1. Notion de racine carrée 2. Equation du type =

1. Notion de racine carrée
Définition :
Soit un nombre positif.
On appelle racine carrée de , notée √ , le seul nombre positif dont le carré est égal à , c’est-à-dire tel que
√
= .
Remarque : Le symbole « √
» se nomme radical.
Exemples : √36 existe car 36 est positif. Et √36 = 6 car 6 ≥ 0 et 6 = 36.
√1 existe car 1 est positif. Et √1 = 1 car 1 ≥ 0 et 1 = 1.
√0 existe car 0 est positif. Et √0 = 0 car 0 ≥ 0 et 0 = 0.
Propriété : (Admise)
Si
est un nombre positif, alors √
= .
Exemples : √2 = 2 ; √5 = 5 ;
3,8 = 3,8
Propriété : (Admise)
Si
est un nombre négatif, alors √
Exemples : (−2) = 2 = −(−2) ;
=− .
(−5) = 5 = −(−5) ;
Racines carrées à connaître par cœur :
0
1
4
9
16
0
1
2
3
4
√
2. Equation du type
25
5
36
6
49
7
(−3,8) = 3,8 = −(−3,8)
64
8
=
Propriétés : (Admises)
Soit un nombre.
• Si
> 0, alors l’équation
=
admet deux solutions : √
• Si
= 0, alors l’équation
=
admet une unique solution : 0.
• Si
< 0, alors l’équation
=
n’admet pas de solution.
Exemples :
= 25. Donc
= 5 ou
= 3. Donc
= √3 ou
= −5.
= −√3 .
= −2. Cette équation n’a pas de solution.
et −√ .
81
9
100
10
121
11
144
12
169
13
3. Opérations sur les racines carrées
Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) :
Pour tous nombres positifs
et , on a : √ × = √ ×√ .
Autrement dit, « la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées ».
Exemples : √25×9 = √25×√9 = 5×3 = 15
;
√2×√18 = √2×18 = √36 = 6
Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) :
Pour tous nombres positifs
et tels que est non nul, on a :
=
√
√
.
Autrement dit, « la racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées ».
=
Exemples :
√
=
√
√
;
=
√
= √25 = 5
Remarque importante : Il n’existe pas de règle pour simplifier des sommes ou des différences de racines carrées.
Exemples : √16 + √9 = 4 + 3 = 7 et √16 + 9 = √25 = 5. Donc √16 + √9 ≠ √16 + 9.
√400 − √256 = 20 − 16 = 4
√400 − 256 = √144 = 12
√400 − √256 ≠ √400 − 256
4. Simplification de racines carrées
Définition :
Simplifier une racine carrée consiste à écrire cette racine carrée sous la forme √ a , où
et un entier naturel le plus petit possible.
Méthode de simplification : Simplifions = √450
• On décompose 450 sous la forme d’un produit dont l’un
des facteurs est le plus grand carré d’entier possible.
• On applique la propriété : √ × = √ ×√ .
• On applique la propriété ; Si
Exemples :
= .
≥ 0, alors √
est un nombre relatif
450 = 3×150 = 3×2×75 = 3×2×3×25
= 2×3 ×5 = 2×(3×5) = 2×15
= √2×15 = √2×√15
√15 = 15 d’où = 15√2.
= √650 = √26×25 = √26×√25 = 5√26
= √45 = √9×5 = √9×√5 = 3√5
= √54 = √3×18 = √3×3×6 = √3×√3×√6 = 3√6
= √112 = √2×56 = √2×8×7 = √16×7 = √16×√7 = 4√7
5. Ecrire une fraction sans radical au dénominateur
Méthode : Soit
Exemples :
=
√
où
et sont des nombres relatifs non nuls et est un nombre strictement positif.
Pour écrire
sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √ .
On obtient
= × ×
√ √
=
=
=
=
√
√
√
√
√
×√
=
×√
.
×
√
√
=
×
×
√ √
√
√
=
=
√ ×√
√
√
=
=
√ ×√
√ ×√
√ ×
=
=
×
√ ×√
=
=
=
√
√
×
=
√