32 42 112 2,72 - Collège Albert Sidoisne

Chap 11 Les racines carrées
I. Racines carrées d'un nombre positif
1. Définition
On sait que :
−62=62=36
définition : On appelle racine carrée d'un nombre positif a, le nombre positif dont le carré est
a. On le note
a
. On a donc
a
2=a
.
Remarques :
●le symbole
...
est aussi appelé "radical".
●Si a est négatif,
a
n'a pas de sens car un carré ne peut pas être négatif.
exemple :
−62=62=36
donc
36 =6
2. Carré parfait
définition : Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Sa racine (parfaite) est donc un
entier naturel.
exercice : A l'aide de la calculatrice, donne la valeur (si nécessaire arrondie au millième) de :
625
,
2
et
12,25
.
S'agit-il de racines parfaites ?
625 =25
c'est bien une racine parfaite.
2≃1,414
ce n'est pas une racine parfaite.
√
12,25 =3,5
valeur exacte mais ce n'est pas une racine parfaite.
Il faut connaître les premières racines parfaites :
0=0
16 =4
64 =8
1=1
25 =5
81 =9
4=2
36 =6
100 =10
9=3
49 =7
121 =11
3. Racine carrée d'un nombre au carré
exemples : Calculer
32= 9=3
42= 16 =4
112= 121 =11
2,72= 7,29 =2,7
propriété : Pour tout nombre positif a, on a :
a2=a
. (la racine "annule" le carré.)

II. Calculer avec des racines carrées
1. Produit de racines carrées
propriétés : Pour tous les nombres positifs a et b, on a :
a× b= a×b
exemples :
3× 27 = 3×27 = 81 =9
√
5×
√
0,45 =
√
5×0,45 =
√
2,25 =1,5
√
5×
√
2×
√
10 =
√
5×2×10 =
√
100 =10
Application à la simplification de racines :
Le but est de faire apparaître des racines parfaites, puis d'utiliser la formule que l'on vient
de voir pour écrire la racine de départ sous la forme
a b
avec b le plus petit possible.
1.
32 = 16 ×2
= 16 × 2
=4× 2
=4 2
2.
45 = 9×5
= 9× 5
=3× 5
=3 5
3.
72 = 36 ×2
= 6× 2
=6× 2
=6 2
2. Quotient de racines carrées
propriété : Pour tous les nombres a et b positifs et b non nul :
a
b=
a
b
exemples : Calculer et simplifier :
36
25 =
36
25 =6
5
27
12 =
9×3
4×3=
9
4=
9
4=3
4
Remarque : Lorsque l'on a un quotient avec des racines, on fait en sorte de ne pas en avoir au
dénominateur.
Ainsi,
3
2
s'écrira plutôt
3× 2
2× 2=3
2
2
.
exemple : Écrire sous la forme d'un quotient sans racine au dénominateur :
5
7=5
7
7
15
45=
1×15
3×15=
1
15=
1
3=1 3=
3
3

3. Réduire une somme de racines carrées
Nous allons étudier plusieurs exemples pour en dégager les méthodes.
a. Racines simples
A= 5−2 57 5
A= 1−27 5
A=6 5
on remarque que
5
est un facteur commun aux 3 termes.
B=7 2−3 58 2− 5
B=  78 2 −3−1 5
B=15 2−4 5
on a 2 racines carrées
2
et
5
, on fait 2 factorisations.
C= 9−2 3 − 4−6 3
C=9−2 3−46 3
C=54 3
b. Racines plus complexes
Il y a des cas où il va falloir faire apparaître les facteurs communs en simplifiant les racines
carrées.
il faut décomposer 72 et 18 pour faire apparaître le
produit d'un carré parfait par un entier identique.
III. Équations de la forme x2 = a (a nombre relatif)
1. Activité
1. Quels sont les nombres dont le carré est :
a. 49 ? b. 225 ? c. 7 ?
2. Existe-t-il des nombres dont le carré est :
a. -9 ? b. -7 ? Justifier les réponses
3. Combien existe-t-il de solution(s) pour les équations suivantes :
a.
x
2=16
b.
x
2=0
c.
x
2= −4
D=2 72 −7 18
D=2 36 ×2−7 9×2
D=2× 36 × 2−7× 9× 2
D=2×6× 2−7×3× 2
D=12 × 2−21 × 2
D= −9 2

2. Propriété
propriété : Si a est un nombre relatif :
•Si x < 0, alors l'équation
x2=a
n'a pas de solution.
•Si x = 0, alors l'équation
x2=a
a une solution unique 0.
•Si x > 0, alors l'équation
x2=a
a deux solutions :
a
et
− a
.
exemples :
•
x2= −7
n'a pas de solution.
•
x2=8
a deux solutions :
8
et
− 8
.
•
x 22=36
: 36 est un nombre positif, donc cette équation a 2 solutions.
On a alors :
x 2=6
x =6−2
x =4
ou
x 2= −6
x = −6−2
x = −8
vérification : si x = 4, on a :
422=62=36
si x = - 8, on a :
−822= −62=36
Les deux solutions de l'équation sont 4 et -8.