LEÇON 305: EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES NOMBRES

LEÇON 305: EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES NOMBRES PREMIERS
Sébastien Aubertin, séance du Lundi 26 Octobre 2009
I NOMBRES PSEUDO-PREMIERS ET NOMBRES DE CARMICHAEL
Soit n et a deux entiers. Le théorème de Fermat affirme que si n est premier et a et n sont premiers
entre eux, alors
an−1≡1(mod n)
.
1) Soit un entier
a≥2
. Un entier n est dit pseudo-premier en base a ( pp-a ) si n n'est pas
premier et si
an−1≡1(mod n)
. Si p>2 est un nombre premier ne divisant pas a(a^2-1),
montrer que n=(a^{2p}-1)(a^2-1) est un nombre pp-a. En déduire qu'il existe une infinité de
nombres pp-a.
2) Un entier
n≥2
est appelé nombre de Carmichael si n n'est pas un nombre premier et si
pour tout entier a,
an≡amod n
(En particulier, pour tout entier
n
premier avec
a
,
n
est pp-a)
1. Montrer que, si
n=p1... pk
ou les
pi
sont des nombres premiers, et tels que pour
tout i
pi–1|n – 1
, alors
n
est un nombre de Carmichael.
2. Réciproquement, montrer que tout nombre de Carmichael peut se mettre sous la forme
n=p1... pk
où les
pi
sont des nombres premiers, et tels que pour tout
i
pi–1|n –1
.
3. Montrer qu'un nombre de Carmichael a au moins trois facteurs premiers.
4. Soit
n=pqr
un nombre de Carmichael à trois facteurs premiers. Montrer que si
p
est fixé,
q
et
r
sont bornés.
II TEST DE PRIMALITE DE FERMAT SOUS SCILAB
Écrire une fonction prim_fermat pour Scilab qui teste la « probable primalité » d'un entier.
Cette fonction prend en argument un entier positif et retourne un booléen avec la valeur vrai si
n
est pp-a pour
a∈ { 2,3,5,7 }
et faux si
n
est composé.
On effectuera de préférence les calculs sur des vecteurs plutôt que des variables réelles , et on
pourra écrire une fonction qui calcule les puissance modulo
n
des coordonnées d'un vecteur
a
pour éviter les grands nombres.
Tester cette fonction pour quelque entiers puis vérifier que la fonction prim_fermat retourne vrai
pour
n=75361=11×13×17×31
. Que faut-il modifier dans l'algorithme pour qu'il détecte que
75361
est composé?
III RÉPARTITION DES NOMBRES PREMIERS
Soit P l'ensemble des nombres premiers.
1) Montrer que tout entier n supérieur ou égal 2 est produit d'un nombre fini d'éléments de P.
2) Prouver que P est infini.
3) On note
p1p2...pn...
les éléments de P. Montrer que la série de terme général
1
pn
est divergente.

IV LA FONCTION ZÊTA DE RIEMANN
Pour tout
s1
, on pose
ζs=∑
n=1
∞ 1
ns
, et on note
pnn∈N*
la suite des nombres premiers
rangés dans l'ordre croissant.
1) Si
n∈N*
, on note
un=∏
k=1
n
1
1−pk
−s
. Prouver que la suite
unn∈N*
a une limite
réelle non nulle notée
Zs
.
2) Établir
Zs=ζs
.