DM N°4 – MATRICES MAGIQUES( pour le 22/10/2010)

– DM N°4 – MATRICES MAGIQUES PSI* 10-11
DM N°4 – MATRICES MAGIQUES( pour le 22/10/2010)
Le but du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices magiques.
N.B : La partie A, consacrée entièrement à l’informatique, est entièrement indépendante des autres.
NOTATIONS :
Dans tout le problème, Mndésigne la R-algèbre des matrices carrées à nlignes et ncolonnes, nétant un entier
supérieur ou égal à 2.
Si A appartient à Mn, on note ai j , pour (i,j)∈[[1, n]]2, l’élément de la i-ème ligne et de la j-ième colonne de A.
Indésigne la matrice unité de Mnet Jndésigne la matrice de Mndont tous les éléments sont égaux à 1.
On considère le sous-ensemble Ede Mnformé des matrices A telles que les 2nnombres réels
n
X
k=1
aik et
n
X
h=1
ahj pour i∈[[1, n]] et j∈[[1, n]]
soient tous égaux, et on note alors d(A)leur valeur commune.
(Eest l’ensemble des matrices pseudo-magiques).
On considère aussi le sous-ensemble Fde Edes matrices A vérifiant en outre :
n
X
i=1
aii =
n
X
i=1
ai,n+1−i=d(A)
(Fest l’ensemble des matrices magiques).
PARTIE A : Exemples de matrices magiques d’ordre impair
On propose ici un algorithme permettant d’obtenir une matrice magique d’ordre nimpair, et dont les coefficients sont
les entiers 1, 2, 3, . . . , n2.
On place l’entier 1 au milieu de la première ligne. On suppose par récurrence que les kpremiers entiers ont été placés
(pour 1 ¶k¶n2−1), et que l’entier ka été placé en i-ème ligne et j-ème colonne. On place alors l’entier k+1 en
respectant les règles suivantes :
— on pose I =i−1 (sauf si i=1, auquel cas on pose I =n) et J =j+1 (sauf si j=n, auquel cas on pose J =1) ;
— si aucun nombre n’a encore été placé à la I-ème ligne et J-ième colonne, on y place k+1 ;
— si l’emplacement précédent est déjà occupé, on pose I =i+1 (sauf si i=nauquel cas on pose I =1) et J =j, et
on place k+1 en I-ème ligne et J-ième colonne.
1. Pour n=3 puis pour n=5, construire une matrice magique en utilisant l’algorithme précédent.
2. La constante impaire nétant supposée pré-définie, écrire un programme MAPLE qui construise, en suivant l’algo-
rithme précédent, une matrice magique d’ordre n.
PARTIE B : Étude de E
1. Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de Mn, et que l’application dest une forme linéaire sur E.
2. a) Montrer qu’une matrice A de Mnappartient à Esi et seulement si il existe un réel λtel que AJn=JnA=λJn.
Exprimer alors λen fonction de d(A).
b) En déduire que Eest une sous-algèbre de Mn, et que l’application dest un morphisme de R-algèbres.
c) Si A est une matrice inversible de E, montrer que d(A)est non nul, que A−1appartient à E, et comparer d(A)
et d(A−1).
Réciproquement, si A appartient à Eet que d(A)est non nul, la matrice A est-elle nécessairement inversible ?
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/39 octobre 2010

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d) Soit A ∈ E . On pose C =d(A)
nJnet B =A−C.
Calculer les produits BC et CB.
Comparer, pour p∈N∗, Apet Bp+Cp.
3. a) Soit Gle sous-ensemble de Econstitué par les matrices A telles que d(A) = 0, et Hle sous-ensemble de E
constitué des matrices de la forme λJnoù λdécrit R.
Prouver que Get Hsont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.
b) Pour ret séléments de [[2, n]], on note Ars la matrice de Mndont tous les éléments sont nuls sauf
a11,ars,a1s,ar1qui sont tels que : a11 =ars =1 et a1s=ar1=−1.
Montrer que l’ensemble des matrices Ars pour (r,s)∈[[2, n]]2est un système libre, puis qu’il constitue une
base de G.
En déduire la dimension de Gpuis une base et la dimension de E.
c) Dans le cas n=2 , donner la forme générale des matrices de E.
PARTIE C : Étude de Fdans le cas général
1. Montrer que Fest un sous-espace vectoriel de E.
2. a) Soit E un espace vectoriel de dimension p(p¾2), et H et H′deux hyperplans distincts de E. Déterminer la
dimension de H ∩H′.
b) Soient l1et l2les applications définies sur Epar :
l1(A) = d(A)−
n
X
i=1
aii et l2(A) = d(A)−
n
X
i=1
ai,n+1−i
Montrer que ce sont des formes linéaires sur E.
c) Montrer que, si n>2, ces deux formes linéaires sont indépendantes (on pourra calculer les images par l1et
l2de Inet de Ann , où Ann est définie comme en B.3.b).
d) Déduire des questions précédentes la dimension de F(distinguer les cas n=2 et n>2).
Dans le cas n=2 , donner la forme générale des matrices de F.
PARTIE D : Étude de Fdans le cas n=3
Dans cette partie, on suppose n=3. On appelle carré magique tout élément de Fdont les coefficients sont des entiers
positifs.
1. Eest rapporté à la base {A22, A23, A32, A33, J3}trouvée à la question B.3.b.
a) Déterminer dans cette base un système d’équations linéaires caractérisant F.
En déduire que les matrices {2A23 −A33, 2A32 −A33, J3}forment une base de F.
b) En déduire que Fest l’ensemble des matrices de la forme :
b+c a −b+c−a+c
−a−b+cca+b+c
a+c b −a+c−b+c
lorsque a,b,cdécrivent R.
2. Pour les 5/2 uniquement :
a) Si A est une matrice de F, montrer que d(A)en est une valeur propre. Quel en est un vecteur propre associé ?
b) Montrer que les deux autres valeurs propres de A (dans C) sont opposées.
3. cétant un entier naturel fixé, déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur aet bpour qu’il
existe une matrice A, définie par la formule du D.1.b, dont les coefficients soient aussi des entiers naturels (on
pourra interpréter graphiquement les conditions obtenues en précisant la région du plan à laquelle appartient le point de
coordonnées (a,b)).
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 2/39 octobre 2010

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4. d(A)étant un entier naturel donné, déterminer en fonction de d(A)le nombre de carrés magiques à coefficients
dans N, puis le nombre de carrés magiques à coefficients dans N∗.
5. Déterminer tous les carrés magiques dont les coefficients appartiennent à l’ensemble {1, 2, . . . , 9}, et où chacun de
ces nombres ne figure qu’une seule fois.
PARTIE E : Étude d’un système générateur de E
Dans cette partie, ndésigne de nouveau un entier naturel quelconque (supérieur ou égal à 2).
On désigne par Σnle groupe des permutations de l’ensemble {1, 2, . . . , n}. Pour tout élément σde Σn, et pour tout
vecteur x= (x1,x2,...,xn)de Rn, on pose : fσ(x) = (xσ(1),xσ(2),...,xσ(n)).
1. a) Montrer que fσest un endomorphisme de Rn.
b) Vérifier que : ∀j∈[[1, n]] ,fσ(ej) = eσ−1(j).
2. Soit alors B= (e1,e2,...,en)la base canonique de Rn, et Pσla matrice de fσdans B(Pσs’appelle une matrice
de permutation).
a) Montrer que Pσappartient à E, et calculer d(Pσ).
b) Montrer que : ∀σ,σ′∈Σn, PσPσ′=Pσ′σ. En déduire que : ∀σ∈Σn,Pσ−1=Pσ−1=tPσ.
c) On note Pl’ensemble des matrices Pσlorsque σdécrit Σn. Quel est le cardinal de P? Quelle est la structure
de Pmuni de la multiplication des matrices ?
3. Soit Qle sous-espace vectoriel de Eengendré par P. Montrer que la matrice Jnet les matrices Ars appartiennent
àQ.
Comparer les espaces vectoriels Qet E.
4. a) Soit D={A∈ E , tq d(A) = 1 et ∀(i,j)∈[[1, n]]2,ai j ¾0}.
(les matrices de Dsont appelées les matrices stochastiques)
i. Montrer que Pest un sous-ensemble de D.
ii. Soient A et B deux matrices distinctes de Det soit P une matrice de Ptelles que P =αA+βB avec
α¾0 et β¾0.
Démontrer : P =A ou P =B.
b) Démontrer que, pour toute matrice A de D, il existe mmatrices Pσ1, Pσ2,...Pσmet mréels non nuls
λ1,λ2,...,λmtels que :
1¶m¶(n−1)2+1 et A =
m
X
k=1
λkPσk
Calculer
m
X
k=1
λk.
c) Soit A une matrice appartenant à D.
Montrer que : ∀i∈[[1, n]],
n
X
k=1
a2
ik ¶1.
Dans quel cas l’égalité est-elle réalisée pour un indice i?
En déduire qu’une matrice A de Dappartient à Psi et seulement si elle est inversible dans D.
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Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 3/39 octobre 2010