Alg`ebres de Banach - IMJ-PRG

G´eom´etrie Non Commutative 2015
Alg`ebres de Banach
1. Groupes et alg`ebres de Banach
Soit Γ un groupe discret d´enombrable.
a) Montrer que l1(Γ) muni du produit de convolution est une alg`ebre de Banach
unif`ere. Montrer que l1(Γ) est commutative si et seulement Γ est ab´elien.
On suppose d´esormais que Γ est ab´elien. Soit
b
Γ l’ensemble des morphismes de
groupes de Γ dans S1. On munit
b
Γ de la topologie de la convergence simple et de
la structure de groupe ´evidente.
b) Montrer que
b
Γ est un groupe compact ab´elien.
c) Montrer que Sp(l1(Γ)) =
b
Γ. Quelle est la transform´ee de Gelfand ?
2. Continuit´e automatique
Soit Aune alg`ebre de Banach unif`ere et commutative. Le radical de A, not´e rad(A), est
l’intersection des id´eaux maximaux de A. On dit que Aest semi-simple si rad(A) = 0.
La transform´ee de Gelfand est donc un isomorphisme sur son image si et seulement si A
est semi-simple.
Montrer que si π:B→Aest un morphisme d’une alg`ebre de Banach commutative B
vers une alg`ebre de Banach commutative semi-simple A, alors πest continu.
3. Th´eor`eme de Gelfand-Mazur dans le cas r´eel
Soit A une alg`ebre de Banach unif`ere r´eelle.
a) Montrer que pour tout x∈A, il existe deux nombres r´eels aet btels que (x−a)2+b2
ne soit pas inversible dans A.
On suppose d´esormais que tout ´el´ement non nul de Aest inversible.
b) Montrer que si l’application a∈R7→ a1∈An’est pas surjective, alors il existe un
´el´ement i∈Atel que i2=−1.
c) Montrer que si x∈Asatisfait ix =xi alors il existe a, b ∈Rtels que x = a+ib .
d) Posons C={x∈A, ix =xi}et D={x∈A, ix =−xi}. Montrer que C⊕D=A.
On suppose D6={0}. Soit y∈D− {0}. Montrer que D=yC.
e) En d´eduire que Aest de dimension r´eelle 1, 2 ou 4 et par cons´equent, isomorphe
(en tant qu’alg`ebre de Banach) `a R,Cou au corps des quaternions H.
4. Groupe des inversibles et logarithme
Soit Aune alg`ebre de Banach unif`ere G=A−1le groupe des ´el´ements inversibles de A
et G1la composante connexe de 1 dans G.
a) Montrer que G1est le sous-groupe de Gengendr´e par exp(A) := {exp(a), a ∈A}.
1

b) Montrer que si Aest commutative alors G1= exp(A) et tout ´el´ement de G/G1est
d’ordre infini (sauf 1).
c) Soit x∈G. Montrer que xest de la forme exp(a), si et seulement s’il existe un
sous-groupe connexe commutatif de Gcontenant x.
5. Le spectre en fonction de l’alg`ebre
a) Soit D={z∈C:|z|<1}. Soit A=C(∂D) et B⊂Ala fermeture uniforme des
polynˆomes dans C(∂D). Montrer que SpA(z) = ∂Det SpB(z) = D.
Le but de cet exercice est de g´en´eraliser le r´esultat pr´ec´edent. Soit Xun ensemble
et f:X→C. On note ||f||X= sup{|f(x)|:x∈X}. Lorsque Kest un compact
de Con d´efinit l’enveloppe convexe polynomiale de Kpar :
b
K={z∈C:|p(z)| ≤ ||p||Kpour tout polynˆome p}.
Il est ´evident que l’enveloppe convexe polynomiale de ∂Dest D.
Si K⊂Cest compact, alors C−Ka un nombre d´enombrable de composantes
connexes, une seule d’entre elles est non-born´ee. Les composantes born´ees sont
appel´ees les trous de K.
Soient Aune alg`ebre de Banach unif`ere et B⊂Aune sous-alg`ebre de Banach
ayant la mˆeme unit´e. Soit a∈B. Montrer que :
b) SpA(a)⊂SpB(a) et ∂SpB(a)⊂∂SpA(a) ;
c) \ SpA(a) = \ SpB(a) ;
d) Si Gest un trou de SpA(a), alors soit G⊂SpB(a) soit G∩SpB(a) = ∅;
e) Si Best la fermeture dans Ade tous les polynˆomes en a, alors SpB(a) = \ SpA(a)
2