DM N°4 – MATRICES MAGIQUES( pour le 22/10/2010)

PSI* 10-11
– DM N°4 – MATRICES MAGIQUES
DM N°4 – MATRICES MAGIQUES( pour le 22/10/2010)
Le but du problème est d’étudier certaines propriétés des matrices magiques.
N.B : La partie A, consacrée entièrement à l’informatique, est entièrement indépendante des autres.
NOTATIONS :
Dans tout le problème, Mn désigne la R -algèbre des matrices carrées à n lignes et n colonnes, n étant un entier
supérieur ou égal à 2.
Si A appartient à Mn , on note ai j , pour (i, j) ∈ [[1, n]]2 , l’élément de la i -ème ligne et de la j -ième colonne de A .
In désigne la matrice unité de Mn et Jn désigne la matrice de Mn dont tous les éléments sont égaux à 1.
On considère le sous-ensemble E de Mn formé des matrices A telles que les 2n nombres réels
n
X
aik et
k=1
n
X
ah j pour i ∈ [[1, n]] et j ∈ [[1, n]]
h=1
soient tous égaux, et on note alors d(A) leur valeur commune.
(E est l’ensemble des matrices pseudo-magiques).
On considère aussi le sous-ensemble F de E des matrices A vérifiant en outre :
n
X
i=1
aii =
n
X
ai,n+1−i = d(A)
i=1
(F est l’ensemble des matrices magiques).
PARTIE A : Exemples de matrices magiques d’ordre impair
On propose ici un algorithme permettant d’obtenir une matrice magique d’ordre n impair, et dont les coefficients sont
les entiers 1, 2, 3, . . . , n2 .
On place l’entier 1 au milieu de la première ligne. On suppose par récurrence que les k premiers entiers ont été placés
(pour 1 ¶ k ¶ n2 − 1) , et que l’entier k a été placé en i -ème ligne et j -ème colonne. On place alors l’entier k + 1 en
respectant les règles suivantes :
— on pose I = i − 1 (sauf si i = 1, auquel cas on pose I = n) et J = j + 1 (sauf si j = n, auquel cas on pose J = 1) ;
— si aucun nombre n’a encore été placé à la I -ème ligne et J-ième colonne, on y place k + 1 ;
— si l’emplacement précédent est déjà occupé, on pose I = i + 1 (sauf si i = n auquel cas on pose I = 1) et J = j , et
on place k + 1 en I -ème ligne et J-ième colonne.
1. Pour n = 3 puis pour n = 5, construire une matrice magique en utilisant l’algorithme précédent.
2. La constante impaire n étant supposée pré-définie, écrire un programme MAPLE qui construise, en suivant l’algorithme précédent, une matrice magique d’ordre n.
PARTIE B : Étude de E
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn , et que l’application d est une forme linéaire sur E .
2.
a) Montrer qu’une matrice A de Mn appartient à E si et seulement si il existe un réel λ tel que AJn = Jn A = λJn .
Exprimer alors λ en fonction de d(A) .
b) En déduire que E est une sous-algèbre de Mn , et que l’application d est un morphisme de R -algèbres.
c) Si A est une matrice inversible de E , montrer que d(A) est non nul, que A−1 appartient à E , et comparer d(A)
et d(A−1 ) .
Réciproquement, si A appartient à E et que d(A) est non nul, la matrice A est-elle nécessairement inversible ?
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval
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9 octobre 2010
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d(A)
Jn et B = A − C.
n
Calculer les produits BC et CB.
d) Soit A ∈ E . On pose C =
Comparer, pour p ∈ N∗ , A p et B p + C p .
3.
a) Soit G le sous-ensemble de E constitué par les matrices A telles que d(A) = 0, et H le sous-ensemble de E
constitué des matrices de la forme λJn où λ décrit R .
Prouver que G et H sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E .
b) Pour r et s éléments de [[2, n]] , on note A rs la matrice de Mn dont tous les éléments sont nuls sauf
a11 , a rs , a1s , a r1 qui sont tels que : a11 = a rs = 1 et a1s = a r1 = −1.
Montrer que l’ensemble des matrices A rs pour (r, s) ∈ [[2, n]]2 est un système libre, puis qu’il constitue une
base de G .
En déduire la dimension de G puis une base et la dimension de E .
c) Dans le cas n = 2, donner la forme générale des matrices de E .
PARTIE C : Étude de F dans le cas général
1. Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E .
2.
a) Soit E un espace vectoriel de dimension p (p ¾ 2) , et H et H′ deux hyperplans distincts de E. Déterminer la
dimension de H ∩ H′ .
b) Soient l1 et l2 les applications définies sur E par :
l1 (A) = d(A) −
n
X
aii et l2 (A) = d(A) −
i=1
n
X
ai,n+1−i
i=1
Montrer que ce sont des formes linéaires sur E .
c) Montrer que, si n > 2, ces deux formes linéaires sont indépendantes (on pourra calculer les images par l1 et
l2 de In et de Ann , où Ann est définie comme en B.3.b).
d) Déduire des questions précédentes la dimension de F (distinguer les cas n = 2 et n > 2).
Dans le cas n = 2, donner la forme générale des matrices de F .
PARTIE D : Étude de F dans le cas n = 3
Dans cette partie, on suppose n = 3. On appelle carré magique tout élément de F dont les coefficients sont des entiers
positifs.
1. E est rapporté à la base {A22 , A23 , A32 , A33 , J3 } trouvée à la question B.3.b.
a) Déterminer dans cette base un système d’équations linéaires caractérisant F .
En déduire que les matrices {2A23 − A33 , 2A32 − A33 , J3 } forment une base de F .
b) En déduire que F est l’ensemble des matrices de la forme :

b+c
a− b+c

c
 −a − b + c
a+c
b−a+c

−a + c

a+b+c 
−b + c
lorsque a, b, c décrivent R .
2. Pour les 5/2 uniquement :
a) Si A est une matrice de F , montrer que d(A) en est une valeur propre. Quel en est un vecteur propre associé ?
b) Montrer que les deux autres valeurs propres de A (dans C ) sont opposées.
3. c étant un entier naturel fixé, déterminer des conditions nécessaires et suffisantes portant sur a et b pour qu’il
existe une matrice A , définie par la formule du D.1.b, dont les coefficients soient aussi des entiers naturels (on
pourra interpréter graphiquement les conditions obtenues en précisant la région du plan à laquelle appartient le point de
coordonnées (a, b) ).
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4. d(A) étant un entier naturel donné, déterminer en fonction de d(A) le nombre de carrés magiques à coefficients
dans N , puis le nombre de carrés magiques à coefficients dans N∗ .
5. Déterminer tous les carrés magiques dont les coefficients appartiennent à l’ensemble {1, 2, . . . , 9} , et où chacun de
ces nombres ne figure qu’une seule fois.
PARTIE E : Étude d’un système générateur de E
Dans cette partie, n désigne de nouveau un entier naturel quelconque (supérieur ou égal à 2).
On désigne par Σn le groupe des permutations de l’ensemble {1, 2, . . . , n} . Pour tout élément σ de Σn , et pour tout
vecteur x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de Rn , on pose : fσ (x) = (x σ(1) , x σ(2) , . . . , x σ(n) ) .
1.
a) Montrer que fσ est un endomorphisme de Rn .
b) Vérifier que : ∀ j ∈ [[1, n]] , fσ (e j ) = eσ−1 ( j) .
2. Soit alors B = (e1 , e2 , . . . , en ) la base canonique de Rn , et Pσ la matrice de fσ dans B (Pσ s’appelle une matrice
de permutation).
a) Montrer que Pσ appartient à E , et calculer d(Pσ ) .
b) Montrer que : ∀σ, σ′ ∈ Σn , Pσ Pσ′ = Pσ′ σ . En déduire que : ∀ σ ∈ Σn , Pσ
−1
= Pσ−1 = t Pσ .
c) On note P l’ensemble des matrices Pσ lorsque σ décrit Σn . Quel est le cardinal de P ? Quelle est la structure
de P muni de la multiplication des matrices ?
3. Soit Q le sous-espace vectoriel de E engendré par P . Montrer que la matrice Jn et les matrices A rs appartiennent
à Q.
Comparer les espaces vectoriels Q et E .
4.
a) Soit D = {A ∈ E , tq d(A) = 1 et ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2 , ai j ¾ 0} .
(les matrices de D sont appelées les matrices stochastiques)
i. Montrer que P est un sous-ensemble de D .
ii. Soient A et B deux matrices distinctes de D et soit P une matrice de P telles que P = αA + βB avec
α ¾ 0 et β ¾ 0.
Démontrer : P = A ou P = B.
b) Démontrer que, pour toute matrice A de D , il existe m matrices Pσ1 , Pσ2 , . . . Pσm et m réels non nuls
λ1 , λ2 , . . . , λm tels que :
m
X
1 ¶ m ¶ (n − 1)2 + 1 et A =
λk Pσk
k=1
Calculer
m
X
λk .
k=1
c) Soit A une matrice appartenant à D .
n
X
2
Montrer que : ∀i ∈ [[1, n]],
aik
¶ 1.
k=1
Dans quel cas l’égalité est-elle réalisée pour un indice i ?
En déduire qu’une matrice A de D appartient à P si et seulement si elle est inversible dans D .
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