2 FONCTION DÉRIVÉE
Propriété : Soit fune fonction définie sur un intervalle Iet dérivable en a∈I.
La tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse aadmet comme équation :
y=f0(a) (x−a) + f(a)
Exercices : 35, 38, 39, 40 page 85 6[TransMath]
2 Fonction dérivée
2.1 Notion de fonction dérivée
Exemple : Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = −x2+ 3.
On a vu au 1.2 que fest dérivable en tout a∈Ret que f0(a) = −2a.
Ce résultat étant valable pour tout a, on dit que fest dérivable sur Ret on appelle fonction dérivée la
fonction f0:x−→ −2x.
Définition : Si une fonction est dérivable pour tout réel ade l’intervalle I, on dit qu’elle est dérivable sur
l’intervalle I.
Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de fsur l’intervalle Ila fonction qui, à tout xde I, associe le
nombre dérivé f0(x). On note cette fonction f0.
Remarque : Dire qu’une fonction est dérivable signifie qu’il existe des tangentes à tout point de la courbe
la représentant. Par contre, la fonction dérivée n’a plus de lien avec la tangente en un point.
2.2 Dérivées des fonctions usuelles
2.2.1 Fonction affine
Soit f(x) = mx +pune fonction affine.
En tout point a∈R, elle sa courbe représentative est sa propre tangente. Elle est donc dérivable en aet
f0(a) = m.
Toute fonction affine de la forme f(x) = mx +pest dérivable sur Ret sa dérivée est f0(x) = m.
Cas particuliers :
—Fonction constante (de la forme f(x) = k)
Elles sont dérivables sur Ret leur dérivée est f0(x)=0.
—Fonction identité (f(x) = x)
Elles est dérivable sur Ret sa dérivée est f0(x)=1.
2.2.2 Fonction carrée – Fonctions trinômes du second degré
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = x2et soit a∈R.
f(a+h)−f(a)
h=(a+h)2−a2
h
=a2+ 2ah +h2−a2
h
=2ah −h2
h= 2a+h
Par suite, limh→0f(a+h)−f(a)
h= 2a.
Donc fest dérivable pour tout a∈Ret f0(a)=2a.
La fonction carrée f(x) = x2est dérivable sur Ret sa dérivée est f0(x)=2x.
6. Détermination d’équation de tangentes.
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