Mécanique TD9

r
0
M
0
O
Terre
Satellite
R
T
0
V
Mécanique TD 9 Lancement de satellites terrestres
On donne le rayon R
T
et la masse m
T
de la terre et la constante de gravitation :
R
T
= 6370 km ; m
T
= 6,00.10
24
kg ; G = 6,67 .10
-11
N.m².kg
-2
1°) On s’intéresse au lancement d’un satellite de masse m en un point
M
0
(
00
0t
rOMOM ==
=
) de l’espace, avec une vitesse initiale
0
V
par rapport au référentiel géocentrique (considéré comme galiléen
dans ce problème). On notera que
00
OMv ⊥ .
Après une poussée très brève (qui a lieu pour t < 0) on coupe les moteurs à t = 0 et le satellite est alors soumis à
la seule force d’attraction de la terre.
a) Donner l’expression de cette force (on pourra poser G.m.m
T
= K et r = OM ) .
b) Démontrer que le travail de cette force ne dépend pas du chemin suivi.
Donner l’expression de l’énergie potentielle associée E
p
(convention E
p
→ 0 quand r → ∞).
c) Montrer que le moment cinétique du point M se conservera au cours du mouvement, en déduire que le
mouvement sera nécessairement plan.
d) On choisit de travailler en coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire.
Donner l’expression du moment cinétique par rapport à O :
O
L dans ce système
de coordonnées.
En déduire l’expression de la vitesse du satellite en fonction de r, m,
dt
dr
r=
&
,
L
O
=
O
L et des vecteurs unitaires adéquats.
e) En déduire l’expression de l’énergie cinétique E
c
et de l’énergie mécanique E
m
du point M en fonction de r, m,
dt
dr
r=
&
. En déduire l’expression de la fonction E
peff
telle que E
m
= .m.
2
1
r
&
² + E
peff
.
f) Donner une étude détaillée de la fonction E
peff
(r).
2°) On considère donc que les satellites sont lancés en un point M
0
tel que :
r00
erOM = avec la vitesse
00
OMv ⊥
a) Quelle vitesse v
L
faut-il communiquer au satellite afin qu’il échappe au champ de gravitation terrestre (vitesse
minimale à r
0
donné ou vitesse de « libération ») ? Donner l’expression de v
L
en fonction de G, m
T
, r
0
.
b) Application numérique : calculer v
L
si r
0
= 20000 km (unité demandée: km.s
-1
).
c) Quelle vitesse v
0
= v
C
faut-il communiquer au satellite afin que sa trajectoire soit circulaire ? On donnera v
c
en
fonction de G, m
T
, r
0
.
d) Application numérique : calculer v
c
si r
0
= 20000 km (unité demandée: km.s
-1
).
e) Montrer qu’une trajectoire circulaire est forcément une trajectoire circulaire et uniforme.
f) Donner la période de rotation d’un satellite (exprimée en heures) si la trajectoire est circulaire avec
r
0
= 20000 km .
3°) Conditions de lancement d’un satellite
On considère toujours le même type de lancement.
v
0
doit être bornée entre 2 grandeurs si on veut que le satellite reste sur une orbite autour de la terre.
Il est clair que la borne supérieure est v
0 max
= v
L
. Nous allons maintenant déterminer la borne inférieure.
a) Montrer que si l’on a une trajectoire elliptique (voir ci dessous),
les vitesses à l’apogée et au périgée sont nécessairement
perpendiculaires au vecteur position :
A
v OA ⊥ et
P
v OP ⊥
b) Démontrer que cela implique que nous ayons la relation : r
A.
v
A
= r
P.
v
P
Avec r
A
= OA et r
P
= OP
c) En utilisant cette relation et la conservation de l’énergie mécanique donner l’expression de la borne inférieure
de v
0
(notée v
0 min
) en fonction de G, m
T
, r
0
, R
T
.
d) Application numérique : calculer v
0 min
si r
0
= 20000 km (unité demandée: km.s
-1
)
M
OM//F
x
e
y
e
z
e
•
r
θ
O
O
P
M
M
v
A