( )2

TS
6 Dans chaque cas, calculer f '  x  pour x  I (l’intervalle I est précisé à chaque fois).
Exercices sur les dérivées
a. f  x   x 2  2 x
1 Écrire une équation de la tangente T à la courbe représentative C de la fonction f au point A d’abscisse a.
1°) f  x   2 x 2  5x  1 sur  ; a  – 2 .
2°) f  x  
1
2 On considère la fonction f : x  x  définie sur * et l’on note C sa courbe représentative dans le plan
x
 
muni d’un repère O, i, j .


Soit T la tangente à la courbe C au point A d’abscisse 2.
1°) Écrire une équation de T.
2°) À l’aide d’une étude de signe, étudier la position de C par rapport à T.
Vérifier graphiquement en traçant C à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel de tracé de courbes.
3 Dans chaque cas, calculer f '  x  .
a. f  x  
 3x 2  7 x 1
x4
b. f  x   


2
4
d. f  x    3x  1 1  2 x 
b. f  x   1  3 x 
3
I
c. f  x   x 4  x
I    ; 4
5
 x2
e. f  x   

 x 1 
e. f  x  
1 x
1 x
x
x2  1
I   – 1;1
I
 
1
dans le plan muni d’un repère O, i, j .
2
x
Écrire une équation de la tangente T à C au point M 0 d’abscisse x0  * .

7 On note C la courbe d’équation y 
8 Soit ABC un triangle isocèle en A dont le périmètre est égal à 20.
On pose BC  x  x  0  .
1°) Démontrer que l’aire du triangle ABC est égale à
x
100  10 x avec 0  x  10 .
2
x
100  10 x sur l’intervalle  0 ;10 .
2
En déduire pour quelle valeur de x l’aire de ABC est maximale.
2°) Étudier les variations de la fonction f : x 
c. f  x   x 2 1  x 
3
2
f. f  x   3cos5 x
 
9 On note C la courbe d’équation y  x 3  3x  1 dans le plan muni d’un repère O, i , j .

1°) Existe-t-il des tangentes à C parallèles à la droite D d’équation y  3x ?
2°) Existe-t-il des tangentes à C passant par le point I(2 ; – 5) ?
Pour la dérivée du d., la forme factorisée attendue pour f '  x  est un produit de facteurs du premier degré.
Cette forme est utile si l’on s’en servait dans la suite.
5 Dans chaque cas, calculer f '  x  .
a. f  x  
b. f  x  
c. f  x  
d. f  x  
1
1  2 x 
1
3
x
2
2

1
2
 3x  1
x2
 x  13
4

Faire une figure.
4
x 1
2
4 Dans chaque cas, calculer f '  x  (résultat sous forme factorisée).
a. f  x   x 2  2 x
b. f  x   x x 2  1
d. f  x  
2x 1
sur  \  3  ; a  1 .
x 3
I   0 ;  

 
10 Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j .


Le point P appartient au quart de cercle C de centre O, de rayon 4 et d’extrémités A et B.
On construit le rectangle ONPM où M appartient à [OA] et N à [OB].
Reproduire la figure ci-dessous.
B
C
P
N

j
O

i
M A
1°) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturer la position de P pour laquelle ONPM a une aire
maximale.
2°) a) On pose x  OM .
À quel intervalle I appartient x ?
b) Démontrer que l’aire de ONPM est A ( x)  x 16  x 2 .
c) Étudier les variations de la fonction A sur I.
d) Démontrer la conjecture émise à la question 1°).
11 Calculer la dérivée de la fonction f : x  sin 4x.
2x 1
.
x 3
Calculer, pour x   3 , f '  x  , f ''  x  , f (3)  x  , f (4)  x  .
Ne pas développer les dénominateurs.
12 On considère la fonction f : x 
1°) Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse a  1 .
Corrigé
x  * f '  x   1 
1 Équations de tangentes
1
x2
3
2
5
f '2 
4
f  2 
1°) f  x   2 x 2  5 x  1
Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse a  – 2 .
x   f '  x   4 x  5
T a pour équation y  f '  2  x  2   f  2  soit y 
5
x 1 .
4
2
f   2   2    2   5    2   1  19
On peut vérifier cette équation grâce à la calculatrice.
f '   2    13
2°) Étudions la position de C par rapport à T.
T a pour équation y  f '   2  x  2   f   2  soit y  – 13x – 7 .
2x  1
x3
Déterminons une équation de la tangente T à C au point A d’abscisse a  1 .
2°) f  x  
x   \  3  f '  x   
7
 x  3
2
3
2
7
f ' 1  
4
f 1  
5

Pour cela, étudions le signe de g  x   f  x    x  1 .
4

5

g  x   f  x    x  1
4

1 5
 x   x 1
x 4
x 1
   1
4 x
 x2  4x  4

4x

T a pour équation y  f ' 1 x  1  f 1 soit y 
 7x 1
.
4
  x  2
2
4x
x
–
Signe de   x  2 
0
2
–
+
2
–
0
–
On vérifie ces équations sur la calculatrice graphique (commande spéciale pour tracer une tangente).
Signe de 4x
Signe de g  x 
2
f :xx
1
x
 x    ; 0
Df  *
C
–
 
: courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère O, i, j
T : tangente à la courbe C au point A d’abscisse 2


g  x   0 donc
+
C
0
+
+
–
0
–
est strictement au-dessus de T sur   ; 0 .
 x  0 ; 2  2 ;   g  x   0 donc C est strictement au-dessous de T sur 0 ; 2  2 ;   .
 C et T sont sécantes au point d’abscisse 2.
On vérifie graphiquement en traçant C et la tangente T à l’aide d’une calculatrice graphique ou d’un logiciel de
tracé de courbes.
 
On applique la formule u n '  nu ' un1 .
3 Calculs de dérivées

a. f  x   x 2  2 x
Rappel : On ne développe jamais le dénominateur d’une dérivée.
a. f  x  
x  
 3 x2  7 x  1
x4
f '( x ) 

4

f '  x   4  2 x  2  x2  2x

 8  x  1 x 2  2 x
f est dérivable sur  \ { 4 } comme fonction rationnelle.
x \{4}
4 Calculs de dérivées
  6 x  7  x  4     3 x 2  7 x  1 1
 x  42
b. f  x    1  3 x 
(on laisse la trace de la formule utilisée)
x  

3

3
5
f '  x   5    31  3x 
  15 1  3x 
4
4
2

 3 x  24 x  27
 x  4 2
On peut éventuellement mettre 3 en facteur au numérateur mais ce n’est pas très utile.
b. f  x   
c. f  x   x 2  1  x 
x  
3
f '  x   2 x 1  x   x 2  3    1  1  x 
3
(formule de la dérivée d’un produit et sous-dérivée)
2
2
f  x   4 
f ' x 
2
 x 1  x   2 1  x   3 x 
2
 x 1  x   2  5 x 
1
2
x 1
2
(principe de réécriture, préalable au calcul de la dérivée)
d. f  x    3 x  1   1  2 x 
x  
x  
2
 2 x 1  x   3x 1  x 
4
x 1
2
f est dérivable sur  comme fonction rationnelle.
x  
3
8x


x2  1
2
3
2
f '  x   2  3   3 x  11  2 x   3    2   1  2 x    3x  1
3
(principe de « sous-dérivée »)
2
 6   3 x  11  2 x   6 1  2 x    3x  1
2
 6  3 x  11  2 x  1  2 x    3 x  1 
2
On ne développe jamais le dénominateur d’une dérivée.
 6  3 x  11  2 x   2  5 x 
Pour le a., il n’est pas intéressant de chercher à factoriser le numérateur.
On peut dire qu’une fonction polynôme ou rationnelle est toujours infiniment dérivable sur son ensemble de
définition.
3
 x2
e. f  x   

 x 1 
x \{1}
2
f ' x  2
 x  1   x  2    x  2 1


 x 1 
 x  12

3  x2

 2 
  x  1 2  x  1


x2
  6
 x  13
2
2
f. f  x   3cos 5  x 

43 

f '  x   2  
5
  3 x  1 
24

3x  15
 1
x \   
 3
5
f  x   3  cos x 
x  
f '  x   3  5    sin x    cos x 
4
  15sin x  cos 4 x
d. f  x  
On vérifie tous les résultats à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
x2
 x  1
3
On effectue la réécriture du quotient en produit qui va faciliter le calcul de la dérivée (on dérive comme un
produit).
On évite de dériver f comme un quotient.
5 Calculs de dérivées
1
nu '
 1 
On applique la formule  n  '   n1 .
u
u
 
x \{1}
f  x   x2 
Pour chaque calcul, on utilise le principe de « sous-dérivée ».
x \{1}
f ' x  2x 
a. f  x  
1
1  2 x 3
1 
x   \  
2

f ' x 

b. f  x  
1  2x 
6

4
x
2
1

3 1 

 x2   
  x  14 
 x  1


2 x  x  1  3 x 2
2
f ' x  
 x   \ { 1 ; – 1}
f ' x  
2  2x

2
 x 1
2

x 2 1
3
 x2  2x
 x  14
4x
2
x2
3
 x  1
 x2 
1
 x  1
3
pour des dérivées de fonctions du type
On vérifie tous les résultats à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
6 Calculs de dérivées
Les expressions de toutes les fonctions de cet exercice comportent des racines carrées.
Ce sont des fonctions irrationnelles.
2
 3 x  1
1
 x  1 4
On retiendra la réécriture :

3
1  2x 4
1
 x   \ { 1 ; – 1}
c. f  x  
 3   2
 x  1
4
On « démembre » préalablement l’expression de f : f  x   2 
1
 3 x  1
4
pour ne pas appliquer la formule de
u
(néanmoins, si l’on applique la formule, on retrouverait bien sûr le
v
même résultat, les calculs seraient juste un peu plus longs).
dérivation d’une fonction de la forme
Note sur les intervalles :
Les intervalles donnés sont tels que le radicande soit strictement positif.
On peut le vérifier aisément.
Du coup, on peut appliquer la formule de dérivation d’une fonction de la forme
u.
u
.
vn
d. f  x  
Note (28-9-2015) :
1 x
1 x
I   – 1 ;1
a) On ne cherche pas à enlever les racines au dénominateur.
b) On applique la formule
 u  '  2u 'u .
1  1  x   1  x     1
x  I
x  I
x2  2 x
f ' x 

1 x
1 x
2
1


2
1  x  2 1  x
1 x
1

1 x
1  x  2
1 x
I  0 ;  
2x  2
2 x2  2x
x 1

I
f '  x   1 x  1  x 
 x2 1 
1 x
1 x
x
Pour passer de l’avant-dernière ligne, on utilise l’égalité :
2 x2  1
2
b
a
(pour a  0 et b  0 ).
x2 1
2x 1

2
x 1
c. f  x   x 4  x
1

a
b
Démonstrations :
2
x  I

2x
2

1
1  x  2
x2  2 x
b. f  x   x x 2  1
x  I
2
2
c) Dans chaque cas, l’intervalle I a été donné de telle sorte que le radicande soit strictement
positif.
a. f  x  
1  x 
f ' x 
I    ; 4

1

f '  x   1 4  x  x   

2
4

x


x
 4 x 
2 4 x
2 4  x  x

2 4 x
8  3x

2 4 x
1

a
b
1

a
b
1
b
 1 
a
a
b
b
a
 Autre démonstration
1
1
b
b



a
a
a
a
b
b
 Autre démonstration possible avec la puissance
1
2
Remarques :
1
b
est encore valable pour a  0 et b  0 .

a
a
b
La première démonstration est la meilleure car elle est valable pour a  0 et b  0 ce qui n’est pas le cas des
deux autres.
L’égalité
e. f ( x ) 
x
8
I
2
x 1
1 x 2  1  x 
x  I
f ' x 

x2  1
Il s’agit d’un problème d’optimisation.
Un problème d’optimisation est un problème où l’on cherche à maximiser ou à minimiser une grandeur
mathématique ou physique (longueur, périmètre, aire, volume, angle, temps…).
2x
2 x2  1

2
BC  x
(on applique la formule de dérivation d’une fonction de la forme
x2  1
x2  1
1

7
C
: y
A
x2
x2 1 

On commence par faire une figure codée.
u
)
v
 x  1
2
x2  1
1
x2
Écrivons une équation de la tangente T à C au point M 0 d’abscisse x0  * .
T a pour équation y  
2
 x0 
3
 x  x0  
1
 x0 
2
soit y  
On pourrait introduire la fonction f : x 
2x
 x0 
3

2
 x0 
2

1
 x0 
2
ou encore y  
2x
 x0 
3

B
3
 x0 
2
1
2
. On a : f '  x    3 (formule du cours :
x2
x
n
 1 
 n  '   n 1 ).
x
x 
Nous ne l’avons pas fait pour ne pas alourdir inutilement la rédaction.
I
.
1°) Démontrons que A ABC 
x
100  10 x .
2
On va commencer par expliquer pourquoi x  10 .
Notons I le milieu de [BC].
I est aussi le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Le triangle AIB est rectangle en I.
On a : BI 
x
car I est le milieu de [BC].
2
PABC  AB  BC  CA
On sait que PABC  20 .
C
De plus, AB  AC donc AB  AC 
20  x
x
 10  .
2
2
La valeur d’annulation de 100  15x est
100 20
.

15
3
Or BI  BA .
Par conséquent,
x
x
x
 10  .
2
2
20
3
0
SGN de 100 – 15x
+
SGN de 2 100  10x
+
SGN de f '  x 
+
10
0
–
On en déduit que x  10 .
BC  AI
2
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle AIB rectangle en I, on a : AB2  AI 2  IB2 .
Par conséquent, AI 2  AB2  IB2
A ABC 
2
x x

 10     
2 2

400  40 x  x 2  x 2

4
 100  10x
0
0
–
 20 
f 
 3 
Variations de f
2
+
0
0
Déduisons-en pour quelles valeur de x l’aire du triangle ABC est maximale.
L’aire de ABC est maximale pour x 
D’où AI  100  10x .
20
.
3
9
A ABC 
x  100  10 x
2
C
2°) Étudions les variations de la fonction f : x 
 x  [0 ; 10]
f  x 
x
100  10 x sur l’intervalle [0 ; 10].
2
1
x 100  10 x
2
f est dérivable sur  0 ; 10 .
x   0 ;10
1
10

f '  x    100  10 x  x 

2
2 100  10 x 


1
5x
100  10 x 
2
2 100  10 x
100  15 x
2 100  10 x
On dresse le tableau de variations de f sur l’intervalle  0 ;10 .
: y  x3  3 x  1
1°) Existe-t-il des tangentes à C parallèles à la droite D d’équation y  3 x ?
Le coefficient directeur de D vaut 3.
Or deux droites sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.
Le coefficient directeur de la tangente à C au point d’abscisse a est égal à 3a 2  3 (nombre dérivé en a de la
fonction x  x3  3x  1 ).
On cherche a tel que 3a 2  3  3 (1).
(1)  3a 2  6
 a2  2
 a  2 ou a   2
Donc la courbe C admet deux tangentes parallèles à D aux points d’abscisses
2 et  2 .
(autre rédaction : Il existe deux tangentes à C parallèles à D aux points d’abscisses
2 et  2 ).
On retiendra que pour ce type de question on n’a pas besoin d’une équation de la tangente.
On cherche les valeurs charnières.
2°) Existe-t-il des tangentes à C passant par le point I(2 ; – 5) ?

b) Démontrons que l’aire de ONPM est

La tangente Ta à C au point d’abscisse a a pour équation y  3a 2  3  x  a   a 3  3a  1 .


I  Ta  yI  3a 2  3  xI  a   a3  3a  1


16  x 2 .
A  x  x
A  x   OM  ON
On a : OM  x et ON  16  x2 (théorème de Pythagore).
  5  3a  3  2  a   a  3a  1
2
3
D’où
  2a 3  6a 2  0
A  x  x
16  x 2
 2 a 2   a  3  0
 a  0 ou a  3
c) Étudions les variations de la fonction A sur I.
est dérivable sur [0 ; 4[.
Donc la courbe C admet deux tangentes passant par I aux points A et B d’abscisses respectives 0 et 3.
A
La tangente en A a pour équation y  – 3x  1 .
La tangente en B a pour équation y  24x – 53 .
 x  [0 ; 4[
  2x
16  x 2  x  

2
 2 16  x
2
x
 16  x 2 
16  x 2
2
16  2 x

16  x 2
10 Problème d’optimisation (aire maximale)
B
C
x
P
N

j
O

i
0
+
16  x2
+
SGN de
4
2 2
SGN de 16  2x 2
SGN de
M A



A '  x   1
A '( x)
0
–
+
+
0
Il s’agit d’un problème de rectangle inscrit dans un quart de cercle.
On cherche la position de P sur le quart de cercle pour que l’aire de OMPN soit maximale.
0
–
8
Variations de A
1°) À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, conjecturons la position de P pour laquelle ONPM a
une aire maximale.
On trace le cercle C de centre O et de rayon 4.
On « crée » un point P sur le cercle C.
On crée les points M et N en traçant les parallèles aux axes passant par le point P.
On crée le polygone OMPN.
On demander que l’aire de ce polygone s’affiche.
On déplace ensuite le point P sur le quart de cercle et l’on observe comment varie l’aire de OMPN.
On peut penser que OMPN a une aire maximale lorsque P est le milieu du quart de cercle C .
0
A
0
2 2  8
d) Démontrons la conjecture émise à la question 1°).
Grâce au tableau de variation de la question précédente, on voit que l’aire de OMPN est maximale pour
x2 2.
2°) a) On pose x  OM .
x appartient à l’intervalle I   0 ; 4 .
On peut observer que lorsque x est égal à 0 ou à 4 on n’a pas un vrai rectangle (on a un rectangle « aplati »
d’aire nulle).

Dans ce cas, on a : OM  2 2 et ON  16  2 2

2
2 2.
On a donc OM  ON  2 2 .
OMPN est donc un rectangle qui admet deux côtés consécutifs de même longueur.
On en déduit que c’est un carré.


On a P 2 2 ; 2 2 donc P   avec  : y  x (première bissectrice du repère).
.
On en déduit que P est le milieu de l’arc AB
Commentaires :
12 Calculs de dérivées successives
Cet exercice n’a d’autre intérêt que de faire calculer des dérivées successives sans se poser la question de
l’utilité.
On verra cette année l’intérêt des dérivées successives à l’occasion de quelques exercices d’étude de fonctions,
essentiellement avec les dérivées seconde et troisième.
 x   \ {– 3} f  x  
 Ce problème sera repris ultérieurement lors des études des fonctions cosinus et sinus.
 (variable naturelle du problème).
Nous prendrons alors comme variable la mesure en radian de l’angle AOB
2x  1
x3
 Dérivée première :
 On peut également résoudre cet exercice en utilisant un « dérivé » de la règle du produit maximal.
Il s’agit d’un problème d’optimisation sous contrainte.
On pose OM  x et ON  y .
On a : x 2  y 2  16 (théorème de Pythagore).
L’aire de OMPN est égale à xy.
On cherche x et y pour que le produit xy soit maximal sous la contrainte x 2  y 2  16 .
On sait que le produit xy est maximal lorsque x  y .
 x   \ {– 3} f '  x  

2x  6  2x 1
 x  3
2
7
 x  3
2
 Dérivée seconde :
 Le tableau de variations de la question précédente permet de voir que l’aire de OMPNest maximale lorsque
x2 2.
Cette position correspond bien à celle qui avait été conjecturée dans la question 1°) lors des essais avec un
logiciel de géométrie dynamique.
 Nous reprendrons ce problème plus tard avec les fonctions trigonométriques.
11 Calculons la dérivée de la fonction f : x  sin 4x.
x  
f '  x   4cos 4 x (formule du cours)
On applique la formule du cours sur la « dérivée de u  ax  b  ».

2 
 x   \ {– 3} f ''  x   7   

3
  x  3 
14

3
 x  3
 Dérivée troisième :

3 
 x   \ {– 3} f  3  x    14   

4
  x  3  
42

4
 x  3
 Dérivée quatrième :
La dérivée de la fonction f : x  u  ax  b  est donné par : f '  x   a  u '  ax  b  .
On applique ce résultat à la fonction u : x  sin x. On sait que x   u '  x   cos x .

4 
 x   \ {– 3} f (4)  x   42   

5
  x  3 
168

5
 x  3