Espaces de probabilités.

Université Pierre et Marie Curie 2013-2014
Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 2 (semaine du 23 au 27 septembre)
Espaces de probabilités.
1. a. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilités. Soit n≥1. Soient A1, . . . , Andes
événements. Montrer que
P(A1∪. . . ∪An) =
n
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n
P(Ai1∩. . . ∩Aik).
C’est la formule d’inclusion-exclusion.
b. En appliquant cette formule à un espace de probabilités et à des événements bien
choisis, calculer le nombre de surjections de {1, . . . , p}dans {1, . . . , n}pour tous net p
entiers.
Solution de l’exercice 1. a. On démontre cette formule par récurrence sur n. Pour
n= 1, la formule dit que P(A1) = P(A1). Pour n= 2, la formule s’écrit P(A1∪A2) =
P(A1)+P(A2)−P(A1∩A2)et c’est un énoncé démontré dans le cours. Supposons la formule
établie pour n−1événements, avec n≥3, et considérons névénements A1, . . . , An. On a
P(A1∪. . . ∪An) = P((A1∪. . . ∪An−1)∪An)
=P(A1∪. . . ∪An−1) + P(An)−P((A1∪. . . ∪An−1)∩An)
=P(A1∪. . . ∪An−1) + P(An)−P((A1∩An)∪. . . ∪(An−1∩An))
L’hypothèse de récurrence permet de calculer le premier et le troisième terme du membre
1

de droite et on obtient :
P(A1∪. . . ∪An) =
n−1
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n−1
P(Ai1∩. . . ∩Aik) + P(An)
−
n−1
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n−1
P(Ai1∩. . . ∩Aik∩An)
P(A1∪. . . ∪An) = P(A1) + P(A2) + . . . P(An)
+
n−1
X
k=2
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n−1
P(Ai1∩. . . ∩Aik)
−
n−2
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n−1
P(Ai1∩. . . ∩Aik∩An)
−(−1)n−2P(A1∩A2∩. . . An)
P(A1∪. . . ∪An) = P(A1) + P(A2) + . . . P(An)
+
n−1
X
k=2
(−1)kX
1≤i1<...<ik≤n
P(Ai1∩. . . ∩Aik)
+ (−1)n−1P(A1∩A2∩. . . An)
où dans la dernière inégalité on utilise que
−
n−2
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<..<ik≤n−1
P(Ai1∩. . . ∩Aik∩An) =
n−1
X
k=2
(−1)k−1X
1≤i1<..<ik≤n|ik=n
P(Ai1∩. . . ∩Aik)
On obtient bien la formule souhaitée pour P(A1∩. . . ∩An).
b. Considérons Ω = {1, . . . , n}{1,...,p}l’ensemble des applications de {1, . . . , p}dans
{1, . . . , n}. Munissons Ωde la tribu P(Ω) et de la mesure de probabilité uniforme :
∀A∈P(Ω),P(A) = |A|
|Ω|=|A| np.
Pour tout m∈ {1, . . . , n}, soit Aml’ensemble des applications dont l’image ne contient
pas l’entier m. La réunion A1∪. . . ∪Anest l’ensemble des applications qui ne sont pas
surjectives. Par ailleurs, pour tout k∈ {1, . . . , n}et tous i1, . . . , ikavec 1≤i1< . . . <
ik≤n, l’ensemble Ai1∩. . . ∩Aikest l’ensemble des applications dont l’image ne contient
aucun des entiers i1, i2, . . . , ik. Le nombre de ces applications est le nombre d’applications
de {1, . . . , p}dans {1, . . . , n}\{i1, . . . , ik}, c’est-à-dire (n−k)p. Ainsi,
P(A1∪. . . ∪An) =
n
X
k=1
(−1)k−1X
1≤i1<...<ik≤n
(n−k)p
np=
n−1
X
k=1
(−1)k−1n
k(n−k)p np.
2

Il s’ensuit que le nombre Sp,n d’applications surjectives de {1, . . . , p}dans {1, . . . , n}, qui
est le cardinal du complémentaire de A1∪. . . ∪An, vaut
Sp,n =np−
n−1
X
k=1
(−1)k−1n
k(n−k)p=
n−1
X
k=0
(−1)kn
k(n−k)p.
Notons que, bien que ce ne soit pas évident sur cette formule, Sp,n = 0 si p<n.
Solution de l’exercice 1. Soit (Ω,F,P)un espace de probabilités. Soit A∈F. L’événe-
ment Aest indépendant de lui-meme si et seulement si P(A∩A) = P(A)P(A), c’est-à-dire
si et seulement si P(A) = P(A)2, ce qui a lieu si et seulement si P(A)vaut 0ou 1. En
somme, un événement est indépendant de lui-même si et seulement s’il est négligeable ou
presque sûr.
2. Dans une grande assemblée, on demande à chaque personne d’écrire son nom sur
un bout de papier et de le mettre dans un chapeau. On agite le chapeau puis chacun tire
un bout de papier. Quelle est la probabilité que personne ne tire le bout de papier portant
son propre nom ?
Solution de l’exercice 2. Soit nle nombre de personnes présentes. On attribue à chaque
personne un numéro entre 1et n. Chaque personne tire un nom et un seul du chapeau
et l’application qui au numéro d’une personne associe le numéro de la personne dont
elle a tiré le nom est une bijection de l’ensemble {1, . . . , n}dans lui-même. On prend
pour Ωl’ensemble des permutations de l’ensemble {1, . . . , n}. On munit Ωde la tribu
P(Ω) et de la probabilité uniforme. On chercher à compter le nombre de permutations
σ:{1, . . . , n} → {1, . . . , n}telles que pour tout i∈ {1, . . . , n}on ait σ(i)6=i. On
appelle de telles permutations des permutations sans point fixe ou des dérangements. On
va utiliser la formule d’inclusion-exclusion.
Pour tout m∈ {1, . . . , n}, on note Aml’ensemble des permutations qui fixent m, c’est-
à-dire l’ensemble des permutations σ:{1, . . . , n}→{1, . . . , n}telles que σ(m) = m. Pour
tout k∈ {1, . . . , n}et tous i1, . . . , ikavec 1≤i1< . . . < ik≤n, l’ensemble Ai1∩. . . ∩Aik
est l’ensemble des permutations telles que σ(i1) = i1, . . . , σ(ik) = ik. Le nombre de telles
permutations est le nombre de permutations de l’ensemble {1, . . . , n} \ {i1, . . . , ik}, c’est-
à-dire (n−k)!. Ainsi, la probabilité dnqu’une permutation tirée uniformément soit un
dérangement, qui est la probabilité du complémentaire de A1∪. . . ∪An, vaut
dn= 1 −
n
X
k=1
(−1)k−1n
k(n−k)! n!=
n
X
k=0
(−1)k
k!.
Lorsque ntend vers l’infini, cette série converge très rapidement vers 1
e. Puisque l’assem-
blée est grande, on peut dire avec une excellente approximation que la probabilité que
personne ne tire son propre nom est 1
e'37%.
3

3. Paradoxe des anniversaires Quelle est la probabilité pour que parmi Nper-
sonnes, au moins 2 aient la même date d’anniversaire ? Pour quelle valeur de Ncette
probabilité est-elle supérieure à 1/2? (On négligera l’existence du 29 février)
Solution de l’exercice 3. Attribuons un numéro de 1à23 à chaque personne. Les dates
d’anniversaire de ces vingt-trois personnes constituent une application de {1,...,23}dans
l’ensemble {1,...,365}des jours de l’année. On prend donc Ω = {1,...,365}{1,...,23}, muni
de la tribu P(Ω) et de la probabilité uniforme. L’événement Adont nous voulons calculer
la probabilité est l’ensemble des applications qui ne sont pas injectives. Il est plus facile
de compter les applications injectives que les applications qui ne le sont pas. On a en effet
P(Ac) = |Ac|
|Ω|=
365!
(365−N)!
365N=365 365
364
365 . . . 365 −N 365 =
N−1
Y
k=0 1−k
365.
On peut montrer que la uN=QN−1
k=0 1−k
365 est décroissante, et bien sûr on a u365 = 0,
on peut donc déterminer numériquement la première valeur de Npour laquelle uN<1
2.
On trouve N= 23.
4. On tire deux cartes d’un jeu de 32. Quelle est la probabilité d’obtenir une paire ?
Si l’on n’a pas obtenu une paire, on a le choix entre jeter l’une des deux cartes tirées et en
retirer une parmi les 30 restantes, ou jeter les deux cartes tirées et en retirer deux parmi
les 30 restantes. Quelle stratégie donne la plus grande probabilité d’avoir une paire à la
fin ?
Solution de l’exercice 4. Il y a C2
4= 6 paires de chaque hauteur (sans l’ordre), donc
2×6×8 = 96 en tout (avec l’ordre). Donc une probabilité de 96
32∗31 =3 31 '0,097.
Si on change une seule carte, on obtient une paire lorsqu’on tire une des 3 cartes de
la même hauteur que celle qu’on a gardée en main. On a donc une probabilité 3
30 =1 10
d’obtenir une paire.
Si on change les deux cartes, il y a 30 ×29 tirages ordonnés possibles de 2 nouvelles
cartes. Parmi eux, on a deux manières d’obtenir une paire : Considérons d’abord le cas
où la première carte est l’une des 6 cartes de la même hauteur que l’une des deux cartes
que l’on a jetées, alors il reste seulement 2 cartes parmi les 29 restantes permettant de
compléter la paire. Dans l’autre cas, où la première carte est l’une des 24 autres cartes, il
y a 3 secondes cartes possibles donnant une paire. Au final, on obtient 6×2 + 24 ×3 = 84
tirages ordonnés donnant une paire. Soit une probabilité de 84
30×29 =14 145 <1 10 .
C’est donc la première stratégie qui donne la plus grandes possibilité d’obtenir une
paire.
5. On considère un jeu de pile ou face infini. Soit n≥0un entier. Calculer la
probabilité que le premier temps auquel on obtient pile soit le temps n.
Soit k≥1un entier. Calculer la probabilité que le k-ième temps auquel on obtient
pile soit le temps n.
4

Solution de l’exercice 5. On note pla probabilité d’obtenir un pile. Celle d’obtenir un
face est donc 1−p. L’énoncé laisse entendre que le jeu est non biaisé et que p= 1/2mais
les calculs sont plus clairs en gardant la notation p.
La probabilité que le premier pile soit obtenu au temps n(et donc qu’on a donc obtenu
face lors des n−1premiers tirages) est (1 −p)n−1p.
Soit k≥1. Dire que le k-ième temps auquel on obtient pile est le temps n, revient a
dire qu’on a obtenu exactement k−1pile sur les n−1premiers tirages, puis un pile encore
au n-ième. Il y a Ck−1
n−1manières d’obtenir cela (chacune revient à choisir les positions des
k−1premiers pile parmi les n−1premiers lancers). Chacun de ces tirages a la même
probabilité (1 −p)n−kpk. De plus ces événements sont disjoints, donc la probabilité totale
(que le k-ième temps auquel on obtient pile soit le temps n) est Ck−1
n−1(1 −p)n−kpk.
Indépendance et probabilités conditionnelles On rappelle la définition de la pro-
babilité de Asachant Bpour un événement Bde probabilité non nulle :
P(A|B) = P(A∩B)
P(B).
6. Que peut-on dire d’un événement qui est indépendant de lui-même ?
7. Faux positifs Une maladie Maffecte une personne sur 1000 dans une popula-
tion donnée. Un test sanguin permet de détecter cette maladie avec une fiabilité de 99%
(lorsque cette maladie est effectivement présente). En revanche, pour un individu sain, la
probabilité que le test soit positif est de 0.1% (on dit que 0.1% est le taux de faux positifs).
Si un test est positif, quelle est la probabilité que l’individu soit réellement malade ?
8. Une généralisation de l’exercice précédent Soit (Ω,F,P)un espace probabi-
lisé. Soit (Bi)1≤i≤nune partition de Ωen névénements de probabilité non nulle. Montrer
que pour tout A∈ F de probabilité non nulle, et pour tout i,
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi)
Pn
i=1 P(A|Bi)P(Bi).
Annexe : ensembles dénombrables
9. On rappelle qu’un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec
une partie finie ou infinie de l’ensemble Ndes entiers naturels.
a. Montrer qu’un ensemble Eest dénombrable si et seulement s’il existe une injection
de Edans N.
b. Montrer qu’un ensemble non vide Eest dénombrable si et seulement s’il existe une
surjection de Nsur E.
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