oscillateur amorti, analogie électrique

Lycée G. Monod, MPSI, Physique-Chimie 8 janvier 2015
DM n◦2 : oscillateur amorti, analogie
électrique-mécanique et appareil photo
Travail à rendre pour le jeudi 22 janvier.
1 Oscillateur amorti
FIGURE 1 – Schéma et exemple d’un oscillateur mécanique amorti.
Dans la nature, les oscillateurs mécaniques ne sont (presque) jamais harmo-
niques, car la dissipation d’énergie est présente partout. La modélisation de
l’oscillateur harmonique qui a été l’objet du premier chapitre du programme
doit alors être modifié (voir figure 1).
On considère une masse mqui est astreinte à se déplacer sur un axe hori-
zontal de vecteur unitaire −→ ux.
— Elle est soumise à la force de rappel du ressort −→ Fv=−k(x−l0)−→ uxoù
kdésigne la raideur du ressort et l0la longueur à vide.
— Elle est également soumise à une force de frottement visqueux (l’amor-
tisseur proprement dit), qui a pour expression −→ Fv=−h−→ voù hest un
coefficient de frottement et −→ vle vecteur vitesse de la masse mobile.
1.1 Questions générales
1. Comment s’écrit la vitesse −→ ven fonction de la dérivée de la position x(t)
et de −→ ux?
2. Sur la figure 1 est présentée une photo d’un oscillateur amorti, l’amor-
tisseur de voiture : quelle est la masse mobile ici ? D’où vient le frottement
visqueux ?
3. Donner d’autres exemples de systèmes décrits par ce modèle que l’amor-
tisseur de voiture.
1.2 Régime libre
On place l’origine des xau point d’équilibre du ressort (l’élongation du
ressort est alors sa longueur à vide). A t=0 on soumet la masse à une exci-
tation ponctuelle : on étire le ressort jusqu’à la position x0>0, puis on lâche
la masse sans vitesse initiale.
4. En appliquant le PFD, déterminer l’équation différentielle vérifiée par
x(t). (Ne pas hésiter à généraliser la démarche du chapitre 1 sur l’oscillateur
harmonique)
5. Se ramener à la forme canonique .. x+ω0
Qdtx +ω2x=0. Que valent alors
la pulsation propre ω0et le facteur de qualité Q, en fonction de m,ket h?
6. Rappeler (à partir du cours) l’influence du facteur de qualité. Sa dépen-
dance en fonction des paramètres m,ket hest-elle physiquement logique ?
7. Etudier la limite où hest faible. Quel terme peut-on alors négliger dans
l’équation différentielle ? Devant quelle grandeur hdoit-il être négligeable
pour que cette simplification puisse être faite (h?) ? A quelle situation fa-
milière est-on ramené dans ce cas ?
8. Etudier la limite inverse, où hest très grand. Quels termes peut-on alors
négliger dans l’équation différentielle ? Devant quelle grandeur hdoit-il être
grand pour que cette simplification puisse être faite (h?) ? Quelle est alors
la solution x(t), et celle-ci est-elle attendue ?
9. Etude énergétique. Que vaut l’énergie mécanique de l’oscillateur ? En
partant de l’équation différentielle, retrouver un bilan d’énergie sous la forme
dEm
dt =Phoù Phdésigne la puissance dissipée. Quel est le signe de cette
dernière puissance ? Est-ce normal ?
10. Analogie électrique-mécanique. Réaliser une analogie entre l’équation
différentielle mécanique des questions 4 et 5 et l’équation différentielle pour
le circuit RLC vue en cours. Quels sont les analogues électriques des gran-
deurs suivantes : v,m,h,k,Ecet Ep(faire un tableau) ? Justifier alors qu’on
puisse parfois appeler les bobines des composants inertiels.
11. Résoudre l’équation différentielle et représenter la position xen fonc-
tion du temps (qu’on peut tracer à la mains, proprement, ou avec un logiciel)
pour les 2 ensembles suivants de valeurs des paramètres :
—m= 1 kg, k=1 N.m−1,h= 0.625 kg.s−1
—m= 1 kg, k=1 N.m−1,h= 16 kg.s−1
On pourra utiliser pour cela un logiciel de tracé de courbes.

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12. Représenter dans les deux cas la solution dans un plan de phases (x,. x),
c’est-à-dire en traçant à chaque tla valeur de x(t)en abscisse et la valeur de
.
x(t)en ordonnée. On parle aussi de représentation paramétrique.
2 Appareil photo
FIGURE 2 – Série de photos A.
FIGURE 3 – Série de photos B.
1. Présenter, à l’aide d’un schéma, un modèle très simplifié d’appareil
photo à une seule lentille, permettant de rendre compte de la mise au
point et de l’ouverture. A quel autre dispoitif optique courant peut être
comparé l’appareil photo ?
2. Influence de la focale
(a) Définir la focale d’un objectif.
(b) Laquelle de ces séries de photos illustre l’influence de la focale ?
(c) Classer alors les photos de la série de la plus petite à la plus grande
focale.
FIGURE 4 – Série de photos C.
(d) Expliquer votre choix.
3. Influence de la mise au point
(a) Laquelle de ces séries de photos illustre l’influence de la mise au
point ?
(b) Classer alors les photos de la série de la plus petite à la plus grande
distance objectif-capteur.
(c) Expliquer votre choix.
4. Influence de l’ouverture
(a) Définir le nombre d’ouvertue (NO) d’un objectif photo. Comment
dépend-il de l’ouverture réelle du diaphragme ?
(b) Sur quel autre paramètre de l’appareil photo doit-on jouer lors-
qu’on souhaite faire varier l’ouverture, tout en gardant une expo-
sition (luminosité) constante ?
(c) La dernière de ces séries de photos illustre l’influence de l’ouver-
ture. Classer les photos de la série de la plus petite à la plus grande
ouverture (autrement dit, du plus grand au plus petit NO).
(d) Expliquer ce qu’on appelle la profondeur de champ, et quel est le
lien entre celle-ci et l’ouverture.
(e) Quelle ouverture doit être privilégiée pour faire du paysage ? De la
macro ? Un portrait artistique ?
Il est possible de se référer au sujet du TP φ5, qui a été modifié.