CH1 - Oscillateurs
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Signaux physiques - Chapitre 1 MPSI 2015-2016 Quelques compétences fondamentales appliquées à l’étude de l’oscillateur harmonique Introduction sur la notion de modèle en physique ..................................................................................... 3 I Modélisation de la force de rappel d’un ressort .........................................................................................4 1 Les grandeurs dont dépend la force de rappel d’un ressort ...................................................................4 2 La norme de la force de rappel d’un ressort ...........................................................................................4 3 L’expression vectorielle de la force de rappel d’un ressort ....................................................................4 II Loi de la quantité de mouvement ou Principe Fondamental de la Dynamique .........................................5 1 Enoncé de la loi de la quantité de mouvement (ou PFD ou 2e loi de Newton) .......................................5 2 Les composantes des vecteurs vitesse et accélération ...........................................................................5 3 Application du PFD au cas de la chute libre ............................................................................................5 III Comment vérifier la validité d’une relation littérale? .................................................................................6 1 Les 7 unités fondamentales .....................................................................................................................6 2 Les dimensions.........................................................................................................................................6 3 Équation aux dimensions.........................................................................................................................7 4 Homogénéité d’une relation littérale ......................................................................................................7 5 Analyse qualitative d’une relation littérale ............................................................................................8 IV L’oscillateur harmonique : équation différentielle du mouvement ............................................................8 1 Application du PFD ..................................................................................................................................8 2 Forme canonique de l’équation différentielle du mouvement ...............................................................8 V Détermination du mouvement par résolution de l’équation différentielle ................................................9 1 Résolution dans deux cas simples ...........................................................................................................9 2 Résolution dans le cas de conditions initiales quelconques ....................................................................9 3 Différentes formulation de la solution générale .....................................................................................9 4 Application ...............................................................................................................................................9 VI Application numérique et écriture du résultat............................................................................................9 1 Cohérence entre les unités ......................................................................................................................9 2 Les préfixes multiplicateurs .................................................................................................................. 10 3 Les conversions ..................................................................................................................................... 10 4 Le calcul sans calculatrice ..................................................................................................................... 10 5 Notion d’incertitude et écriture d’un résultat ...................................................................................... 11 6 Les différents types d’incertitude ......................................................................................................... 11 Lycée Lapérouse - Kerichen 1 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 VII MPSI 2015-2016 Énergie mécanique d’un oscillateur harmonique ................................................................................ 14 1 Énergie potentielle ............................................................................................................................... 14 2 Énergie mécanique ............................................................................................................................... 14 3 Conséquences de la conservation de l’énergie mécanique ................................................................. 14 VIII TP – Mesures des caractéristiques d’un signal oscillant sinusoïdal ..................................................... 15 1 Acquisition avec Latispro ...................................................................................................................... 15 2 Déphasage entre deux signaux ............................................................................................................. 15 3 Mesures des caractéristiques des signaux obtenus expérimentalement ............................................ 17 4 Somme de deux signaux sinusoïdaux ................................................................................................... 17 5 Déphasage entre un signal et sa dérivée .............................................................................................. 17 IX Exercices ................................................................................................................................................... 18 1 Questions d’application du cours ......................................................................................................... 18 2 Le pendule simple ................................................................................................................................. 18 3 Démonstrations de cours ..................................................................................................................... 19 4 Calcul sans calculatrice ......................................................................................................................... 19 5 Oscillations verticales ........................................................................................................................... 20 6 Masse entre deux ressorts horizontaux ............................................................................................... 20 Les compétences à acquérir - représenter la situation proposée par un schéma clair et explicite - comprendre la notion de modèle en physique - établir une relation littérale (à partir de la seconde loi de Newton) - vérifier la validité d’une relation littérale - effectuer une application numérique - présenter un résultat numérique en tenant compte des incertitudes du problème - avoir un esprit critique sur le modèle utilisé Lycée Lapérouse - Kerichen 2 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 MPSI 2015-2016 Introduction sur la notion de modèle en physique Les mathématiques sont une science permettant de résoudre des problèmes dans différents domaines. L’algèbre est par exemple une des branches des mathématiques qui permet, entre autre, de systématiser les méthodes de résolution des problèmes mathématiques. Algèbre est issu de l’arabe « al jabr » qui signifie réduction (à l’origine, réduction d’une fracture) ; l’algèbre permet en effet de réduire un problème à des équations et de résoudre ces équations. Un exemple très simple de mise en équation d’un problème : « j’ai des pièces de 1€ et des pièces de 2€. Au total j’ai 30 pièces et 50€. Combien ai-je de pièces de 1€ et de pièces de 2€ ? ». Le résultat est assez rapide à obtenir après une simple mise en équation ; résoudre ce problème revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues (x + 2y = 50 et x + y = 30 ; on trouve alors x = 10 pièces de 1 € et y = 20 pièces de 2 €). Une des grandes forces des mathématiques est de pouvoir réduire des phénomènes à priori sans aucun rapport entre eux à un même type d’équation. Nous allons par exemple voir dans ce chapitre que l’allongement x(t) d’un ressort est solution de l’équation différentielle x(t ) 0 2 x(t ) 0 . (Remarque : on parle d’équation différentielle car il s’agit d’une équation faisant intervenir une fonction x(t) et une de ses dérivées ; la solution de cette équation n’est pas une valeur (par exemple x = 3 dans le cas de l’équation 2x - 6 = 0), mais une fonction x(t) du temps : par exemple x(t) = cos(100πt)). Et cette équation différentielle est caractéristique de phénomènes aussi divers que le mouvement d‘un ressort, les oscillations d’un pendule, l’évolution du courant dans un circuit comportant un condensateur et une bobine, etc. C’est l’équation très générale d’un oscillateur harmonique. Il est tout de même important de noter que les mathématiques, qui permettent notamment de résoudre ce type d’équations différentielles (voir paragraphes V), se distinguent des autres sciences par leur rapport particulier au réel. Elles sont de nature entièrement intellectuelle puisque basées sur des axiomes (supposés vrais) desquels découlent par des raisonnements logiques, des théorèmes, des propriétés, des applications, etc. Mais comment se fait-il alors que les mathématiques permettent d’expliquer des phénomènes existant dans la nature, qui ne reposent pas sur des axiomes, des hypothèses, mais qui sont au contraire parfaitement réels ? Galilée (1564 - 1642) répondait à cette question en affirmant que les mathématiques sont en fait le langage dans lequel est écrit le monde réel. Voilà pourquoi un phénomène naturel peut être décrit par une équation mathématique, susceptible d’être ensuite résolue et permettant ainsi d’expliquer le phénomène, d’en prévoir un autre, etc. Mais la question reste tout de même posée : comment traduire un phénomène réel en une équation mathématique ? La réponse à cette question va reposer sur la notion de modèle. Afin d’interpréter quantitativement une expérience, il va falloir modéliser le phénomène réel par une relation mathématique entre les grandeurs physiques caractérisant ce phénomène. Il faudra donc d’abord déterminer les grandeurs pertinentes du problème puis voir l’influence de chacune d’elles sur celui-ci. C’est ce que nous allons faire au paragraphe I afin de déterminer l’expression de la force de rappel d’un ressort. Une fois cette expression déterminée, il faudra ensuite réinjecter cette expression dans la 2e loi de Newton (voir paragraphes II et IV) puis résoudre l’équation obtenue (voir V). Cela ne sera cependant pas tout à fait terminé : il restera encore à valider (ou réfuter) le modèle en confrontant les mesures expérimentales à la solution x(t) de l’équation différentielle (voir TP). Un modèle a donc pour utilité de décrire, d'interpréter et de prévoir des événements et il ne s'applique qu'à un nombre limité de phénomènes. Il a comme rôle de décrire une réalité complexe de manière simple et compréhensible. Par exemple, il est souvent plus facile d'utiliser le modèle atomique simplifié pour expliquer certains phénomènes (couleur bleue du ciel…) que d'utiliser la vraie théorie adaptée au problème, la théorie de la mécanique quantique, qui est très complexe d'un point de vue mathématique et conceptuel. En conclusion, un bon modèle comporte plusieurs qualités essentielles : - il permet d'expliquer relativement simplement certaines propriétés ou certains comportements de la réalité qu'il représente ; - il permet de prévoir, dans une certaine mesure, des événements nouveaux qui pourront ensuite être observés ; - il peut être amélioré à la lumière de nouvelles observations. Lycée Lapérouse - Kerichen 3 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 Modélisation de la force de rappel d’un ressort I Soit un système solide-ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k. G (m) (k) E i x' O Ox 0 x x(t) La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’abscisse x0 correspond à la position G0 de G lorsque le ressort n’est ni étiré, ni comprimé. 1 Les grandeurs dont dépend la force de rappel d’un ressort De quelles grandeurs la force de rappel d’un ressort doit-elle dépendre ? - 2 La norme de la force de rappel d’un ressort Dans le cas d’un système solide ressort oscillant au voisinage de sa position d’équilibre (ressort peu étiré et peu comprimé), on peut supposer que les déformations du ressort sont réversibles et que l’on reste dans le domaine linéaire. Dans ce cas, on peut supposer que… 3 L’expression vectorielle de la force de rappel d’un ressort G0 G0 O O G G Ressort en compression Ressort en élongation Rq 1 : cette relation reste vraie, que le ressort soit horizontal ou vertical. Rq 2 : si l’origine O de l’axe avait été choisi en G0 (et uniquement dans ce cas !), la relation aurait été : Lycée Lapérouse - Kerichen 4 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 II MPSI 2015-2016 Loi de la quantité de mouvement ou Principe Fondamental de la Dynamique 1 Enoncé de la loi de la quantité de mouvement (ou PFD ou 2e loi de Newton) Dans le cas d’un système de masse constante, 2 Les composantes des vecteurs vitesse et accélération uz uy ux 3 Application du PFD au cas de la chute libre Lycée Lapérouse - Kerichen 5 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 III MPSI 2015-2016 Comment vérifier la validité d’une relation littérale? 1 Les 7 unités fondamentales C’est dans le cadre du Système International d’Unités que sont élaborées les références correspondant à l’ensemble des mesures physiques. Les premières tentatives d’harmonisation des références remontent à la Révolution Française, à la fin du 18ème siècle. Ce système d’unités cohérent et rationalisé repose sur sept grandeurs de base (correspondant aux 7 unités fondamentales). Les définitions de ces 7 unités sont précisées ci-dessous : le mètre, la seconde, le kilogramme, l’ampère, le kelvin, la mole et la candela. La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l'état fondamental de l'atome de 133Cs. Le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée égale à 1 / 299 792 458 seconde. Le kilogramme est défini à partir d’un bloc cylindrique de Platine irridié (90% Pt - 10% Ir). Cet étalon, conservé au pavillon de Breteuil (Sèvres) depuis 1889, se dégrade par usure et contamination ; c’est pourquoi il est envisagé de changer de définition du kg… L’ampère est l'intensité d'un courant constant qui, maintenu dans deux conducteurs filiformes rectilignes parallèles, de longueur infinie, et placés à une distance de 1 mètre l'un de l'autre dans le vide, produirait entre ces conducteurs une force égale à 2 × 10-7 newton par mètre de longueur. Le kelvin est l’unité de température thermodynamique ; 1 K est égal à la fraction 1 / 273,16 de la température thermodynamique du point triple de l'eau. La mole relie, par l’intermédiaire de la masse de l’isotope 12 de l’atome de carbone, les grandeurs à l’échelle atomique aux grandeurs macroscopiques ; 1 mol est égale à la quantité de matière d'un système contenant autant d'entités élémentaires qu'il y a d'atomes dans 12 g de carbone 12. La candela est l’intensité lumineuse, dans une direction donnée, d’une source qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540 terahertz et dont l’intensité énergétique dans cette direction est 1/ 683 watt par stéradian. 2 Les dimensions Une grandeur physique est caractérisée par une dimension. La dimension d’une grandeur s’exprime en fonction des 7 dimensions fondamentales (T, L, M, I…). La dimension d’une grandeur physique sera notée entre crochets. Exemples à compléter : - si V est une vitesse, on note sa dimension [V] = L.T-1 - de même pour une accélération a x : [a] = … Remarque 1 : l’angle est une grandeur sans dimension car il est défini comme le rapport de deux grandeurs. Lycée Lapérouse - Kerichen 6 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 Remarque 2 : une grandeur physique n’a qu’une dimension possible, mais peut s’exprimer numériquement dans plusieurs unités (pour la vitesse m.s-1, km.h-1, noeud...) Attention : pour les applications numériques, une relation n’est valable numériquement que si l’on utilise les unités du système international (voir VI). 3 Équation aux dimensions Pour déterminer la dimension d’une grandeur, il faut utiliser des relations connues (généralement la définition de la grandeur qui lui donne son sens physique). Exemples à compléter : - l’énergie cinétique d’un mobile de masse m et de vitesse V est Ec = ½ mV2 ; l’équation aux dimensions [Ec] = … - la dimension d’une puissance : [P] =… - la dimension d’une force (par analyse dimensionnelle de la deuxième loi de Newton) : d’où [F] =… - la dimension d’une résistance (par analyse dimensionnelle de l’expression de la puissance dissipée par effet Joule) : [R] =… 4 Homogénéité d’une relation littérale Les deux membres d’une égalité doivent nécessairement avoir la même dimension ; ainsi une formule inhomogène est fausse Mais une formule homogène n’est pas nécessairement juste (erreur de signe, de coefficient numérique, plusieurs grandeurs de même dimension….) Attention : l’argument des fonctions mathématiques (cos, sin, tan, ln, exp..) doit être sans dimension. Exemple : Une masse m accrochée à un ressort horizontal de raideur k (en Newton.m-1) est soumise à une accélération a k x ; x étant l’allongement du ressort par rapport à sa position d’équilibre. m - Vérifier l’homogénéité de la relation précédente en revenant aux dimensions fondamentales. - Plus astucieux : vérifier l’homogénéité de la relation précédente en faisant intervenir la dimension [F] d’une force. Lycée Lapérouse - Kerichen 7 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 5 Analyse qualitative d’une relation littérale Une analyse qualitative rapide d’une relation trouvée permet aussi de vérifier sa cohérence (sens de variation, valeurs particulières, etc.). Exemple : Après calcul, un élève trouve que la composante az (Oz étant un axe vertical orienté vers le bas) de l’accélération d’un mobile sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontal est : az = g sin(α). Après avoir jeté un coup d’œil sur la copie de son voisin (et obtenu en conséquence la note de 0/20!), il s’aperçoit que son camarade a trouvé : az = g cos(α). Doit-il recopier le résultat de son voisin ? Doit-il uniquement changer le signe ? Doit-il uniquement changer le « sin » en « cos » ? Justifier par une analyse qualitative des différentes relations. L’oscillateur harmonique : équation différentielle du mouvement IV Soit un système solide-ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k. G (m) (k) E i x' O x x(t) La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’origine des abscisses correspond à l’abscisse de G lorsque le solide est à l’équilibre. 1 Application du PFD … 2 Forme canonique de l’équation différentielle du mouvement … Lycée Lapérouse - Kerichen 8 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 Détermination du mouvement par résolution de l’équation différentielle V Résoudre une équation différentielle consiste à trouver l’expression de la fonction inconnue x(t) qui vérifie cette égalité. Dans le cas de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique, la fonction inconnue doit dépendre k . Et surtout cette fonction, si le modèle de la m du temps mais aussi certainement du paramètre 0 force de rappel a été judicieusement choisi, doit être périodique dans le temps et même sinusoïdale afin d’être en accord avec les observations expérimentales du mouvement oscillant de la masse. Cependant, parmi les fonctions sinusoïdales qui vérifieront l’équation différentielle, il restera à choisir LA fonction qui respecte les conditions initiales considérées comme connues : - la position initiale x(t = 0) = x0 - la vitesse initiale x (t 0) v0 1 Résolution dans deux cas simples … 2 Résolution dans le cas de conditions initiales quelconques … 3 Différentes formulation de la solution générale … 4 Application Voir question 8 de l’exercice 5 VI Application numérique et écriture du résultat 1 Cohérence entre les unités Supposons que vous ayez à calculer la quantité de matière n avec V = 0,040 L ; M = 44,0 g.mol-1 ; V M ρ = 0,80 × 10 -3 kg.m-3 Proposer plusieurs triplets d’unités cohérents pour ρ, V et M. - ρ en kg.m-3 - ρ en kg.dm-3 ou …………… - V en L ; ; V en …………… ; M en g.mol-1 ; M en …………… V en …………… ; ; M en …………… ρ en …………… Rappel : Lycée Lapérouse - Kerichen 9 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 MPSI 2015-2016 2 Les préfixes multiplicateurs Pour exprimer la mesure d’une grandeur, on peut utiliser des préfixes multiplicateurs : 3 Les conversions Une méthode rapide consiste à utiliser l’écriture des puissances de 10 et la définition des unités du système métrique : Exemples : 12,5 km = 12,5 x (1 km) = 12,5 x (103 m) = 1,25 x 104 m 630 nm = 630 x (1 nm) = 630 x (10-9 m) = 6,30 x 10-7 m Applications : Convertir les grandeurs suivantes en unités du système international (S.I.) C = 2,0 x 10-4 mol.L-1 v = 1,2 x 103 km.h-1 σ = 1,0 mS.cm-1 ρ = 0,80 × 10 -3 g.L-1 4 Le calcul sans calculatrice Pour le calcul du paragraphe 1, on vous propose l’aide au calcul suivant : 4,4 32 8,0 0,14 ; 7,3 ; 1,8 32 4,4 4,4 Aide : il faut écrire toutes les valeurs dans des unités cohérentes, en notation scientifique, regrouper toutes les puissances de 10 puis effectuer l’application numérique en s’aidant de l’une des aides au calcul. m (8,0 10 4 ) (4,0 10 2 ) (8,0 4,0) 10 4 10 2 32 10 ( 4 2 1) 7,3 10 7 mol 1 1 4 , 4 4 , 4 4,4 10 10 Lycée Lapérouse - Kerichen 10 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 MPSI 2015-2016 5 Notion d’incertitude et écriture d’un résultat Lorsque l’on effectue une mesure, d’une longueur par exemple, on ne peut jamais faire une mesure parfaite. On mesure une valeur Lm = Lmesurée mais on ne peut pas accéder à la valeur Lv = Lvraie ni à l’erreur de mesure Lm – Lv. Le mieux que l’on puisse faire est de proposer un intervalle de confiance dans lequel doit se trouver la vraie valeur Lv avec une probabilité donnée. Par exemple, on va pouvoir écrire que la valeur vraie Lv se trouve dans l’intervalle [Lm - ΔL ; Lm + ΔL] avec une probabilité P ; ΔL caractérise l’incertitude sur la mesure de L. On appelle incertitude type l’estimation quantitative (donc calculable) de la dispersion des mesures. La probabilité que la vraie valeur se trouve dans l’intervalle (valeur mesurée ± incertitude type) est appelée niveau de confiance 6 Les différents types d’incertitude 6.1 Cas d’une mesure unique avec un instrument de mesure Lorsque l’on effectue une mesure à la règle graduée, on peut estimer la précision à Δ = 1 mm (parfois on choisit 0,5 mm) et on admettra que l’incertitude type, notée ici U, sur la lecture est égale à : U avec un niveau de confiance de 95% 3 Et donc que l’incertitude type sur la mesure (qui nécessite deux lectures) est égale à U 2 3 Le résultat de la mesure pourra ainsi s’écrire L = Lmesurée ± U = Lmesurée ± 2Δ / 3 avec une probabilité de 95% que la vraie valeur se situe dans l’intervalle [Lmesurée - U ; Lmesurée + U]. Exemple 1 : Mesurer la longueur d’une feuille de format A4 et donner le résultat sous la forme (…... ± …..) cm avec un niveau de confiance de 95% en respectant la règle ci-dessous. L’incertitude type est donnée avec un seul chiffre significatif et la valeur numérique doit être cohérente avec cette incertitude quant au dernier chiffre significatif donné. Exemple 2 : lors d’une mesure effectuée avec un appareil de mesure acheté dans le commerce (voltmètre, ampèremètre, goniomètre, etc.), il faudra lire la notice de l’appareil afin de trouver comment calculer l’incertitude type. Par exemple, sur la notice d’un voltmètre en DC sur le calibre 5V, on lit « 0,3% rdg » ce qui signifie que la précision Δ est égale à 0,3 % de la valeur lue. Pour une valeur lue de 2,546 V, écrire le résultat sous la forme U = (….. ± …..) V avec une probabilité de 95 % (attention U représente ici une tension !). Lycée Lapérouse - Kerichen 11 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 Cas d’une série de n mesures (voir TP) 6.2 Lorsque l’on effectue une série de n mesures d’une même grandeur x, on peut calculer la valeur moyenne x des n mesures ainsi que l’incertitude type (notée ici Δx) pour un niveau de confiance de P% (95% ou autre). La valeur vraie de x sera donc comprise dans l’intervalle [ x - Δx ; x + Δx] avec une probabilité de P%. Dans le cas d’une série de n mesures, la valeur de l’incertitude type dépend : 6.3 - du nombre de mesures n - du niveau de confiance P choisi - de la dispersion des valeurs mesurées Cas d’une grandeur calculée Lorsque l’on effectue un calcul d’une grandeur x à partir de deux grandeurs a et b, l’incertitude sur x, notée ici Δx, peut être estimée à partir des incertitudes sur a et sur b, ce calcul dépendant du type de relation entre x, a et b. Par exemple : Si x = (a + b) alors x (a ) 2 (b) 2 6.4 ; si x = (a . b) alors x a b ( )2 ( )2 x a b Cas des erreurs aléatoires et systématiques Les schémas ci-dessous représentent deux cibles et des flèches de tir à l’arc. Cas de la cible de droite : la dispersion des tirs est relativement faible : on dit que la fidélité des tirs est faible. En revanche l’arc semble mal réglé : on dit que la justesse des tirs est faible. Dans ce cas on dit que les erreurs de tirs sont essentiellement …………………… Cas de la cible de gauche : la dispersion des tirs est importante : on dit que la fidélité des tirs est faible. En revanche la moyenne des tirs est centrée au milieu de la cible : l’arc est bien réglé et la justesse des tirs est importante. Dans ce cas on dit que les erreurs de tirs sont essentiellement …………………… Dans le cas d’une mesure où il y a à la fois une incertitude type U1 aléatoire et une incertitude type U2 systématique (avec un même niveau de confiance), alors l’incertitude type totale U est : U U1 U 2 2 2 Et, plus généralement, s’il y a plusieurs sources d’erreurs indépendantes sur une mesure avec des incertitudes type Uk, alors l’incertitude type totale est : U U1 U 2 U 3 ... 2 Lycée Lapérouse - Kerichen 2 2 12 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 6.5 MPSI 2015-2016 Cas d’une régression linéaire Lorsque l’on effectue une régression linéaire, le logiciel avec lequel on modélise la droite fournit une incertitude sur la valeur du coefficient directeur : y = ax + b avec a = … ± Δa. Mais attention, la valeur de a n’a de sens que si la modélisation affine est satisfaisante c'est-àdire si les points sont « suffisamment alignés ». Afin d’estimer si la modélisation affine est satisfaisante, il faut connaître les incertitudes Δx et Δy sur les grandeurs portées en abscisses et en ordonnées puis représenter les points d’abscisses (x,y) par des croix ou des disques de longueur horizontale égale à Δx et verticale égale à Δy ; la modélisation est alors satisfaisante si la droite tracée par le logiciel de régression linéaire passe bien par toutes les croix ou les disques (remarque : si un seul point est trop éloigné de la droite, il faut le supprimer et recommencer la régression linéaire sans ce point). Une fois le modèle validé, la qualité des mesures peut être estimée par la valeur de Δa ou de Δa / a (souvent donné en %). Indiquer pour chaque graphe si la modélisation affine est satisfaisante ou non. Indiquer éventuellement le(s) point(s) à supprimer afin qu’elle le devienne (remarque : l’incertitude sur la variable x est ici négligeable, seule apparaît celle sur la variable y, en ordonnée). Lycée Lapérouse - Kerichen 13 / 20 Signaux physiques - Chapitre 1 MPSI 2015-2016 Remarque : Les calculs des incertitudes type dans les différents cas précités seront vus progressivement en TP : - calcul de l’incertitude type d’une mesure unique effectuée à la règle ou par pointage sur l’écran d’un ordinateur ; - calcul de l’incertitude type d’une mesure unique effectuée avec un multimètre ; - calcul de l’incertitude type d’une série de n mesures d’une même grandeur (cas d’une longueur d’onde dans le cas du 2e TP) ; - calcul d’une incertitude type déduite de l’incertitude sur le coefficient directeur d’une droite fournie par un logiciel de régression linéaire ; - calcul de l’incertitude type Δx d’une grandeur calculée x = f(α, β, γ…) à partir des incertitudes sur les grandeurs α, β, γ… Mais, en attendant de savoir calculer ces incertitudes type, et sachant tout de même que n’importe quel résultat possède une incertitude, nous ferons bien attention de ne donner toujours qu’un nombre raisonnable de chiffres significatifs (notés c.s.) : - la longueur L = 21,654 mm mesurée à la règle sera notée L = …………… mm - la longueur L = 0,2836 cm mesurée à la règle sera notée L = …………… cm - lors d’un calcul de type multiplication ou division, on ne garde pas plus de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins. Exemple : Le poids d’une masse m = 2,0 kg est : P = m x g = 2,0 x 9,81 = VII Énergie mécanique d’un oscillateur harmonique 1 Énergie potentielle … 2 Énergie mécanique Voir question 5 de l’exercice 3 3 Conséquences de la conservation de l’énergie mécanique Voir questions 6 et 7 de l’exercice 3 Lycée Lapérouse - Kerichen 14 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 VIII TP – Mesures des caractéristiques d’un signal oscillant sinusoïdal 1 Acquisition avec Latispro Prendre des notes dans votre cahier de TP sur l’utilisation du logiciel Latispro puis réaliser l’acquisition de deux signaux (qui ne soient pas en phase). 2 Déphasage entre deux signaux Nous avons trouvé la solution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique dans les deux cas suivants : - si x(t 0) x 0 et x (t 0) 0 : la solution est x(t ) X m cos(0 t ) avec X m x 0 (courbe …) - v si x(t 0) 0 et x (t 0) v 0 : la solution est x(t ) X m sin(0 t ) avec X m 0 0 (courbe …) Ces deux solutions ont été représentées ci-dessous (avec une amplitude Xm égale à 1,0 m dans les deux cas). Identifier chacune des courbes. 2 Δt 1 Tracés dans le cas Xm = 1,0 m et ω0 = 2π rad.s-1(donc T0 = ….. s) La courbe (1) présente un maximum à la date t = 0 s. La courbe (2) présente un maximum à la date t = ¼ s, donc 0,25 s plus tard que la courbe 1. On dit que la courbe (2) est en …………………….. de Δt = 0,25 s sur la courbe (1). On appelle phase du signal l’argument du cosinus ou du sinus. Sachant que : sin (ω0t) = cos (ω0t - ……) on dira que la différence de phase entre les deux signaux est égale à …… ; et plus précisément, on dira que le signal (2) a un …………………. de phase égal à …… par rapport au signal (1). Conclusion (à retenir par cœur) : Xmcos (ω0t - φ), avec φ [0 ; π], est en ……………. de phase d’un angle φ par rapport à Xmcos(ω0t) Xmcos (ω0t + φ), avec φ [0 ; π], est en ……………. de phase d’un angle φ par rapport à Xmcos(ω0t) Lycée Lapérouse - Kerichen 15 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 Nous avons vu deux solutions de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique dans deux cas particuliers. Le cas le plus général de solution de cette équation différentielle est Xm cos (ω0t - φ) ou Xm cos (ω0t + φ). Nous choisirons arbitrairement la seconde expression. La solution générale de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique x(t ) 0 2 x(t ) 0 est de la forme : x(t) = Xm cos (ω0t + φ) (2) : Xm cos (ω0t + φ) (1) : Xm cos (ω0t) Δt t0 Tracés dans le cas Xm = 1,0 m et ω0 = 2π rad.s-1(donc T0 = 1,0 s) 1- Montrer où on peut repérer la grandeur Xm cos (φ) sur le graphique. En déduire la valeur de φ. 2- Laquelle des deux courbes est en avance sur l’autre ? 3- Déterminer la date t0 en fonction de ω0 et φ puis le décalage temporel Δt (> 0) en fonction de ω0 et φ. 4- En déduire à nouveau la valeur de φ. Comparer à la première valeur en calculant l’écart relatif e = 100 x |valeur1 – valeur2| / valeur(1ou2) et conclure par une phrase du type : « les deux valeurs sont égales à ……% près » (ce type de calcul et de conclusion est à retenir). Conclusion : Xmcos (ω0t + φ), avec φ [0 ; π], est ……………………………………. par rapport à Xmcos(ω0t) Le déphasage φ entre les deux signaux est relié au décalage temporel Δt par la relation : (préciser les unités) 5- En vous aidant de l’annexe, indiquer comment on nomme deux signaux dont le déphasage est égal à π. 6- Sur le graphe suivant, tracer x2(t) = Xm cos (ω0t + φ), avec φ [π ; 2 π]. Quel est le signal en avance sur l’autre ? Lycée Lapérouse - Kerichen 16 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 (1) : x1(t) = Xm cos (ω0t) Tracés dans le cas Xm = 1,0 m et ω0 = 2π rad.s-1(donc T0 = 1,0 s) 3 Mesures des caractéristiques des signaux obtenus expérimentalement - - Représenter ci-contre l’allure (approximative) des deux signaux obtenus. - Sur l’une des deux courbes, faire apparaître nT0 (avec n = 2 ou 3) ainsi que Xmcosφ. - Justifier que les deux signaux ont la même période propre T0. - Toujours pour l’un des deux signaux, déterminer à l’aide du curseur la période T0, la valeur Xmax et la valeur Xmin. - En déduire la pulsation propre ω0, la valeur moyenne Xmoy ainsi que l’amplitude des oscillations. - Déterminer le décalage temporel Δt et en déduire le déphasage φ. Des courbes obtenues, que peut-on conclure de notre modèle de la force de rappel du ressort ? Justifier clairement. 4 Déphasage entre un signal et sa dérivée - Modéliser l’un des deux signaux puis tracer sa courbe dérivée. - Lequel des deux signaux est en avance sur l’autre ? Justifier. - Déterminer le déphasage entre le signal et sa dérivée. Ces signaux sont dits en quadrature de phases. - Justifier le résultat précédent en complétant l’égalité suivante : [ cos (ω0t) ]’ = cos (ω0t + …) 5 Somme de deux signaux sinusoïdaux - Tracer la courbe somme des deux signaux obtenus expérimentalement. - Que constatez-vous ? En quoi est-ce cohérent avec le paragraphe V3 ? Lycée Lapérouse - Kerichen 17 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 IX Exercices 1 Questions d’application du cours a- Déterminer puis corriger les formules qui sont inhomogènes : u avec i une intensité, u une tension et Rk (k = 1 ou 2) des résistances R1 R2 i u i R avec les τ1 = RC et τ2 = L/R des constates de temps et ω L 1 R2 ( LC 2 ) 2 LC R C une pulsation a R 2u avec a le vecteur accélération, u un vecteur unitaire, ω une pulsation et R un rayon F mR 2 avec F le vecteur force et m une masse a R 2ur u avec u r et u de vecteurs unitaires, et les dérivées par rapport au temps de θ x 0 2 Q x k x 0 avec x un allongement et Q un facteur sans unité m b- Effectuer les conversions du paragraphe VI 3. c- En chimie, une pipette de 25 mL indique une tolérance (erreur) de 0,05 mL. Déterminer l’incertitude type sur la mesure du volume de 25 mL (avec un niveau de confiance de 95%) puis écrire le résultat de la mesure du volume prélevé (avec l’incertitude et le bon nombre de chiffres significatifs). d- Un élève cherche à vérifier la première loi de Descartes (égalité de l’angle d’incidence i et de l’angle de réflexion r lors de la réflexion d’un rayon lumineux sur un miroir). Il obtient les résultats suivants : i 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 50,0 r 0,0 5,0 10,5 15,5 19,5 24,5 30,5 35,5 40,0 49,5 60,0 70,0 80,0 85,0 61,0 70,5 80,0 85,5 La première loi de Descartes peut-elle être à priori validée ? Sachant que les mesures d’angle sont effectuées avec un rapporteur gradué en degré et que le réglage initial de la normale au miroir induit une erreur systématique estimée à 0,5°, préciser la réponse précédente en tenant compte des incertitudes sur les mesures. e- Un ressort s’allonge de 4 cm lorsqu’on lui suspend une masse de 15 g. Quelle est sa constante de raideur (avec son unité) ? Quelle est la période des oscillations ? 2 Le pendule simple Un pendule simple est constitué d’une masse m accrochée à un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable. La masse m oscille autour de la verticale, l’angle entre le fil et la verticale étant noté θ. 1- Déterminer, par élimination - et en justifiant chaque élimination l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule (dans le cas de petites oscillations) : g 0 L ; L g ; g L ; g L 0 2- En déduire l’expression de la période des oscillations d’un pendule simple. Justifier. Lycée Lapérouse - Kerichen 18 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 3 Démonstrations de cours Soit un système solide-ressort constitué d’un solide de masse m, fixé à l’extrémité d’un seul ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k. G (m) (k) E i x' O x x(t) La position du centre d’inertie G du solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un axe horizontal x’Ox. L’origine des abscisses correspond à l’abscisse de G lorsque le solide est à l’équilibre. 1- Effectuer un bilan des forces extérieures appliquées à la masse m. 2- Appliquer le PFD dans un référentiel galiléen (à préciser) et projeter-le sur les axes. 3- En déduire l’équation différentielle vérifiée par l’allongement x(t). 4- Rappeler l’expression de x(t) dans le cas d’un mouvement non amorti (pour des conditions initiales quelconques non précisées). 5- En utilisant l’expression de la question précédente, prouver que l’énergie mécanique est une constante du mouvement. 6- Retrouver l’équation différentielle vérifiée par x(t) dans le cas d’un mouvement sans frottement. 7- En utilisant la conservation de l’énergie mécanique, retrouver l’expression de l’amplitude Xm dans le cas où x(t 0) 0 et x (t 0) v 0 . 8- La pulsation ω0 = 10 rad.s-1. A t = 0, l’amplitude x0 = 2,0 cm et la vitesse vx0 = 10 cm.s-1. Déterminer l’amplitude Xm et la phase à l’origine φ0 Aide : - déterminer deux relations entre Xm, ω0, φ0, x0 et vx0 en déduire l’expression de tan(φ0) déterminer le signe de cos(φ0) puis la valeur de φ0 en déduire la valeur de Xm 4 Calcul sans calculatrice 1- Calculer la durée Δt de chute libre d’un objet lâché sans vitesse initiale d’une altitude h = 1,0 km, définie par la relation t Aide au calcul : 2h avec g ≈ 10 m.s-2 g 2 ≈ 1,4 T2 2- Calculer l’inductance L (en unité S.I.) d’une bobine définie par L sachant que T = 1,0 ms 4 2 C et C = 100 nF (nano Farad). Aide au calcul : 1 / 2 ≈ 0,10 Lycée Lapérouse - Kerichen 19 / 20 MPSI 2015-2016 Signaux physiques - Chapitre 1 5 Oscillations verticales Un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k est accroché au plafond en O. A son autre extrémité est accrochée une masse m. La position du centre de gravité M de O la masse est repérée par son abscisse z telle que OM zu z (on suppose a << z). 1- Effectuer un bilan des forces extérieures appliquées à la masse m. 2- Donner l’expression de la position d’équilibre zeq. 3- Établir l’équation différentielle du mouvement. 4- On pose Z(t) = z(t) – zeq : écart à la position d’équilibre. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la fonction Z(t). Commenter. M 5- Quelle est l’influence de la gravité sur la période des oscillations ? a 6- Déterminer l’expression de l’énergie mécanique du système en fonction de z et de z (penser aux différentes énergies potentielles intervenant dans ce problème). 7- Retrouver l’équation différentielle vérifiée par z(t). 6 Masse entre deux ressorts horizontaux d O ux XG Soit un mobile de masse m et de centre de gravité G accroché entre deux ressorts de mêmes longueurs à vide L0 et de constantes de raideur k1 et k2 différentes. Le ressort de gauche sera appelé ressort (1) et le ressort de droite ressort (2). La position du point G est repérée par son abscisse xG sur un axe horizontal (O, u x ) , voir figure. Afin de simplifier le problème, on négligera la dimension du mobile ce qui revient à considérer que les deux ressorts sont directement accrochés au point G. 1. Exprimer chacune des forces F1 et F2 exercée respectivement par les ressorts (1) et (2) sur la masse m en fonction de k, L0, xG, u x et éventuellement d, la distance séparant les deux points fixes de chaque ressort (voir figure). Attention aux signes. 2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par xG(t). 3. Par souci de simplification de l’expression précédente, on se placera dans le cas où d L 0 k 2 k1 . k2 En déduire que le mouvement de G est équivalent à celui d’un mobile de masse m accroché à un seul ressort de constante de raideur k à déterminer. Justifier. Lycée Lapérouse - Kerichen 20 / 20
