Corrigé des activités 1, 2, 3, 4, 5 et 6 pages 65-66-67

Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné Page 1 sur 2 Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif"
Corrigé des activités du Chapitre 7
PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF
ACTIVITÉ 1 page 65 "Puissances d'exposant entier positif"
Pour résoudre ce problème, il peut être judicieux de réaliser un tableau décrivant le
développement des bactéries à chaque heure de développement :
Heures 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Multiplication ×3 ×
××
×9 ×27 ×81 ×
××
×243 ×729 ×2187 ×
××
×6561
 Le tableau nous donne directement :
a- Au bout de 2 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par 3×3 = 9.
b- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par
3×3×3×3×3 = 243.
c- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par
3×3×3×3×3×3×3×3 = 6561.
 a- Le produit 3×3 se note aussi 3
2
.
b- Le produit 3×3×3×3×3 se note aussi 3
5
.
b- Le produit 3×3×3×3×3×3×3×3 se note aussi 3
8
.
Pour conclure :
 La notation
n
3
représente
nfois
3 3 ... 3
× × ×
.
 L'écriture
1
3
correspond à
1fois
3
donc
1
3 3
=
.
 Le nombre
n
3
est une puissance de 3 et le nombre n est appelé l'exposant.
n
3
se lit " 3 exposant n " ou " 3 puissance n ".
4
5 5555
= × × ×
.
7
1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4
=×××××× .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2 3,2
− = − × − × − × − × − × − .
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2
− = − × − × −
.
ACTIVITÉ 2 page 65 "Puissances d'exposant entier négatif"
 a- Echelle des puissances de 7 complétée
b- Lorsqu'on divise par 7, l'exposant d'une puissance de 7 subit
l'opération "-1".
Exemple :
3 3 1 2
7 :7 7 7
−
= =
.
c-
1
0 1
7 7
7 7 :7
7 7
= = =
donc
0
7 1
=
.
 a- Echelle des puissances de 7 complétée
b-
0
1
7 :7 1 :7
7
= =
d'où
1
1
7
7
−
=
.
1
2
1 1 1
7 :7 7 7
7
−= × =
d'où
2
2
1
7
7
−
= .
2
2 3
1 1 1 1 1 1
7 :7 7 7
7 7
7 7
−
= × = × × = d'où
3
3
1
7
7
−
= .
Pour conclure : Si n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1, la notation
n
7
−
représente la fraction
n
1
7
.
ACTIVITÉ 3 page 66 "Signe d'une puissance"
 a-
4
2 2222
= × × ×
5
2 22222
=××××
.
b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne :
4
2 0
>
et
5
2 0
>
(que des facteurs positifs dans le produit).
 a-
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2 2
− = − × − × −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
2 222222
− = − × − × − × − × − × −
b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne :
( )
3
2 0
− <
car il y a un nombre impair de facteurs négatifs (3 facteurs négatifs).
( )
6
2 0
− >
car il y a un nombre pair de facteurs négatifs (6 facteurs négatifs).
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
×
××
×
3
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
1
7
−
2
7
−
3
7
−
4
7
−
: 7
: 7
: 7
: 7
: 7
: 7
: 7
: 7

Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné Page 2 sur 2 Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif"
ACTIVITÉ 4 page 66 "Puissances de 10"
2
2zéros 2facteurs
1 10 10 10
00 = × =
3
3zéros 3facteurs
1 10 10 1000
0
0
1
= × × =
5
5zéros 5facteurs
1 10 10 10 1000000
10 10
= × × × × =
1
11zéro
1
10
0
,1
10
−
= =
3
33zéros
0,00
10 10 10
1 1 1
10 1
10 0010
−
= = = =
× ×
4
44zéros
0,000
10 10 10 10
1 1 1
10 1
1
100 0 00
−
= = = =
××× .
Pour conclure :
Si n désigne un nombre entier positif alors :
 Il y a n zéros dans l'écriture décimale de
n
10
n
n zéros
nfois
10 10 ... 10 10...0
= × × =
 Il y a n zéros dans l'écriture décimale de
n
10
−
nn
n zéros
n zéros
nfois
1 1 1
10 0,0...01
10 ... 10 10...0
10
−
= = = =
× ×
 a-
3
21,65 10 21,65 1000 21650
× = × = (virgule décalée de 3 rangs vers la droite)
22
105,4 105,4
105,4 10 1,054
10010
−
× = = = (virgule décalée de 2 rangs vers la gauche).
b- Multiplier 21,65 par
3
10
revient à déplacer la virgule de
3
rangs vers la droite.
Multiplier 105,4 par
2
10
−
revient à déplacer la virgule de
2
rangs vers gauche.
ACTIVITÉ 5 page 66 "Opérations sur les puissances de 10"
2 3 5
2facteurs 3facteurs
5facteurs
10 10 10 10 10 10 10 10
× = × × × × =
2 3
1facteur 2facteurs
3facteurs
10 10 10 10 10 10
× = × × =
1 3 3
1
1 10
10 10 10
10
−
× = × = 10 10
10
× ×
2
10 10 10
= × =
2 4 6
2 4 2 4 6
2facteurs 4facteurs
1 1 1 1 1
10 10 10
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10
− − −
× = × = = = =
×××××
× 
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a
n p n p
10 10 10
+
× = .
5
3
10 10
10 =10×10×10 10
10 × × 10×10×
2
10 10 10
= × =
2
7
10 10
10 =10×
10 10×
5
5
1
10
10
10 10 10 10 10
−
= =
×××××
0
6
6 6
10 1
10
10 10
− −
= =
43
3 4
10 1 10
10
10 10
−
−
= × = 10×10×
10 10×10×
1
1
10
10
10
−
= =
×
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a
n
n p
p
10
10
10
−
=
.
 a.
(
)
3
2 2 2 2 6
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
= × × = × × × × × =
b.
( )
2
2 2 2 4
2 2 4
1 1 1
10 10 10 10
10 10 10 10
10 10 10
− − − −
= × = = = =
× × ×
×
c. 
( ) ( )
2
3 6
2 3 3 6
3
1 1 1 1
10 10
10 10 10 10 10 1010 10 10
10
−
−
= = = = =
× × × × ××
( ) ( )
( )
4
4 4 4
2 2 8
2
1
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
10
−
−−
= = = × = × × × × × × × = .
Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a
(
)
p
n n p
10 10
×
=
.
ACTIVITÉ 6 page 67 "Notation scientifique"
 a.
1
452 10 4520
× = ;
2
452000 10 4520
−
× = .
b.
1
4520 45200 10
−
= × ;
3
4520 4520000 10
−
= × .
c.
3
4520 4,52 10
= × c'est la notation scientifique (unique) de 4520.
 a. Distance Mercure-Soleil :
6 6 1 6 7 7
0,39 149,6 10 58,344 10 5,8344 10 10 5,8344 10 km 6
10 km.
× × = × = × × = × ≈ ×
Distance Jupiter-Soleil :
6 6 2 6 8 8
5,2 149,6 10 777,92 10 7,7792 10 10 7,7792 10 km 8 1
0 km
× × = × = × × = × ≈ × .
Distance Jupiter-Soleil :
6 6 3 6 9 9
30,1 149,6 10 4502,96 10 4,50296 10 10 4,50296 10
km 5 10 km.
× × = × = × × = × ≈ ×