MPSI A Lycée Hoche Année scolaire 2016-2017 Devoir libre n◦7 1. A rendre pour le mardi 06/12 a. Donner quelques exemples de fonctions multiplicatives. b. Pour tout n ∈ N∗ , La fonction Exercice : Les nombres de Carmichael Un entier naturel n≥2 est appelé nombre de Carmichael si ∗ n−1 ∀a ∈ N , a ∧ n = 1 =⇒ a r(n) = |{p ∈ P | νp (n) 6= 1}| le nombre de nombres n. On pose alors : (−1)r(n) si ∀p ∈ P, νp (n) ≤ 1 µ(n) = 0 sinon notons µ est appelée fonction de M÷bius. Montrer qu'elle est faiblement multi- plicative, mais pas multiplicative. n c. Donner dans démonstration un autre exemple classique de fonction faiblement mul- est non premier et si : tiplicative mais non multiplicative. ≡ 1 [n]. Dans toute la suite du problème, on considère une application n ≥ 2. On suppose qu'il distincts p1 , ..., pr tels que : 1. Soit (i) (ii) a. r≥2 et des nombres premiers deux à deux c. Montrer que n Montrer que pour tout est un nombre de Carmichael. 561 = 3 × 11 × 17 i ∈ J1, rK, an−1 ≡ 1 [pi ]. k i ≡ 1 [m] ⇐⇒ r|i. est l'ordre de k Dans toute la suite, on pose modulo n ∈ N∗ , f (n) > 0. g = ln(f ). On a pour tout (n, m) ∈ (N∗ )2 : n ∧ m = 1 =⇒ g(nm) = g(n) + g(m). m ≥ 2 un entier, soit k ∈ Z. Supposons qu'il existe un entier l ≥ 1 tel que k l ≡ 1 [m]. r ∈ N∗ tel que pour tout i ∈ N : r faiblement multi- f (1). est un nombre de Carmichael. Montrer qu'il existe On dit que a. Déterminer b. Montrer que pour tout ∀i ∈ J1, rK, pi − 1|n − 1. ∗ Soit a ∈ N tel que a ∧ n = 1. f : N∗ → R plicative, croissante, non nulle. 2. n = p1 ...pr b. En déduire que 2. Soit existe un entier 3. Soit a ∈ N∗ , a ≥ 2. a. Montrer que pour tout k ∈ N, a ∧ (ak + ... + 1) = 1. b. Montrer que pour tout k ∈ N∗ : m. g(ak − (ak−1 + ... + 1)) ≤ kg(a) ≤ g(ak + ak−1 + ... + 1). 3. Soit n≥2 un nombre de Carmichael. On souhaite montrer que n n'est divisible par le carré d'aucun nombre premier. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe deux entiers p, q ∈ N∗ avec p premier tels que a. Montrer que an−1 ≡ 1 [n]. b. Montrer que p n = p2 q . Posons a modulo n. 4. Soit a = 1 + pq . On pourra commencer par exprimer est l'ordre de (1 + pq)(1 − pq). Conclure. a ∈ N∗ , a ≥ 2, Problème : Un théorème d'Erdös f : N∗ → R une application. On dit que f et soit k ∈ N∗ . a. Montrer qu'il existe un unique entier jk tel que : 3jk −1 − (3jk −2 + ... + 1) ≤ ak + ... + 1 < 3jk − (3jk −1 + ... + 1). On explicitera Soit pre- miers intervenants dans la décomposition primaire de jk b. En déduire que en fonction de a et de k. kg(a) ≤ jk g(3). c. A l'aide de l'expression de jk , montrer que : est : ln(a) jk −−−−−→ . k k→+∞ ln(3) (i) multiplicative si : ∗ 2 ∀(n, m) ∈ (N ) , f (nm) = f (n)f (m) (ii) faiblement multiplicative si : ∀(n, m) ∈ (N∗ )2 , n ∧ m = 1 =⇒ f (nm) = f (n)f (m) d. En déduire que : g(a) ≤ ln(a) g(3). ln(3) MPSI A Lycée Hoche 5. Soit Année scolaire 2016-2017 a ∈ N∗ , a ≥ 3 , et soit k ∈ N∗ . a. Montrer qu'il existe un unique mk ∈ N tel que : 3mk + ... + 3 + 1 ≤ ak − (ak−1 + ... + 1) < 3mk +1 + ... + 3 + 1. On explicitera mk en fonction de a et de k. b. Montrer que : mk ln(a) −−−−−→ . k k→+∞ ln(3) c. En déduire que : g(a) ≥ 6. Montrer qu'il existe α ∈ R∗ ln(a) g(3). ln(3) tel que : ∀n ∈ N∗ , n ≥ 3 =⇒ g(n) = α ln(n). 7. Montrer que cette égalité reste vraie pour 8. Montrer que pour tout n=1 et n = 2. On pourra calculer g(6). n ∈ N∗ , f (n) = nα . En particulier, toute fonction faiblement multiplicative et croissante est multiplicative. Il s'agit du théorème d'Erdös.