MATHEMATIQUES 1. Reconnaître une fonction affine. Exercice 1 2

Lycée Louise Michel
MATHEMATIQUES
Module : Fonctions affines
1. Reconnaître une fonction affine.
Définition : Soit a et b deux nombres réels.
Toute fonction f définie sur R par f (x) = ax + b est appelée fonction affine.
Remarque : lorsque b = 0, f (x) = ax. On dit que f est une fonction linéaire.
Exercice 1
Pour chacune des fonctions suivantes, dire s’il s’agit d’une fonction affine (si c’est le cas, préciser a et b).
1. f (x) =
2
x−1
3
2. f (x) = (2x − 1) − (3x + 2)
3
+5
x
√
4. f (x) = 3 x − 3
3. f (x) =
√
5. f (x) = x 3 + 1
6. f (x) = 2x2 + 1
2x − 3
5
√
8. f : x 7−→ 5
7. f : x 7−→
√
9. f (x) = x 2 − x
10. f : x 7−→
x+5
x
2. Représentation graphique d’une fonction affine.
Théorème :
• Si f est une fonction affine, alors sa courbe représentative est une droite.
• Si la courbe représentative d’une fonction f est une droite alors f est une fonction affine.
Remarque : une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’est pas la représentation graphique d’une fonction affine.
Définition : soit d la droite représentant une fonction affine f : x 7−→ ax + b.
• Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite d (graphiquement, il s’agit de l’inclinaison de la droite
par rapport à l’axe des abscisses).
• Le nombre b (qui est tel que f (0) = b) est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite d (b est l’ordonnée du point
d’intersection de d avec l’axe des ordonnées).
• La droite d a pour équation y = ax + b.
Exercice 2
Représenter dans un repère orthonormal (unité le cm) les représentations graphiques des fonctions affines suivantes.
Pour cela, faire un tableau de valeurs pour chacune des fonctions dans lequel les coordonnées des points sont des
nombres entiers. On notera les droites d1 , d2 , d3 , d4 , d5 et d6 .
f1 : x 7−→ −x + 4
f2 : x 7−→ −4x
1
f3 : x 7−→ − x
3
2
x+2
3
1
f5 : x 7−→ x + 1
4
1
1
f6 : x 7−→ − x +
4
4
f4 : x 7−→
3. Détermination d’une fonction affine.
d
f (x2 )
Théorème : soit f : x 7−→ ax + b
f (x2 ) − f (x1 )
Alors a =
x2 − x1
(accroissement moyen de f entre x1 et x2 ).
f (x2 ) − f (x1 )) est l’accroissement de l’image et x2 − x1 est
l’accroissement de la variable.
Pour déterminer le nombre b, on utilise l’un des réels et son
image par f .
f (x2 ) − f (x1 )
f (x1 )
x2 − x1
x1
O
x2
Exercice 3
Les fonctions représentées ci-dessous sont des fonctions affines. Déterminer dans chacun des cas, l’expression de f (x)
en fonction de x (on notera les fonctions f1 , f2 , ...).
D2
D1
D2
D1
7
7
6
D4
6
D4
5
5
4
D3
4
D3
3
3
2
D5
2
D5
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
1
2
3
4
5
6
7
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
2
3
4
5
6
Exercice 4
Soit f une fonction affine ; déterminer dans chacun des cas l’expression de f (x) en fonction de x.
1. f (−3) = 2 et f (4) = 1
3. f (−5) =
2. f (−1) = 2 et f (2) = 0
4. a =
1
et f (3) = 4
2
5
et f (4) = 1
3
4. Variations d’une fonction affine.
Théorème : Soit f une fonction affine définie sur R par f (x) = ax + b.
• Si a > 0 alors f est strictement croissante.
• Si a < 0 alors f est strictement décroissante.
• Si a = 0 alors f est une fonction constante.
Exercice 5
Dresser le tableau de variation des fonctions affines suivantes :
1. f1 (x) = 3x − 2
2. f2 (x) = −2x − 3
√
3. f3 (x) = x 2 − x
4. f4 (x) = −3 − 2x
2
5. f5 (x) = 2x − x + 5
3
√
6. f6 (x) = 2 3
7