Chap 11 Les racines carrées I. Racines carrées d'un nombre positif 1. Définition On sait que : −62 = 62 = 36 définition : On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif dont le carré est a. On le note 2 a . On a donc a = a . Remarques : ● le symbole ... est aussi appelé "radical". ● Si a est négatif, a n'a pas de sens car un carré ne peut pas être négatif. −62 = 62 = 36 donc exemple : 36 = 6 2. Carré parfait définition : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Sa racine (parfaite) est donc un entier naturel. exercice : A l'aide de la calculatrice, donne la valeur (si nécessaire arrondie au millième) de : 625 , 2 et 12,25 . S'agit-il de racines parfaites ? 625 = 25 c'est bien une racine parfaite. 2 ≃ 1,414 ce n'est pas une racine parfaite. √ 12,25 = 3,5 valeur exacte mais ce n'est pas une racine parfaite. Il faut connaître les premières racines parfaites : 0 = 0 1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10 121 = 11 3. Racine carrée d'un nombre au carré exemples : Calculer 3 = 9 = 3 2 4 2 = 16 = 4 11 = 121 = 11 propriété : Pour tout nombre positif a, on a : 2 a 2 2,7 = 7,29 = 2,7 2 = a . (la racine "annule" le carré.) II. Calculer avec des racines carrées 1. Produit de racines carrées propriétés : Pour tous les nombres positifs a et b, on a : a × b = a × b exemples : 3 × 27 = 3 × 27 = 81 = 9 √ 5 × √ 0,45 = √5 × 0,45 = √2,25 = 1,5 √ 5 × √ 2 × √ 10 = √ 5 × 2 × 10 = √ 100 = 10 Application à la simplification de racines : Le but est de faire apparaître des racines parfaites, puis d'utiliser la formule que l'on vient de voir pour écrire la racine de départ sous la forme a b avec b le plus petit possible. 1. 32 = 16 × 2 = 16 × 2 = 4 × 2 = 4 2 2. 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 3 5 3. 72 = 36 × 2 = 6 × 2 = 6 × 2 = 6 2 2. Quotient de racines carrées propriété : Pour tous les nombres a et b positifs et b non nul : a a = b b exemples : Calculer et simplifier : 36 36 6 = = 25 25 5 27 9×3 9 9 = 3 = = = 12 4×3 4 4 4 Remarque : Lorsque l'on a un quotient avec des racines, on fait en sorte de ne pas en avoir au dénominateur. 3 3 × 2 3 2 = Ainsi, s'écrira plutôt . 2 2 × 2 2 exemple : Écrire sous la forme d'un quotient sans racine au dénominateur : 5 7 = 5 7 7 15 1×15 1 1 1 3 = = = = = 45 3×15 15 3 3 3 3. Réduire une somme de racines carrées Nous allons étudier plusieurs exemples pour en dégager les méthodes. a. Racines simples A = 5 − 2 5 7 5 A = 1 − 2 7 5 on remarque que A = 6 5 B = 7 2 − 3 5 8 2 − 5 B = 7 8 2 −3 − 1 5 5 est un facteur commun aux 3 termes. on a 2 racines carrées B = 15 2 − 4 5 2 et 5 , on fait 2 factorisations. C = 9 − 2 3 − 4 − 6 3 C = 9 − 2 3 − 4 6 3 C = 5 4 3 b. Racines plus complexes Il y a des cas où il va falloir faire apparaître les facteurs communs en simplifiant les racines carrées. D = 2 72 − 7 18 D = 2 36 × 2 − 7 9 × 2 D = 2 × 36 × 2 − 7 × 9 × 2 D = 2 × 6 × 2 − 7 × 3 × 2 D = 12 × 2 − 21 × 2 il faut décomposer 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré parfait par un entier identique. D = −9 2 III. Équations de la forme x2 = a (a nombre relatif) 1. Activité 1. Quels sont les nombres dont le carré est : a. 49 ? b. 225 ? c. 7 ? 2. Existe-t-il des nombres dont le carré est : a. -9 ? b. -7 ? Justifier les réponses 3. Combien existe-t-il de solution(s) pour les équations suivantes : a. x 2 = 16 b. x 2 = 0 c. x 2 = −4 2. Propriété propriété • Si x • Si x • Si x : Si a est un nombre relatif : < 0, alors l'équation x 2 = a n'a pas de solution. = 0, alors l'équation x 2 = a a une solution unique 0. > 0, alors l'équation x 2 = a a deux solutions : a et −a . exemples : • • • x 2 = −7 n'a pas de solution. 2 x = 8 a deux solutions : 8 et −8 . x 22 = 36 : 36 est un nombre positif, donc cette équation a 2 solutions. x 2=6 x 2 = −6 On a alors : x = 6 − 2 ou x = −6 − 2 x=4 x = −8 vérification : si x = 4, on a : 4 22 = 62 = 36 si x = - 8, on a : −8 22 = −62 = 36 Les deux solutions de l'équation sont 4 et -8.