Alg`ebres de Banach - IMJ-PRG

Géométrie Non Commutative
2015
Algèbres de Banach
1. Groupes et algèbres de Banach
Soit Γ un groupe discret dénombrable.
a) Montrer que l1 (Γ) muni du produit de convolution est une algèbre de Banach
unifère. Montrer que l1 (Γ) est commutative si et seulement Γ est abélien.
b l’ensemble des morphismes de
On suppose désormais que Γ est abélien. Soit Γ
1
b de la topologie de la convergence simple et de
groupes de Γ dans S . On munit Γ
la structure de groupe évidente.
b est un groupe compact abélien.
b) Montrer que Γ
b Quelle est la transformée de Gelfand ?
c) Montrer que Sp(l1 (Γ)) = Γ.
2. Continuité automatique
Soit A une algèbre de Banach unifère et commutative. Le radical de A, noté rad(A), est
l’intersection des idéaux maximaux de A. On dit que A est semi-simple si rad(A) = 0.
La transformée de Gelfand est donc un isomorphisme sur son image si et seulement si A
est semi-simple.
Montrer que si π : B → A est un morphisme d’une algèbre de Banach commutative B
vers une algèbre de Banach commutative semi-simple A, alors π est continu.
3. Théorème de Gelfand-Mazur dans le cas réel
Soit A une algèbre de Banach unifère réelle.
a) Montrer que pour tout x ∈ A, il existe deux nombres réels a et b tels que (x−a)2 +b2
ne soit pas inversible dans A.
On suppose désormais que tout élément non nul de A est inversible.
b) Montrer que si l’application a ∈ R 7→ a1 ∈ A n’est pas surjective, alors il existe un
élément i ∈ A tel que i2 = −1.
c) Montrer que si x ∈ A satisfait ix = xi alors il existe a, b ∈ R tels que x = a+ib .
d) Posons C = {x ∈ A, ix = xi} et D = {x ∈ A, ix = −xi}. Montrer que C ⊕D = A.
On suppose D 6= {0}. Soit y ∈ D − {0}. Montrer que D = yC.
e) En déduire que A est de dimension réelle 1, 2 ou 4 et par conséquent, isomorphe
(en tant qu’algèbre de Banach) à R, C ou au corps des quaternions H.
4. Groupe des inversibles et logarithme
Soit A une algèbre de Banach unifère G = A−1 le groupe des éléments inversibles de A
et G1 la composante connexe de 1 dans G.
a) Montrer que G1 est le sous-groupe de G engendré par exp(A) := {exp(a), a ∈ A}.
1
b) Montrer que si A est commutative alors G1 = exp(A) et tout élément de G/G1 est
d’ordre infini (sauf 1).
c) Soit x ∈ G. Montrer que x est de la forme exp(a), si et seulement s’il existe un
sous-groupe connexe commutatif de G contenant x.
5. Le spectre en fonction de l’algèbre
a) Soit D = {z ∈ C : |z| < 1}. Soit A = C(∂D) et B ⊂ A la fermeture uniforme des
polynômes dans C(∂D). Montrer que SpA (z) = ∂D et SpB (z) = D.
Le but de cet exercice est de généraliser le résultat précédent. Soit X un ensemble
et f : X → C. On note ||f ||X = sup{|f (x)| : x ∈ X}. Lorsque K est un compact
de C on définit l’enveloppe convexe polynomiale de K par :
b = {z ∈ C : |p(z)| ≤ ||p||K pour tout polynôme p}.
K
Il est évident que l’enveloppe convexe polynomiale de ∂D est D.
Si K ⊂ C est compact, alors C − K a un nombre dénombrable de composantes
connexes, une seule d’entre elles est non-bornée. Les composantes bornées sont
appelées les trous de K.
Soient A une algèbre de Banach unifère et B ⊂ A une sous-algèbre de Banach
ayant la même unité. Soit a ∈ B. Montrer que :
b) SpA (a) ⊂ SpB (a) et ∂SpB (a) ⊂ ∂SpA (a) ;
\
\
c) Sp
A (a) = SpB (a) ;
d) Si G est un trou de SpA (a), alors soit G ⊂ SpB (a) soit G ∩ SpB (a) = ∅ ;
\
e) Si B est la fermeture dans A de tous les polynômes en a, alors SpB (a) = Sp
A (a)
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