1. Notion de racine carrée 2. Equation du type =

1. Notion de racine carrée
Définition :
Soit  un nombre positif.
On appelle racine carrée de , notée √, le seul nombre positif dont le carré est égal à , c’est-à-dire tel que
√=.
Remarque : Le symbole « √ » se nomme radical.
Exemples : √36 existe car 36 est positif. Et √36=6 car 6≥0 et 6= 36.
√1 existe car 1 est positif. Et √1= 1 car 1≥ 0 et 1=1.
√0 existe car 0 est positif. Et √0= 0 car 0≥ 0 et 0=0.
Propriété : (Admise)
Si  est un nombre positif, alors √=.
Exemples : √2=2 ; √5=5 ; 3,8=3,8
Propriété : (Admise)
Si  est un nombre négatif, alors √=−.
Exemples : (−2)=2=−(−2) ; (−5)=5= −(−5) ; (−3,8)=3,8=−(−3,8)
Racines carrées à connaître par cœur :
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
√
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. Equation du type =
Propriétés : (Admises)
Soit  un nombre.
• Si  >0, alors l’équation =  admet deux solutions : √ et −√ .
• Si  = 0, alors l’équation =  admet une unique solution : 0.
• Si  <0, alors l’équation =  n’admet pas de solution.
Exemples : = 25. Donc  = 5 ou  =−5.
= 3. Donc  = √3 ou  =−√3 .
= −2. Cette équation n’a pas de solution.

3.
Opérations sur les racines carrées
Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) :
Pour tous nombres positifs  et , on a : √× = √×√.
Autrement dit, « la racine carrée d’un produit est égale au produit des racines carrées ».
Exemples : √25×9=√25×√9=5×3= 15 ; √2×√18=√2×18= √36 = 6
Propriété (Démontrée dans l’activité 3 page 81) :
Pour tous nombres positifs  et  tels que  est non nul, on a : 
=√
√.
Autrement dit, « la racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées ».
Exemples : 
 =√
√ =
 ; √
√=
 =√25= 5
Remarque importante : Il n’existe pas de règle pour simplifier des sommes ou des différences de racines carrées.
Exemples : √16+√9= 4 + 3 = 7 et √16+9= √25 = 5. Donc √16+√9 ≠√16 + 9.
√400−√256=20−16 = 4 √400−256 = √144 =12 √400−√256 ≠√400 − 256
4. Simplification de racines carrées
Définition :
Simplifier une racine carrée consiste à écrire cette racine carrée sous la forme √ a , où  est un nombre relatif
et  un entier naturel le plus petit possible.
Méthode de simplification : Simplifions =√450
•
On décompose 450 sous la forme d’un produi
t dont
l’un
des facteurs est le plus grand carré d’entier possible.
450
=
3
×
150
=
3
×
2
×
75
=
3
×
2
×
3
×
25
=
2
×
3
×
5
=
2
×
(
3
×
5
)
=
2
×
15
•
On applique la propriété
:
√
×
=
√
×
√
.
=
√
2
×
15
=
√
2
×
√
15
•
On applique la propriété
; Si
≥
0
, alors
√
=
.
√
15
=
15
d’où
=
15
√
2
.
Exemples : =√650 = √26×25=√26×√25=5√26
 = √45 = √9×5= √9×√5= 3√5
 =√54= √3×18 =√3×3×6=√3×√3×√6= 3√6
 = √112 = √2×56= √2×8×7 =√16×7 = √16×√7=4√7
5. Ecrire une fraction sans radical au dénominateur
Méthode : Soit = 
√ où  et  sont des nombres relatifs non nuls et  est un nombre strictement positif.
Pour écrire  sans radical au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √.
On obtient  = ×√
×√×√=×√ × .
Exemples :  =
√=√ √×√= √ × = √
 =
√ = √ √×√=√
 =
√=√ √×√=√
 =√
√=√×√ √×√=√× × =√ × =√