LEÇON 305: EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES NOMBRES

LEÇON 305: EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES NOMBRES PREMIERS
Sébastien Aubertin, séance du Lundi 26 Octobre 2009
I NOMBRES PSEUDO­PREMIERS ET NOMBRES DE CARMICHAEL
Soit n et a deux entiers. Le théorème de Fermat affirme que si n est premier et a et n sont premiers entre eux, alors a n−1≡1 (mod n) .
1) Soit un entier a≥2 . Un entier n est dit pseudo­premier en base a ( pp­a ) si n n'est pas premier et si a n−1≡1 (mod n) . Si p>2 est un nombre premier ne divisant pas a(a^2­1), montrer que n=(a^{2p}­1)(a^2­1) est un nombre pp­a. En déduire qu'il existe une infinité de nombres pp­a.
2) Un entier n≥2 est appelé nombre de Carmichael si n n'est pas un nombre premier et si pour tout entier a, a n≡a mod n (En particulier, pour tout entier n premier avec a , n est pp­a)
1. Montrer que, si n= p 1 ... pk ou les pi sont des nombres premiers, et tels que pour tout i pi – 1 | n – 1 , alors n est un nombre de Carmichael.
2. Réciproquement, montrer que tout nombre de Carmichael peut se mettre sous la forme n= p 1 ... p k où les pi sont des nombres premiers, et tels que pour tout i pi – 1 | n – 1 .
3. Montrer qu'un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers.
4. Soit n= pqr un nombre de Carmichael à trois facteurs premiers. Montrer que si p
est fixé, q et r sont bornés.
II TEST DE PRIMALITE DE FERMAT SOUS SCILAB
Écrire une fonction prim_fermat pour Scilab qui teste la « probable primalité » d'un entier.
Cette fonction prend en argument un entier positif et retourne un booléen avec la valeur vrai si n
est pp­a pour a ∈ { 2, 3,5, 7 } et faux si n est composé.
On effectuera de préférence les calculs sur des vecteurs plutôt que des variables réelles , et on pourra écrire une fonction qui calcule les puissance modulo n des coordonnées d'un vecteur a pour éviter les grands nombres.
Tester cette fonction pour quelque entiers puis vérifier que la fonction prim_fermat retourne vrai pour n=75361=11×13×17×31 . Que faut­il modifier dans l'algorithme pour qu'il détecte que 75361 est composé?
III RÉPARTITION DES NOMBRES PREMIERS
Soit P l'ensemble des nombres premiers.
1) Montrer que tout entier n supérieur ou égal 2 est produit d'un nombre fini d'éléments de P.
2) Prouver que P est infini.
3) On note p1 p 2... pn ... les éléments de P. Montrer que la série de terme général 1
est divergente. pn
IV LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
∞
1
Pour tout s1 , on pose ζ s=∑ s , et on note  pn n ∈N la suite des nombres premiers n=1 n
rangés dans l'ordre croissant.
n
1
*
 . Prouver que la suite un n ∈N a une limite 1) Si n ∈ N , on note u n=∏ 
−s
k=1 1− p k
réelle non nulle notée Z s .
2) Établir Z s=ζ s  .
*
*