02-Triangle_rectangle-Pythagore_trigonometrie

Chap 02 - Triangles Rectangles
(Théorèmes de Pythagore et Trigonométrie)
I)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Théorème de Pythagore (rappel)
1)−−−−−−−−− Théorème
a-−−−−−−− Énoncé
−−−−−−−−−
Théorème
−
: Soit ABC un triangle. Si ABC est rectangle en Aalors AB2+AC 2=BC 2.
b-−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle
−−−−−−−
Énoncé
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4cm et AC=3cm.
Calculer la longueur BC.
Le triangle ABC est rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore :
AB2+AC 2=BC 2
42+32=BC 2
16+9=BC 2
25 =BC 2
p25 =BC
BC = 5
AB
C
4cm
3cm
?
c- −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Calculer la longueur d’un petit coté d’un triangle rectangle
−−−−−−−
Énoncé
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=10cm et AC=6cm.
Calculer la longueur BC.
Le triangle ABC est rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore :
AB2+AC 2=BC 2
AB2+62=102
AB2+36 =100
AB2=100−36
AB2=64
AB =p64
AB = 8
AB
C
?
6cm
10cm
−−−−−−−−
Exercices
−: n°1, 2 et 3 sur la feuille d’exercice
2)−−−−−−−−−−
Réciproque
−−−
du
−−−−−−−−−
théorème
a-−−−−−−− Énoncé
−−−−−−−−−
Théorème
−
: (Réciproque) Soit ABC un triangle. Si AB2+AC 2=BC 2alors ABC est rectangle en A.
b-−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Montrer qu’un triangle est rectangle
−−−−−−−
Énoncé
Soit ABC un triangle tel que AB=1,5cm, AC=2cm et BC=2,5cm.
1

Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?.
On remarque que BC est le plus grand coté. Si ABC est rectangle, ce sera forcément en A.
Calculons séparément :
AB2+AC 2=1,52+22
=2,25+4
−−−−−−
=6,25
BC 2=2,52
−−−−−
=6,25
On remarque que AB2+AC 2=BC 2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
c- −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Montrer qu’un triangle n’est rectangle
−−−−−−−
Énoncé
Soit ABC un triangle tel que AB=1,5cm, AC=2cm et BC=3cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?.
On remarque que BC est le plus grand coté. Si ABC est rectangle, ce sera forcément en A.
Calculons séparément :
AB2+AC 2=1,52+22
=2,25+4
−−−−−−
=6,25
BC 2=32
−−−
=9
On remarque que AB2+AC 26=BC 2.
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
−−−−−−−−
Exercices
−: n°4, 5 et 6 sur la feuille d’exercice
II) −−−−−−−−−−−−− Trigonométrie
1)−−−−−−−−−−−− Comparaison
−−−−−
avec−− le−−−−−−−−− théorème−− de
−−−−−−−−−−
Pythagore
Le théorème de Pythagore permet, dans un triangle rec-
tangle, de calculer la longueur d’un coté si on connaît la
longueur des deux autres cotés.
Exemple : figure à droite
A B
C
connu
connu
?
La trigonométrie permet de faire la même chose (calculer,
dans un triangle rectangle) la longueur d’un coté mais en
connaissant cette fois-ci la longueur d’UN autre coté du
triangle + la mesure d’un angle.
Exemple : figure à droite
A B
C
connu
connu
?
2

Comme le théorème de Pythagore, la trigonométrie per-
met de faire une seconde chose. Pythagore permettait de
vérifier si un triangle était ou non rectangle connaissant
la longueur des 3 cotés du triangle. La trigonométrie per-
met elle de calculer la mesure d’un angle connaissant la
longueur de deux des cotés du triangle (si celui-ci est rec-
tangle).
Exemple : figure à droite
A B
C
?
connu
connu
2)−−−−−−−−−−− Vocabulaire
L’hypoténuse Le coté adjacent Le coté opposé
L’hypoténuse est le plus
grand coté. C’est aussi le
coté opposé à l’angle droit.
Le coté adjacent à l’angle α
est, dans les deux cotés
restant, celui bordant l’angle
α.
Le coté opposé à l’angle α
est, dans les cotés restant,
celui ne bordant pas l’angle
α.
A B
C
α
hypoténuse
A B
C
α
adjacent
A B
C
α
opposé
−−−−−−−−
Exercices
−: n°7 sur la feuille d’exercice
3)−−−−−−
Lignes−−−−−−−−−−−−−−−− trigonométriques
−
-
−−−−−−−−−
formules
Cosinus Sinus Tangente
A B
C
α
adjacent
hypoténuse
opposé
A B
C
α
adjacent
hypoténuse
opposé
A B
C
α
adjacent
hypoténuse
opposé
cos α=....................................
.................................... sin α=.................................... .................................... tan α=.................................... ....................................
−−−−−−−−
Exercices
−: n°8 sur la feuille d’exercice
4)−−−−−−−−
Calculer−−− une
−−−−−−−−−
longueur−−−− avec
−−−−
une
−−−−−
ligne
−−−−−−−−−−−−−−−
trigonométrique
Soit le triangle ABC rectangle en B tel que BC = 4cm et  B AC =30°. Déterminer la longueur de [AC].
La première chose à faire est une figure pour repérer les données de l’énoncé, repérer si les longueurs en jeu
sont celles de l’hypoténuse, du coté opposé ou du coté adjacent pour choisir la bonne ligne trigonométrique.
3

A B
C
30°
?
4cm
Une fois cela fait, on repère donc si les cotés en jeu sont celles de l’hypo-
ténuse, du coté adjacent à l’angle ou le coté opposé à l’angle.
[AC] est opposé à l’angle droit, c’est donc −−−−−−−−−−− l’hypoténuse.
[BC] est opposé à l’angle donné, c’est donc−− le−−−− coté
−−−−−−−
opposé.
On va donc utiliser le sinus :
sin  B AC =BC
AC
On remplace les expressions littérales par leurs valeurs numériques.
sin30 =4
AC
On rajoute un 1 sous le sinus pour pouvoir utiliser sans peine le produit en croix.
sin30
1=4 AC
En utilisant le produit en croix, on "isole" l’inconnue AC.
AC =4×1
sin30
On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de AC.
AC =8cm
−−−−−−−−
Exercices
−: n°9 et 13 sur la feuille d’exercice
5)−−−−−−−−−−−
Déterminer−− la−−−−−−− mesure−−−− d’un
−−−−−
angle
Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3cm et AC=6cm. Déterminer la mesure de  B AC .
La première chose à faire est une figure pour repérer les données de l’énoncé, repérer si les longueurs en jeu
sont celles de l’hypoténuse, du coté opposé ou du coté adjacent pour choisir la bonne ligne trigonométrique.
A B
C
?
3cm
6cm
Une fois cela fait, on repère donc si les cotés en jeu sont celles de l’hypo-
ténuse, du coté adjacent à l’angle ou le coté opposé à l’angle.
[AC] est opposé à l’angle droit, c’est donc −−−−−−−−−−− l’hypoténuse.
[AB] est à coté de l’angle donné, c’est donc−− le−−−− coté−−−−−−−− adjacent.
On va donc utiliser le cosinus :
cos  B AC =AB
AC
On remplace les expressions littérales par leurs valeurs numériques.
cos  B AC =3
6=1 2
On isole l’inconnue, l’angle  B AC .
BAttention, il n’y a pas de multiplication entre le cos et  B AC . Pour isoler  B AC, il faut utiliser la "fonction
réciproque" du cosinus qui est la fonction "arc cosinus" et qui se note arccos ou cos−1suivant les calculatrices.
On procède ainsi pour l’utiliser :
B AC =arccos¡1
2¢ou 
B AC =cos−1¡1
2¢(suivant les modèles de calculatrice)
On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de AC.
B AC =60°
Pour utiliser la fonction arccos sur les calculatrices collèges il faut procéder comme ceci :
Casio f x92 Collèg e 2D+TI Collège Plus
On appuie sur la touche seconde
située en haut à gauche puis sur la
touche cos .
On appuie sur la touche jaune 2nde
située en haut à gauche puis sur la
touche cos .
−−−−−−−−
Exercices
−: n°10, 11 et 12 sur la feuille d’exercice
4