Applications linéaires I Généralités sur les applications linéaires

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Applications linéaires
Dans tout ce chapitre, K = R ou K = C.
I Généralités sur les applications linéaires
I.1 Dénition et premières propriétés
Dénition 1
Soit E et F deux K-espaces vectoriels.
Soit f : E −→ F une application de E dans F . On dit que f est une application
linéaire de E dans F ssi :
(i) ∀(x , y) ∈ E 2 ,
f (x + y) =
(ii) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K,
f (λx) =
Vocabulaire et notation :
On note L (E, F ) l'ensemble de toutes les applications linéaires de E dans F .
Une application linéaire de E dans lui-même est appelé un
L'ensemble des endomorphismes de E est noté L (E).
−
→
L'application qui, à tout vecteur x de E , associe le vecteur nul 0F est une application linéaire.
On l'appelle l'application nulle et on la note OE,F .
L'application identité idE : x 7−→ x est une application linéaire de E dans E .
f ∈ L (E, F ) signie donc f est une application linéaire du K-e.v. E dans le K-e.v. F .
Exemples :
- Soit λ0 un scalaire xé de K.
L'application f : E −→ E
est linéaire.
x 7−→ λ0 · x
- On considère l'application qui, à tout polynôme P ∈ R[X], associe son polynôme dérivé
P0 :
f : R[X] −→ R[X]
P
7−→ P 0
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Les vecteurs sont ici des polynômes. Pour vérier que f est une application linéaire, il faut
vérier les deux points de la dénition :
En conclusion, f est un endomorphisme de R[X].
Proposition 1
Si f est une application linéaire de E dans F , alors :
f (0E ) =
∀ x ∈ E, f (−x) =
∀ (x, y) ∈ E 2 , ∀ (λ , µ) ∈ K2 ,
f (λ x + µ y) =
p
p
∀ (x1 , x2 , . . . , xp ) ∈ E , ∀ (λ1 , ..., λp ) ∈ K , f
p
X
!
λi · xi
i=1
I.2 Opérations sur les applications linéaires
Proposition 2
Soit E , F et G trois espaces vectoriels sur K.
Si f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G). Alors la composée g ◦ f est
Autrement dit, la composée de deux applications linéaires est
Preuve : supposons f ∈ L (E, F ) et g ∈ L (F, G).
Théorème 3
Soit E et F deux K-espaces vectoriels.
Alors l'ensemble L (E, F ) est un sous-espace vectoriel de F(E, F ).
=
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Ce théorème regroupe plusieurs informations : la somme de deux applications linéaires est encore
une application linéaire et le produit d'une application linéaire par un scalaire est encore une
application linéaire.
II Applications injectives, surjectives et bijectives
II.1 Dénitions
Dénition 2
Soit E et F deux ensembles quelconques. Soit f : E −→ F une application.
On dit que f est injective ssi
∀ (x, x0 ) ∈ E 2 ,
On dit que f est surjective ssi
[ (x 6= x0 ) ⇒ (
)]
∀y ∈ F , ∃ x ∈ E ;
On dit que f est bijective ssi elle est à la fois
Exemples :
est . . .
R
x
7 →
−
x−1
(i) l'application f : R \ {1} −→
x
(ii) L'application f : R −→ [−1 , 1] est . . .
x 7−→ cos x
h π πi
(iii) L'application f : − ,
−→ [−1 , 1] est bijective.
2 2
x
7−→ sin x
Une bijection de E dans lui-même est parfois appelée permutation de E .
Dénitions équivalentes
f est une injection de E dans F ssi
∀ (x, x0 ) ∈ E 2 ,
[ f (x) = f (x0 ) =⇒
]
f est une surjection de E sur F ssi f (E) =
f est une bijection de E sur F ssi
∀ y ∈ F, ∃ ! x ∈ E ;
II.2 Composition
Proposition 4
La composée de deux applications injectives (resp. surjectives, bijectives) est injective
(resp. surjective, bijective).
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Proposition 5
Soient f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
1. Si g ◦ f est injective alors f est injective.
2. Si g ◦ f est surjective alors g est surjective.
0
0
Preuve : 1) Supposons
g ◦ f injective et soient
x ∈ E et x ∈ E tels que0 x 6= x . Par hypothèse, on a
0
0
g ◦ f (x) 6= g ◦ f x , i.e. g [f (x)] 6= g f x ce qui implique f (x) 6= f x et ainsi f est injective.
2) Supposons g ◦ f surjective et soit z ∈ G. Par hypothèse, il existe x ∈ E tel que g ◦ f (x) = z. Par
conséquent, il existe un y (= f (x)) dans F tel que z = g (y), ce qui prouve que g est surjective.
III Image et noyau d'une application linéaire
III.1 Image d'une application linéaire
Dénition 3
Soit E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F ).
On appelle image de f l'ensemble, noté Im f , des vecteurs de F qui sont les images
par f des vecteurs de E . Autrement dit,
Im f = { f (x) ∈ F |
y ∈ Im f ⇐⇒ ∃
Quelques exemples simples :
Im(idE ) =
Im(OE,F ) =
Proposition 6
Soit f une application linéaire de E dans F . Alors
i) Im f est un
ii) f est surjective ssi
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Preuve : Soit f ∈ L (E, F ).
III.2 Image réciproque d'un ensemble par une application
Soit E et F deux ensembles quelconques. Soit f une application de E vers F .
Dénition 4
Pour toute partie D de F , on appelle image réciproque de D par f le sous-ensemble
de E noté f −1 (D), déni par :
f −1 (D) = {x ∈ E | f (x) ∈ D}
Autrement dit
x ∈ f −1 (D) ⇐⇒
Remarques : on a toujours f −1(∅) =
et pour tout élément b de F ,
f −1 ({b}) =
Exemple : on considère l'application f : C −→
C
z 7−→ −z 2
Déterminer f −1 ({1}).
Proposition 7
Soit E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F ) une application linéaire de E
dans F .
Si D est un sous-espace vectoriel de F , alors l'image réciproque par f de D,
Preuve : soit D un s.e.v. de F et G = f −1 (D) ⊂ E .
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• Puisque f (0E ) = 0F ∈ D, on a
• Soit x et y deux vecteurs de G et λ ∈ K.
III.3 Noyau d'une application linéaire
Dénition 5
Soit E et F deux K−espaces vectoriels et f ∈ L (E, F ).
On appelle noyau de f l'ensemble, noté Ker f , des vecteurs de E dont l'image par f
est le vecteur nul de F . Autrement dit,
Ker f = { x ∈ E |
x ∈ Ker f ⇐⇒
Quelques exemples simples :
Ker(idE ) =
Ker(OE,F ) =
Proposition 8
Soit f est une application linéaire de E dans F . Alors
i) Ker f est un
ii) f est injective ssi
Preuve : ii) Supposons f injective c.à.d.
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III.4 Isomorphismes
Proposition 9
Soit f : E −→ F une application linéaire et bijective.
Alors sa bijection réciproque f −1 : F :−→ E est
Preuve : on suppose que f ∈ L (E, F ) et que
Dénition 6
Soit E et F deux K−espaces vectoriels.
• Une application linéaire et bijective de E dans F est appelée
• On note GL(E) l'ensemble des isomorphismes de E dans lui-même.
• Lorsqu'il existe un isomorphisme entre deux espaces E et F ,
on dit que ces deux espaces sont isomorphes.
Théorème 10
Soit E un K−espace vectoriel de dimension nie n (n > 1), et (e1 , e2 , . . . , en ) une base
de E .
Soit F un K−espace vectoriel quelconque et F = (f1 , f2 , . . . , fn ) une famille de vecteurs
de F . Alors
i) il existe une unique application linéaire g de E dans F , telle que
ii) F est une famille libre de F ssi
iii) F est une famille génératrice de F ssi
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Remarque :
cette propriété signie que pour connaître entièrement une application linéaire f sur un espace E
de dimension nie, il sut de connaître les images par f des vecteurs d'une base de E .
Exemple : on considère R3 muni de sa base canonique (e1 , e2 , e3 ).
On dénit l'application linéaire f ∈ L (R3 , R2 ) par :
f (e1 ) = (1, 0) ; f (e2 ) = (2, −1) ; f (e3 ) = (−3, 1)
Calculer f (x, y, z) pour tout (x, y, z) ∈ R3 .
Corollaire :
Soit (e1 , e2 , · · · , en ) une base d'un K-espace vectoriel E , soit f une application linéaire de E dans
un K-espace vectoriel F .
L'application f est un isomorphisme si, et seulement si, la famille F = (f (e1 ), f (e2 ), · · · , f (en ))
est . . .
Comme la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme et que la bijection réciproque
d'un isomorphisme est un isomorphisme, on obtient la proposition suivante :
Proposition 11
Tout K-espace vectoriel de dimension n > 1 est isomorphe à
Deux K-espaces vectoriels de dimension nie sont isomorphes si, et seulement si, ils sont
Si un K-espace vectoriel E est isomorphe à un K-espace vectoriel F de dimension nie,
alors E est de dimension nie et dim E =
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IV Applications linéaires et dimension nie
IV.1 Rang d'une application linéaire
Si E est un K−espace vectoriel de dimension nie et si f est une application linéaire de E dans
F , alors Im f est
Dénition 7
Soit E et F deux K−espaces vectoriels tels que E est de dimension nie.
On appelle rang d'une application linéaire f ∈ L (E, F ), et on note rg(f ), la dimension de
Exemple : déterminer le rang de l'application linéaire
f : R2 [X] −→ R3
P 7−→ (P (1), P 0 (1), P (0))
Déterminer le rang d'une application linéaire revient à déterminer la dimension de son image.
(f ).
On peut donc commencer par trouver une base de Im
•
2
(1, X, X ) la base canonique de R2 [X].
2
f (1) =
, f (X) =
et f (X ) =
Donc
(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 2, 0) est une famille génératrice
• Regardons maintenant si cette famille est libre.
Soit
On a
Remarque : si E
(f ).
de Im
est un K−espace vectoriel de dimension nie n > 0, admettant pour base
(e1 , e2 , . . . , en ) et si f ∈ L (E, F )
Alors
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IV.2 Théorème du rang
Théorème 12 (formule du rang)
Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie, F un K-espace vectoriel quelconque
et f une application linéaire de E dans F .
Alors
dim E =
Preuve : considérons un supplémentaire S du noyau de ker f dans E . On sait que dans un espace de
dimension nie, de tels supplémentaires existent et que :
dim E = dim(ker f ) + dim S
Montrons que S est isomorphe à Im(f ).
IV.3 Application à la caractérisation des isomorphismes
Théorème 13
Soient E et F deux K−espaces vectoriels de même dimension nie n > 1. Soit f une
application linéaire de E dans F . Alors les quatre assertions suivantes sont équivalentes :
i) f est bijective
ii) f est injective
iii) f est surjective
iv) rg(f ) =
M3,1
M3,1 (R)
(R)
 −→ 

x
3x − 2y + 3z
X = y  7−→  x + 2z 
z
2z
7−→ xy
2
P
7→
P (0) , P (1)
Exercice 5 Soit E = R1 [X] et l'application f : E −→ R
Donner l'image réciproque par f de [0 , 1/2].
t 7−→ sin(t)
Exercice 4 On considère la fonction f : ] − π , π] −→ R
1. L'application f est-elle injective ? Est-elle surjective ?
2. Déterminer et représenter dans le plan complexe l'image réciproque par
f de l'intervalle [1 ; 2].
Exercice 3 Soit f : C −→ R+ l'application dénie par ∀ z ∈ C, f (z) = |z|.
M
Mn (R)
7 → AM − M A
−
3. h : Mn (R) −→
(x, y)
pour n ∈ N∗ et A ∈ Mn (R) xés.
C3
→ C2
(x, y, z) 7→ (x + y + z , x + z)
2. g : R × R −→ R
1. f :
Exercice 2 Les applications suivantes sont-elles des applications linéaires ?
∀X ∈ M3,1 (R), f (X) = AX
2. En déduire que f est un endomorphisme.
3. f est-elle bijective ?
1. Donner une matrice A carrée d'ordre 3, telle que
f:
Exercice 1 On considère l'application
V Exercices
Montrer que Im(f ) ⊂ ker(f ).
Soit E et F deux K−espaces vectoriels de dimension nie
2. Conclure.
n, n ∈ N∗ . Soit f ∈ L (E, F ) telle que ∃ g ∈ L (F, E) / g ◦ f = idE .
1. Montrer que f est injective.
Exercice 10
Soit ϕ : Kn+1 [X] −→ Kn [X] dénie par ϕ(P ) = (n + 1)P − X P 0 .
1. Justier que ϕ est bien dénie puis que ϕ est une application linéaire.
2. Déterminer le noyau de ϕ.
3. En déduire, par le théorème du rang, que ϕ est surjective.
Exercice 9 Soit n ∈ N∗ .
Soit (e1 , e2 , e3 ) une base de E, et λ un paramètre réel.

 ϕ(e1 ) = e1 + e2
ϕ(e2 ) = e1 − e2
dénit une application linéaire ϕ de E dans E .

ϕ(e3 ) = e1 + λe3
Écrire le transformé du vecteur x = α1 e1 + α2 e2 + α3 e3 .
Comment choisir λ pour que ϕ soit injective ? surjective ?
Exercice 8 Soit E un R−espace vectoriel de dimension 3.
∀ f ∈ E, Φ(f ) = f − f 0 .
1. Montrer que Φ est un endomorphisme de E .
2. Déterminer le noyau de Φ.
Φ est-elle une bijection ?
3. Déterminer =(Φ).
On note E le R−espace vectoriel des fonctions de classe C ∞ sur R, à valeurs
dans R. On écrit E = C ∞ (R, R). On dénit l'application Φ : E −→ E par
Exercice 7
et f ◦ f = OE .
Exercice 6 Soit f une application linéaire de E dans E telle que f 6= OE
Vérier que f est linéaire. Déterminer son noyau.
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