( )2

TS Exercices sur les dérivées
1 Écrire une équation de la tangente T à la courbe représentative C de la fonction f au point A d’abscisse a.
1°)
2
2 5 1
f x x x
sur  ;
– 2
a
.
2°)
2 1
3
x
f x x sur
\ 3
;
1
a
.
2 On considère la fonction f : x 
1
x
x
définie sur * et l’on note C sa courbe représentative dans le plan
muni d’un repère
O, ,
i j
.
Soit T la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 2.
1°) Écrire une équation de T.
2°) À l’aide d’une étude de signe, étudier la position de C par rapport à T.
Vérifier graphiquement en traçant C à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel de tracé de courbes.
3 Dans chaque cas, calculer
'
f x
.
a.
2
3 7 1
4
x x
f x x  b.
2
4
1
f x x
4 Dans chaque cas, calculer
'
f x
(résultat sous forme factorisée).
a.
4
2
2
f x x x
  b.
5
1 3
f x x
  c.
3
21
f x x x
d.
2 3
3 1 1 2
f x x x
   e.
2
2
1
x
f x x
f.
5
3cos
f x x
Pour la dérivée du d., la forme factorisée attendue pour
'
f x
est un produit de facteurs du premier degré.
Cette forme est utile si l’on s’en servait dans la suite.
5 Dans chaque cas, calculer
'
f x
.
a.
3
1
1 2
f x
x
b.
2
2
1
1
f x x
c.
4
2
3 1
f x x
d.
2
3
1
x
f x x
6 Dans chaque cas, calculer
'
f x
pour
I
x
(l’intervalle I est précisé à chaque fois).
a.
2
2
f x x x
I 0;
b.
2
1
f x x x
I
c. 4
f x x x
I ; 4
d.
1
1
x
f x
x
I –1;1
e.
2
1
x
f x x
I
7 On note C la courbe d’équation
2
1
y
x
 dans le plan muni d’un repère
O, ,
i j
.
Écrire une équation de la tangente T à C au point
0
M
d’abscisse
*
0
x
.
8 Soit ABC un triangle isocèle en A dont le périmètre est égal à 20.
On pose BC
x
0
x .
Faire une figure.
1°) Démontrer que l’aire du triangle ABC est égale à
100 10
2
x
x
 avec
0 10
x
.
2°) Étudier les variations de la fonction f : x 
100 10
2
x
x
 sur l’intervalle
0;10
.
En déduire pour quelle valeur de x l’aire de ABC est maximale.
9 On note C la courbe d’équation 3
3 1
y x x
dans le plan muni d’un repère
O, ,
i j
.
1°) Existe-t-il des tangentes à C parallèles à la droite D d’équation
3
y x
?
2°) Existe-t-il des tangentes à C passant par le point I(2 ; – 5) ?

10 Le plan est muni d’un repère orthonormé
O, ,
i j
.
Le point P appartient au quart de cercle C de centre O, de rayon 4 et d’extrémités A et B.
On construit le rectangle ONPM où M appartient à [OA] et N à [OB].
Reproduire la figure ci-dessous.
OA
BC
P
N
M
1°) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer la position de P pour laquelle ONPM a une aire
maximale.
2°) a) On pose
OM
x
.
À quel intervalle I appartient x ?
b) Démontrer que l’aire de ONPM est
2
( ) 16
x x x
A.
c) Étudier les variations de la fonction A sur I.
d) Démontrer la conjecture émise à la question 1°).
11 Calculer la dérivée de la fonction f : x  sin 4x.
12 On considère la fonction f : x 
2 1
3
x
x
.
Calculer, pour
3
x ,
'
f x
,
''
f x
,
(3)
f x
,
(4)
f x
.
Ne pas développer les dénominateurs.
i
j

Corrigé
1 Équations de tangentes
1°)
2
2 5 1
f x x x
Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse
– 2
a
.
x
' 4 5
f x x
2
2 2 2 5 2 1 19
f
' 2 13
f
T a pour équation
' 2 2 2
y f x f soit
–13 – 7
y x
.
2°)
2 1
3
x
f x x
Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse
1
a
.
\ 3
x 
2
7
'
3
f x x
3
1
2
f
7
' 1
4
f
T a pour équation
' 1 1 1
y f x f
   soit
7 1
4
x
y .
On vérifie ces équations sur la calculatrice graphique (commande spéciale pour tracer une tangente).
2
f : x 
1
x
x
*
f
D
C : courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère
O, ,
i j
T : tangente à la courbe C au point A d’abscisse 2
1°) Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse
1
a
.
*
x 
2
1
' 1f x
x
3
2
2
f
5
' 2
4
f
T a pour équation
' 2 2 2
y f x f   soit 5
1
4
y x
.
On peut vérifier cette équation grâce à la calculatrice.
2°) Étudions la position de C par rapport à T.
Pour cela, étudions le signe de
5
1
4
g x f x x .
5
1
4
g x f x x
1 5
1
4
x x
x
1
1
4
x
x
2
4 4
4
x x
x
2
2
4
x
x
; 0
x   
0
g x donc C est strictement au-dessus de T sur
; 0
  .
0 ; 2 2 ; 
x
0
g x donc C est strictement au-dessous de T sur 0 ; 2 2; .
 C et T sont sécantes au point d’abscisse 2.
x –  0 2 + 
Signe de
2
2
x 
– – 0 –
Signe de 4x – 0 + +
Signe de
g x
+
– 0 –

On vérifie graphiquement en traçant C et la tangente T à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel de
tracé de courbes.
3 Calculs de dérivées
Rappel : On ne développe jamais le dénominateur d’une dérivée.
a.
2
3 7 1
4
x x
f x
x
f est dérivable sur  \ { 4 } comme fonction rationnelle.
 x   \ { 4 }
2
2
6 7 4 3 7 1 1
'( ) 4
x x x x
f x x  (on laisse la trace de la formule utilisée)
2
2
3 24 27
4
x x
x
On peut éventuellement mettre 3 en facteur au numérateur mais ce n’est pas très utile.
b.
2
4
1
f x x
f est dérivable sur  comme fonction rationnelle.
x
2
1
4
1
f x x (principe de réécriture, préalable au calcul de la dérivée)
x
2
2
8
'
1
x
f x x
 (principe de « sous-dérivée »)
On ne développe jamais le dénominateur d’une dérivée.
Pour le a., il n’est pas intéressant de chercher à factoriser le numérateur.
On peut dire qu’une fonction polynôme ou rationnelle est toujours infiniment dérivable sur son ensemble de
définition.
4 Calculs de dérivées
On applique la formule
1
' '
n n
u nu u
.
a.
4
22
f x x x
x
3
2
' 4 2 2 2
f x x x x
3
2
8 1 2
x x x
b.
5
1 3
f x x
x
4
' 5 3 1 3
f x x
4
15 1 3
x
c.
3
21
f x x x
x
3 2
2
' 2 1 3 1 1
f x x x x x
        (formule de la dérivée d’un produit et sous-dérivée)
3 2
2
2 1 3 1
x x x x
2
1 2 1 3
x x x x
2
1 2 5
x x x
d.
2 3
3 1 1 2
f x x x
x
3 2 2
' 2 3 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1
f x x x x x
3 2 2
6 3 1 1 2 6 1 2 3 1
x x x x
2
6 3 1 1 2 1 2 3 1
x x x x
2
6 3 1 1 2 2 5
x x x
e.
2
2
1
x
f x x
 x   \ { 1 }
1
2
1 2
2
' 2
1
1
x x x
f x x
x
2
3 2
2
1
1
x
x
x
3
2
6
1
x
x

f.
5
3cos
f x x
5
3 cos
f x x
x
4
' 3 5 sin cos
f x x x
4
15sin cos
x x
On vérifie tous les résultats à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
5 Calculs de dérivées
On applique la formule
1
1 '
'
n n
nu
u u
  .
Pour chaque calcul, on utilise le principe de « sous-dérivée ».
a.
3
1
1 2
f x
x
1
\
2
x
4
3 2
'1 2 f x
x
4
6
1 2
x
b.
2
2
1
1
f x x
 x   \ { 1 ; – 1}
2
2
2 2
'
1
x
f x x
 x   \ { 1 ; – 1}
2
2
4
'
1
x
fx x 
c.
4
2
3 1
f x x
On « démembre » préalablement l’expression de f :
4
1
2
3 1
f x x    pour ne pas appliquer la formule de
dérivation d’une fonction de la forme
u
v
(néanmoins, si l’on applique la formule, on retrouverait bien sûr le
même résultat, les calculs seraient juste un peu plus longs).
 x   \
1
3
5
4 3
' 2
3 1
f x x
5
24
3 1
x
d.
2
3
1
x
f x x
On effectue la réécriture du quotient en produit qui va faciliter le calcul de la dérivée (on dérive comme un
produit).
On évite de dériver f comme un quotient.
 x   \ { 1 }
2
3
1
1
f x x x
 x   \ { 1 }
2
3 4
1 3 1
' 2 1 1 f x x x
x x
2
4
2 1 3
1
x x x
x
2
4
2
1
x x
x
On retiendra la réécriture :
22
3 3
1
1 1
xx
x x   pour des dérivées de fonctions du type
n
u
v
.
On vérifie tous les résultats à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
6 Calculs de dérivées
Les expressions de toutes les fonctions de cet exercice comportent des racines carrées.
Ce sont des fonctions irrationnelles.
Note sur les intervalles :
Les intervalles donnés sont tels que le radicande soit strictement positif.
On peut le vérifier aisément.
Du coup, on peut appliquer la formule de dérivation d’une fonction de la forme
u
.