm des ordres de tous les éléments de G. Montrer qu’il existe un élément g∈Gd’ordre ω(G).
En déduire que
ω(G) = min{k∈N∗| ∀g∈G, gk= 1,}
où 1désigne le neutre de G.
4. Soit G= ((Z/pZ)∗,×). Justifier que l’ordre de Gest p−1.
5. Soit P∈Fp[X]le polynôme à coefficients dans Fpdéfini par :
P(X) = Xω(G)−1.
Montrer que pour tout ξ∈G,P(ξ) = 0, et en déduire que P(X)est divisible par Y
ξ∈G
(X−ξ)
6. En déduire que p−16ω(G), puis que ω(G) = p−1.
7. Montrer que Gest cyclique d’ordre p−1.
On peut remarquer que la preuve ci-dessus s’adapte sans difficulté pour montrer plus généralement que pour tout
corps fini K,K∗est un groupe cyclique, formé des racines du polynôme Xn−1−1,nétant l’ordre de K.
Partie II – Stucture des groupes (Z/pnZ)∗
Soit pun entier premier impair et n∈N∗,n>2. On généralise le résultat de la partie I en montrant dans cette partie
que le groupe ((Z/pnZ)∗,×)des éléments inversibles de l’anneau Z/pnZest cyclique.
1. Soit k∈Z, et kson représentant dans Z/pnZ. Montrer que kest inversible si et seulement si kn’est pas divisible
par p.
2. En déduire que (Z/pnZ)∗est d’ordre pn−1(p−1).
3. Montrer que pour tout a∈Z, et tout m∈N∗,(1 + pma)p≡1 + pm+1a[pm+2].
1

4. En déduire que pour tout a∈Z, et tout m∈N,(1 + pa)pm≡1 + pm+1a[pm+2].
5. Montrer que 1 + pest d’ordre pn−1dans (Z/pnZ)∗
6. En considérant une racine primitive modulo p, montrer qu’il existe un élément d’ordre p−1dans (Z/pnZ)∗.
7. En déduire que (Z/pnZ)∗est cyclique d’ordre pn−1(p−1).
Partie III – Cas des (Z/2nZ)∗
On termine cette étude avec le cas p= 2.
1. On suppose n>3. On note G= (Z/2nZ)∗,Hl’ensemble des classes modulo 2ndes entiers kcongrus à 1
modulo 4, et et K= ({−1,+1},×).
(a) Montrer que Hest un sous-groupe de G. Quel est son ordre ?
(b) Exhiber un isomorphisme de H×K−→ G
(c) Montrer que 52n−3≡1 + 2n−1[2n], et en déduire que l’ordre de 5dans Hest 2n−2.
(d) En déduire que le groupe multiplicatif Gest isomorphe au groupe additif (Z/2Z)×(Z/2n−2Z). Est-il
cyclique ?
2. Décrire les groupes (Z/2nZ)∗pour n∈ {1,2}.
Partie IV – Nombres de Carmichael et indicateur de Carmichael
On appelle nombre de Carmichael un nombre composé ntel que pour tout entier apremier avec n, on ait an−1≡1 [n].
On rappelle que l’exposant d’un groupe abélien fini Gest le ppcm de l’ordre de tous les éléments du groupe G, et que
la question III-2 permet de justifer l’existence d’un élément x∈Gdont l’ordre est égal à l’exposant de G. On définit
l’indicateur λ(n)de Carmichael d’un entier n > 1comme étant égal à l’exposant de ((Z/nZ)∗,×). On rappelle enfin
que pour tout n>1,ϕ(n)est le nombre d’entiers premiers avec ndans [[1, n]].
1. Justifier que pour tout n>2,λ(n)divise ϕ(n), avec égalité si et seulement si (Z/nZ)∗est cyclique.
2. Justifier que nest un nombre de Carmichael si et seulement si λ(n)divise strictement n−1.
3. Montrer que pour tout n=
k
Y
i=1
pαi
iavec αi>1et k>1, on a
λ(n) = λ(pα1
1)∨λ(pα2
2)∨ · · · ∨ λ(pαk
k).
4. En déduire une expression explicite de λ(n)en fonction des facteurs premiers de n, en distinguant suivant que
8divise nou non (on ne cherchera pas à expliciter les ppcm intervenant dans cette formule)
5. À l’aide des questions précédentes, montrer que nest un nombre de Carmichael si et seulement si nest composé,
sans facteur multiple ( i.e. vp(n) = 0 ou 1pour tout ppremier), et pour tout facteur premier pde n,p−1
divise n−1.
6. Montrer que 561 est un nombre de Carmichael.
7. Montrer que nest de Carmichael si et seulement si nest composé, et pour tout a∈Z,an≡a[n].
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