Mécanique TD9

Mécanique TD 9 Lancement de satellites terrestres
On donne le rayon RT et la masse mT de la terre et la constante de gravitation :
RT = 6370 km ; mT = 6,00.1024 kg ; G = 6,67 .10-11 N.m².kg-2
1°) On s’intéresse au lancement d’un satellite de masse m en un point
V0
Terre
r0
RT
M0
Satellite
O
M0 ( OM t = 0 = OM 0 = r0 ) de l’espace, avec une vitesse initiale V0
par rapport au référentiel géocentrique (considéré comme galiléen
dans ce problème). On notera que v 0 ⊥OM 0 .
Après une poussée très brève (qui a lieu pour t < 0) on coupe les moteurs à t = 0 et le satellite est alors soumis à
la seule force d’attraction de la terre.
a) Donner l’expression de cette force (on pourra poser G.m.mT = K et r = OM ) .
b) Démontrer que le travail de cette force ne dépend pas du chemin suivi.
Donner l’expression de l’énergie potentielle associée Ep (convention Ep → 0 quand r → ∞).
c) Montrer que le moment cinétique du point M se conservera au cours du mouvement, en déduire que le
mouvement sera nécessairement plan.
d) On choisit de travailler en coordonnées polaires dans le plan de la trajectoire.
Donner l’expression du moment cinétique par rapport à O : L O dans ce système
de coordonnées.
dr
En déduire l’expression de la vitesse du satellite en fonction de r, m, r& = ,
dt
LO = L O et des vecteurs unitaires adéquats.
M
ey
r
F // OM
θ
O
•
ex
e) En déduire l’expression de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie mécanique Em du point M en fonction de r, m,
dr
1
r& = . En déduire l’expression de la fonction Epeff telle que Em = .m. r& ² + Epeff.
dt
2
f) Donner une étude détaillée de la fonction Epeff (r).
2°) On considère donc que les satellites sont lancés en un point M0 tel que : OM 0 = r0 e r
avec la vitesse
v 0 ⊥OM 0
a) Quelle vitesse vL faut-il communiquer au satellite afin qu’il échappe au champ de gravitation terrestre (vitesse
minimale à r0 donné ou vitesse de « libération ») ? Donner l’expression de vL en fonction de G, mT , r0 .
b) Application numérique : calculer vL si r0 = 20000 km (unité demandée: km.s-1).
c) Quelle vitesse v0 = vC faut-il communiquer au satellite afin que sa trajectoire soit circulaire ? On donnera vc en
fonction de G, mT , r0.
d) Application numérique : calculer vc si r0 = 20000 km (unité demandée: km.s-1).
e) Montrer qu’une trajectoire circulaire est forcément une trajectoire circulaire et uniforme.
f) Donner la période de rotation d’un satellite (exprimée en heures) si la trajectoire est circulaire avec
r0 = 20000 km .
3°) Conditions de lancement d’un satellite
On considère toujours le même type de lancement.
v0 doit être bornée entre 2 grandeurs si on veut que le satellite reste sur une orbite autour de la terre.
Il est clair que la borne supérieure est v0 max = vL. Nous allons maintenant déterminer la borne inférieure.
a) Montrer que si l’on a une trajectoire elliptique (voir ci dessous),
les vitesses à l’apogée et au périgée sont nécessairement
perpendiculaires au vecteur position : OA ⊥ v A et OP ⊥ v P
vM
P
M
O
b) Démontrer que cela implique que nous ayons la relation : rA.vA = rP.vP
Avec rA = OA et rP = OP
c) En utilisant cette relation et la conservation de l’énergie mécanique donner l’expression de la borne inférieure
de v0 (notée v0 min) en fonction de G, mT , r0 , RT.
d) Application numérique : calculer v0 min si r0 = 20000 km (unité demandée: km.s-1)
A
ez