Mouvement des planètes et des satellites :

Mouvement des planètes et des satellites
L’objectif de cette étude est de calculer la vitesse et la période de satellites en mouvement circulaire
uniforme autour de l’astre attracteur et d’en déduire la masse de l’astre attracteur.
Document 1 : Interaction gravitationnelle et loi de la gravitation :
Dans le vide, deux corps A et B, séparées par une distance r = AB et de masses respectives m A et mB, sont
soumises à deux forces directement opposées, comme le montrent les schémas ci-dessous :
A
Expression des forces :
FB  A
FAB  FAB  G
F A B
m A . mB
r2
B
avec G = 6,61×10-11 SI.
Document 2 : Mouvement des planètes : Lois de Képler
« Johannes Kepler, né le 27 décembre 1571 à Weil der Stadt, près de Stuttgart
(Allemagne), mort le 15 novembre 1630 à Ratisbonne, est un astronome célèbre. Il a
étudié et confirmé l'hypothèse héliocentrique (la Terre tourne autour du Soleil) de Nicolas
Copernic. Il a également découvert que les trajectoires des planètes n’étaient pas des
cercles parfaits centrés sur le Soleil mais des ellipses. En outre, il a énoncé les lois (dites lois
de Kepler) qui régissent les mouvements des planètes sur leurs orbites. »
-
1ère loi de Képler :
Les planètes du système solaire décrivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil est un foyer.
-
2ème loi de Képler :
Le rayon SM balaye des aires égales pendant des durées
égales.
La vitesse d'une planète devient donc plus grande
lorsque la planète se rapproche du soleil. Elle est
maximale au voisinage du rayon le plus court (périhélie),
et minimale au voisinage du rayon le plus grand
(aphélie).
-
D
C
M
E
M
S
3ème loi de Képler :
Le carré de la période des objets en orbite est proportionnel au cube du demi grand axe de leur
trajectoire.
Remarque : Le demi grand axe d’un cercle correspond au rayon de ce cercle
F
Document 3 : Vitesse et accélération dans le cas des mouvements circulaires uniformes :
Pour décrire les vecteurs vitesse et accélération dans le cas des
mouvements circulaires et uniformes, on utilise ler repère de
Frénet : il s’agit d’un repère (G, t , n ) lié au solide en
mouvement : son origine coïncide donc avec le centre de gravité
G de l’objet en mouvement (à chaque instant), un des axes
correspond à la tangente à la trajectoire orienté dans le sens du
mouvement, le second correspond à la normale à la trajectoire
orienté vers « l’intérieur » de la courbure à la trajectoire
Dans ce repère :
- Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire t dirigé dans le
sens du mouvement ; ses coordonnées s’expriment :
vt  v
v
vn  0
-
Le vecteur accélération est radial (dirigé suivant le rayon) et centripète (vers le centre de la trajectoire) ;
ses coordonnées s’expriment :
dv
at 
dt
a
v2
an 
r
où v est la vitesse de l’objet à la position considérée et r est le rayon de la trajectoire
I.
Mouvement des satellites en mouvement circulaire
1. Vitesse du satellite
a. Faire le bilan des forces sur le satellite en mouvement circulaire. Faire un schéma de la situation.
b. En utilisant la 2ème loi de Newton, établir les coordonnées du vecteur accélération en fonction de G,
MT et r.
c. On propose trois trajectoires hypothétiques de satellite en mouvement circulaire uniforme autour de
la Terre.
Montrer que, seule, l'une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
d. En utilisant l’expression générale de l’accélération dans le repère de Frénet, montrer que la valeur v
de la vitesse d’un satellite en mouvement circulaire est constante (mouvement uniforme).
e. Exprimer cette vitesse v en fonction de r, G, MT, puis en fonction de v, RT et h, l’altitude de ce
satellite.
f. Pourquoi cette expression permet d’expliquer les phénomènes d’impesanteur observables dans la
station internationale en orbite autour de la Terre ?
2. Période d’un satellite
a. A partir de la définition générale de la vitesse, exprimer la période T du satellite en fonction de G, M T,
r ? (Plusieurs étapes attendues)
b. Vérifier la troisième loi de Kepler : le carré de la période des objets en orbite est proportionnel au
cube du demi grand axe de leur trajectoire.
3. Cas des satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire est toujours à la verticale d’un même point de la surface de la Terre. On
rappelle que le rayon de la Terre est RT=6380km.
a. Parmi les trajectoires possibles en 1.c, quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au
satellite géostationnaire ?
b. Déterminer la valeur de l’altitude h (à partir du niveau de la mer) à laquelle évolue ce satellite.
c. Quels genres de satellites sont géostationnaires ?
II.
Masse de Jupiter
Autour de la planète Jupiter gravitent des satellites naturels. Les quatre plus gros sont Io, Europe, Ganymède
et Callisto.
Dans un référentiel centré sur Jupiter supposé galiléen, on considère que le centre de chacun des satellites
est animé d'un mouvement circulaire uniforme autour du Centre J de Jupiter. Sur la figure 1 (ci-dessous), on
a représenté uniquement la trajectoire du centre d'inertie E d'Europe. Les trajectoires des autres satellites
appartiennent sensiblement à ce même plan qui contient aussi le centre T de la Terre.
Une revue d'astronomie a publié les courbes donnant les variations, en fonction du temps, de l'ordonnée y


de chacun des quatre satellites dans le repère orthonormé J ; i ; j lié au référentiel choisi. Les courbes ou
éphémérides obtenues entre le 21 avril 1997 à OO h OO et le 2 mai 1997 sont données en annexe 1
(document 1).
1. Sur la figure 1 ci-dessus, on a noté K, L, M et N les positions particulières d’Europe quand sa trajectoire
coupe les axes jx et jy. Sur le document 1 fourni en annexe 1 à rendre avec la copie, on a placé un point
K' qui correspond à un passage du satellite Europe au point K de sa trajectoire. Placer sur le document 1,
les points L', M' et N' qui correspondent respectivement aux passages successifs du satellite Europe par
les points L, M et N.
2. Sur cette courbe YE = f(t), quel couple de points permet de déterminer la demi-période de révolution du
satellite Europe. Donner sa période de révolution en jours.
3. De même, quel couple de points permet de déterminer le diamètre de la trajectoire du satellite Europe.
Donner ce diamètre en km.
4. Identifier le satellite le plus proche de Jupiter puis le satellite ayant la plus grande période de révolution.
5. A partir du document 1, remplir le tableau ci-dessous :
Nom
Rayon de la
trajectoire R (milliers
de m)
Période T
(jours)
Calisto
Ganymède
Europe
Io
6. A partir des données ci-dessus, proposer une méthode graphique qui permet de calculer la passe de
Jupiter.
III.
Mouvement des satellites en mouvement elliptique :
Sur les schémas suivants, dessiner le vecteur accélération et le vecteur vitesse du satellite.
Indiquer si le satellite est en train d’accélérer ou de décélérer.
En déduire ou se situent le point P correspondant à la périhélie et le point A appelé correspondant à
l’aphélie.
Ces observations sont-elles en accord avec la loi des aires (2ème loi de Képler) ?
IV.
Etude de l’orbite de Rosetta : assistance gravitationnelle
L’assistance gravitationnelle est une manœuvre utilisée par un engin spatial pour modifier de manière
naturelle sa vitesse et sa trajectoire en se servant du champ de gravité d’une planète.
L’objectif de l’assistance gravitationnelle est de tirer profit de l’attraction d’un corps céleste, en général une
planète, pour augmenter (ou diminuer) la vitesse (et donc l’énergie) d’un engin spatial.
http://www.cnes-multimedia.fr/animation/rosetta-trajectoire.html
En étudiant la simulation, déterminer dans l’ordre quelles sont les planètes qui fournissent une assistance
gravitationnelle à la sonde Rosetta au cours de sa trajectoire vers la comète ? Préciser le rôle de cette
assistance gravitationnelle sur sa vitesse.
Quelle est l’intérêt de cette assistance gravitationnelle ?
http://www.rosetta-cnes.fr/rosetta/sonde/trajectoire.html
http://www.esa.int/esatv/Videos/2013/12/Rosetta_s_Journey_BRoll/Solar_system_animation_showing_Rosetta_trajectory