oscillateur amorti, analogie électrique
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Lycée G. Monod, MPSI, Physique-Chimie 8 janvier 2015 DM n◦ 2 : oscillateur amorti, analogie électrique-mécanique et appareil photo 3. Donner d’autres exemples de systèmes décrits par ce modèle que l’amortisseur de voiture. 1.2 Travail à rendre pour le jeudi 22 janvier. 1 Oscillateur amorti F IGURE 1 – Schéma et exemple d’un oscillateur mécanique amorti. Dans la nature, les oscillateurs mécaniques ne sont (presque) jamais harmoniques, car la dissipation d’énergie est présente partout. La modélisation de l’oscillateur harmonique qui a été l’objet du premier chapitre du programme doit alors être modifié (voir figure 1). On considère une masse m qui est astreinte à se déplacer sur un axe hori→ zontal de vecteur unitaire − u x. − → → — Elle est soumise à la force de rappel du ressort F = −k ( x − l ) − u où v 0 x k désigne la raideur du ressort et l0 la longueur à vide. — Elle est également soumise à une force de frottement visqueux (l’amor− → → tisseur proprement dit), qui a pour expression F v = −h − v où h est un − → coefficient de frottement et v le vecteur vitesse de la masse mobile. 1.1 Questions générales → 1. Comment s’écrit la vitesse − v en fonction de la dérivée de la position x (t) − → et de u x ? 2. Sur la figure 1 est présentée une photo d’un oscillateur amorti, l’amortisseur de voiture : quelle est la masse mobile ici ? D’où vient le frottement visqueux ? Régime libre On place l’origine des x au point d’équilibre du ressort (l’élongation du ressort est alors sa longueur à vide). A t = 0 on soumet la masse à une excitation ponctuelle : on étire le ressort jusqu’à la position x0 > 0, puis on lâche la masse sans vitesse initiale. 4. En appliquant le PFD, déterminer l’équation différentielle vérifiée par x (t). (Ne pas hésiter à généraliser la démarche du chapitre 1 sur l’oscillateur harmonique) .. 5. Se ramener à la forme canonique x + ωQ0 dtx + ω 2 x = 0. Que valent alors la pulsation propre ω0 et le facteur de qualité Q, en fonction de m, k et h ? 6. Rappeler (à partir du cours) l’influence du facteur de qualité. Sa dépendance en fonction des paramètres m, k et h est-elle physiquement logique ? 7. Etudier la limite où h est faible. Quel terme peut-on alors négliger dans l’équation différentielle ? Devant quelle grandeur h doit-il être négligeable pour que cette simplification puisse être faite (h ?) ? A quelle situation familière est-on ramené dans ce cas ? 8. Etudier la limite inverse, où h est très grand. Quels termes peut-on alors négliger dans l’équation différentielle ? Devant quelle grandeur h doit-il être grand pour que cette simplification puisse être faite (h ?) ? Quelle est alors la solution x (t), et celle-ci est-elle attendue ? 9. Etude énergétique. Que vaut l’énergie mécanique de l’oscillateur ? En partant de l’équation différentielle, retrouver un bilan d’énergie sous la forme dEm dt = P h où P h désigne la puissance dissipée. Quel est le signe de cette dernière puissance ? Est-ce normal ? 10. Analogie électrique-mécanique. Réaliser une analogie entre l’équation différentielle mécanique des questions 4 et 5 et l’équation différentielle pour le circuit RLC vue en cours. Quels sont les analogues électriques des grandeurs suivantes : v, m, h, k, Ec et E p (faire un tableau) ? Justifier alors qu’on puisse parfois appeler les bobines des composants inertiels. 11. Résoudre l’équation différentielle et représenter la position x en fonction du temps (qu’on peut tracer à la mains, proprement, ou avec un logiciel) pour les 2 ensembles suivants de valeurs des paramètres : — m = 1 kg, k = 1 N.m−1 , h = 0.625 kg.s−1 — m = 1 kg, k = 1 N.m−1 , h = 16 kg.s−1 On pourra utiliser pour cela un logiciel de tracé de courbes. Lycée G. Monod, MPSI, Physique-Chimie 8 janvier 2015 . 12. Représenter dans les deux cas la solution dans un plan de phases ( x, x ), c’est-à-dire en traçant à chaque t la valeur de x (t) en abscisse et la valeur de . x (t) en ordonnée. On parle aussi de représentation paramétrique. 2 Appareil photo F IGURE 4 – Série de photos C. F IGURE 2 – Série de photos A. (b) Laquelle de ces séries de photos illustre l’influence de la focale ? (d) Expliquer votre choix. 3. Influence de la mise au point (a) Laquelle de ces séries de photos illustre l’influence de la mise au point ? (b) Classer alors les photos de la série de la plus petite à la plus grande distance objectif-capteur. (c) Expliquer votre choix. 4. Influence de l’ouverture (a) Définir le nombre d’ouvertue (NO) d’un objectif photo. Comment dépend-il de l’ouverture réelle du diaphragme ? (b) Sur quel autre paramètre de l’appareil photo doit-on jouer lorsqu’on souhaite faire varier l’ouverture, tout en gardant une exposition (luminosité) constante ? (c) La dernière de ces séries de photos illustre l’influence de l’ouverture. Classer les photos de la série de la plus petite à la plus grande ouverture (autrement dit, du plus grand au plus petit NO). (d) Expliquer ce qu’on appelle la profondeur de champ, et quel est le lien entre celle-ci et l’ouverture. (e) Quelle ouverture doit être privilégiée pour faire du paysage ? De la macro ? Un portrait artistique ? (c) Classer alors les photos de la série de la plus petite à la plus grande focale. Il est possible de se référer au sujet du TP φ5, qui a été modifié. F IGURE 3 – Série de photos B. 1. Présenter, à l’aide d’un schéma, un modèle très simplifié d’appareil photo à une seule lentille, permettant de rendre compte de la mise au point et de l’ouverture. A quel autre dispoitif optique courant peut être comparé l’appareil photo ? 2. Influence de la focale (a) Définir la focale d’un objectif.
