ACTIVITÉ 2 page 65 Corrigé des activités du Chapitre 7 PUISSANCES D'EXPOSANT ENTIER RELATIF ACTIVITÉ 1 page 65 a- Echelle des puissances de 7 complétée "Puissances d'exposant entier positif" 71 7 c- 7 = 7 : 7 = = donc 7 0 = 1 . 7 7 0 0 1 ×3 ×3 2 ×9 ×3 3 ×27 ×3 4 ×81 ×3 5 ×243 ×3 6 ×729 ×3 7 ×2187 ×3 8 ×6561 74 b- Lorsqu'on divise par 7, l'exposant d'une puissance de 7 subit l'opération "-1". Exemple : 7 3 : 7 = 73−1 = 7 2 . Pour résoudre ce problème, il peut être judicieux de réaliser un tableau décrivant le développement des bactéries à chaque heure de développement : Heures Multiplication "Puissances d'exposant entier négatif" b- 70 : 7 = 1 : 7 = 1 7 1 1 1 7 :7 = × = 2 7 7 7 −1 7 −2 : 7 = 1 7 n fois L'écriture 31 correspond à 3 donc 31 = 3 . 1fois 7 1 7 2 × d'où 7 −1 = d'où 7 −2 = 1 72 0 :7 1 . 7 7 −1 :7 . 1 1 1 1 1 1 = × × = d'où 7 −3 = . 7 7 7 7 73 73 7 −2 :7 7 −3 :7 7 −4 Pour conclure : Si n désigne un nombre entier supérieur ou égal à 1, la notation 7 − n 1 représente la fraction n . 7 ACTIVITÉ 3 page 66 "Signe d'une puissance" a- 24 = 2 × 2 × 2 × 2 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 . Le nombre 3n est une puissance de 3 et le nombre n est appelé l'exposant. 3n se lit " 3 exposant n " ou " 3 puissance n ". 5 4 = 5×5×5×5 . 7 :7 2 La notation 3n représente 3 × 3 × ... ×3 . :7 2 :7 a- Echelle des puissances de 7 complétée Le tableau nous donne directement : a- Au bout de 2 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par 3×3 = 9. b- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par 3×3×3×3×3 = 243. c- Au bout de 5 heures, le nombre initial de bactéries a été multiplié par 3×3×3×3×3×3×3×3 = 6561. Pour conclure : 73 1 ×3 a- Le produit 3×3 se note aussi 3 . b- Le produit 3×3×3×3×3 se note aussi 35. b- Le produit 3×3×3×3×3×3×3×3 se note aussi 38. :7 b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne : 2 4 > 0 et 25 > 0 (que des facteurs positifs dans le produit). a- ( −2 ) 3 = ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) ( −2 ) 6 = ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) 7 1, 4 = 1, 4 × 1, 4 × 1, 4 ×1, 4 ×1, 4 × 1, 4 × 1, 4 . ( −3, 2 ) 6 ( −2 ) = ( −2 ) × ( −2 ) × ( −2 ) . 3 = ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) × ( −3, 2 ) . Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné b- La règle des signes pour un produit de nombres relatifs nous donne : ( −2 ) < 0 6 ( −2 ) > 0 3 Page 1 sur 2 car il y a un nombre impair de facteurs négatifs (3 facteurs négatifs). car il y a un nombre pair de facteurs négatifs (6 facteurs négatifs). Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif" ACTIVITÉ 4 page 66 "Puissances de 10" 10−2 × 10−4 = 1 00 × 10 = 102 = 10 2 zéros 2 facteurs 1 00 ×10 × 10 = 10 0 = 10 3 3facteurs 1 00000 ×10 × 10 × 10 × 10 = 105 = 10 5 zéros 10−1 = 10−4 = 5 facteurs 1 10−3 = = 0 ,1 10 1zéro 1 1 10 4 1 10 3 1 = 4 facteurs Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a 10 n × 10p = 10 n + p . 2 facteurs 3 zéros 1 1 1 1 1 × 4 = 2 = = 6 = 10−6 2 4 × ×10 × 10 × 10 10 × 10 10 10 10 10 10 × 10 10 × 10 × 10 × 10 = = 1 10 × 10 × 10 1 10000 = 1 1000 102 10 × 10 1 = = = 10−5 107 10 × 10 ×10 × 10 × 10 × 10 × 10 105 100 1 = −6 = 106 −6 10 10 = 0, 001 3 zéros 105 10 × 10 × 10 ×10 × 10 = = 10 × 10 = 102 103 10 × 10 × 10 = 0, 0001 . 10−4 1 10 × 10 × 10 1 = 4 × 103 = = = 10−1 −3 10 10 10 × 10 × 10 × 10 10 4 zéros Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a Pour conclure : a. Si n désigne un nombre entier positif alors : Il y a n zéros dans l'écriture décimale de 10n 10n = 10 × ... × 10 = 10...0 n fois b. Il y a n zéros dans l'écriture décimale de 10 − n 1 1 1 10− n = n = = = 0, 0...01 10 × ... × 10 10...0 10 n zéros a- 21, 65 × 10 = 21, 65 × 1000 = 21650 (virgule décalée de 3 rangs vers la droite) 105, 4 105, 4 105, 4 × 10−2 = = = 1,054 (virgule décalée de 2 rangs vers la gauche). 102 100 b- Multiplier 21,65 par 103 revient à déplacer la virgule de 3 rangs vers la droite. −2 Multiplier 105,4 par 10 revient à déplacer la virgule de 2 rangs vers gauche. "Opérations sur les puissances de 10" 10 × 102 = 10 × 10 = 103 × 10 1facteur 2 facteurs 5 facteurs 1 10 ×10 × 10 10−1 ×103 = 1 ×103 = = 10 ×10 = 102 10 10 Classe de 4° - Mathématiques - Collège Madame de Sévigné −2 2 = 10 −2 ×10 −2 = ) 3 −2 = 1 (10 ) 3 2 1 10 × 10 2 2 = 1 10 × 10 × 10 × 10 = 1 10 4 = 10 −4 1 1 1 = 3 = = 6 = 10−6 3 10 × 10 10 ×10 × 10 × 10 ×10 × 10 10 4 3 102 × 103 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105 2 facteurs 3facteurs (10 ) = 102 × 102 ×102 = 10 ×10 × 10 ×10 × 10 × 10 = 106 −4 4 4 1 (10−2 ) = −2 = (102 ) = (10 × 10 ) = 10 × 10 × 10 ×10 × 10 × 10 ×10 × 10 = 108 . 10 n zéros ACTIVITÉ 5 page 66 2 3 c. (10 n zéros n fois (10 ) 10n = 10n − p . 10p 3 facteurs Pour conclure : n et p désignant deux nombres entiers relatifs, on a (10 ACTIVITÉ 6 page 67 ) n p = 10n × p . "Notation scientifique" a. 452 ×10 1 = 4520 ; 452000 × 10 −2 = 4520 . b. 4520 = 45200 × 10 −1 ; 4520 = 4520000 ×10 −3 . c. 4520 = 4,52 × 103 c'est la notation scientifique (unique) de 4520. a. Distance Mercure-Soleil : 0,39 ×149, 6 × 106 = 58,344 ×106 = 5,8344 × 101 × 106 = 5,8344 ×107 km ≈ 6 × 107 km. Distance Jupiter-Soleil : 5, 2 × 149,6 × 106 = 777,92 × 106 = 7, 7792 × 102 ×106 = 7, 7792 ×108 km ≈ 8 × 108 km . Distance Jupiter-Soleil : 30,1× 149, 6 ×106 = 4502,96 × 106 = 4,50296 × 103 ×106 = 4,50296 × 109 km ≈ 5 ×109 km. Page 2 sur 2 Corrigé des activités du Chapitre 7 "Puissances d'exposant entier relatif"