MECANIQUE : TD n°8 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
MECANIQUE : TD n°8
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Exprimer l’ordre de grandeur de la norme de l’accélération a(G)
R
où G est le centre de la terre R le référentiel
géocentrique.
Rép : a(G)
Rc
=4π²R/T²=5,9.10
-3
ms
-2
2°) On définit la période solaire comme étant la durée entre deux expositions successives de la même surface
terrestre au soleil et la période sidérale comme la période de rotation propre de la terre. Calculer la période
sidérale sachant que T
solaire
=24h.
Rép : T
sidéral
=T
solaire
*365,25/366,25=23h56min
3°) Retrouvez le même résultat à l’aide de la loi de composition de vecteurs rotations bien choisis.
Rép : T
sidéral
=T
RT/RC
=(T
RT/R’
.T
R’/Rc
)/(T
R’/Rc
+T
RT/R’
)=23h56min
4°) Déterminer en fonction de la latitude λ l’angle α que fait la verticale du lieu avec le champ de gravitation
terrestre, en un point M à la surface de la terre.
Rép : sinα=ω²Rsin(2λ)/2g⇒α=6’
5°) Un conducteur amène une jeune fille faire un tour en Z3. Atteignant une vitesse de 296km/h, il s’écrie : « J’ai
réussi à annuler les forces d’inertie ». L’aventure se produisant dans l’hémisphère nord, déterminons la latitude du
lieu, la direction empruntée et le sens de marche de la Z3.
Rép : cos λ=2v/Rω ⇒ λ=69,3° le véhicule se déplace vers l’ouest où λ=69,3° (ce n’est pas à Nancy).
B – TRAVAUX DIRIGES
I – MOUVEMENT D’UN PENDULE SIMPLE ETUDIE
DANS UN REFERENTIEL TOURNANT
Un observateur est debout sur la plateforme d’un
manège en rotation à la vitesse angulaire Ω
ΩΩ
Ω=Ωe
z
constante
autour de l’axe (Az) par rapport au référentiel terrestre
supposé galiléen.
Il observe le mouvement d’un point matériel M de
masse m, accroché par l’intermédiaire d’un fil de masse de
longueur L en B (B étant fixe lors de la rotation du manège) ; M
effectue de petits mouvements autour de sa position d’équilibre A. On posera ω
0
²=g/l.
1°) Démontrer que la tension du fil et le poids peuvent se regrouper en une force qui grâce à quelques
approximations peut se mettre sous la forme : T
AM
=-mgAM/l=-mω
0
²AM.
2°) Etablir l’équation différentielle du mouvement de M dans le référentiel de l’observateur R
m
défini par le
repère (A,x,y,z).
3°) Montrer que r=r
0
cos(ω
0
t) et θ=-Ωt peut-être solution de ce problème.
Rép : 1°) En effet T=mg (approximation) et T
AM
=mgsinα... 2°) d²r/dt²=-(ω
0
²-Ω).r-2Ω
ΩΩ
Ω^(dr/dt) 3°) En calculant a
r
et a
θ
on retrouve la
même équation différentielle qu’en 2°) cqfd.
II – LIMITE DE ROCHE
La comète Shoemaker-Lévy 9 est passée en juillet 1992 suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter
en morceaux à cause des « forces de marées » dues à Jupiter. On se propose, dans cet exercice, de déterminer,
par un modèle simple, la distance en dessous de laquelle la comète se disloque en s'approchant de Jupiter. On fait
les hypothèses suivantes :
- Jupiter est sphérique et homogène, de rayon Rj=71 400 km, de masse M=1,9l.10
27
kg et de masse
volumique µj ;
- la comète est sphérique et homogène, de rayon Rc , de masse volumique µc=1,00.10
3
kg.m
-3
;
- le référentiel « Jupiterocentrique » est galiléen ;
- la comète n'est soumise qu'à l'action gravitationnelle de Jupiter ;
- la comète est en orbite circulaire de rayon d autour de Jupiter (avec Rc<<d).
1°) Écrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un petit volume élémentaire, de masse
δm, de la comète dans le référentiel « Cométocentrique ».
2°) On considère un modèle dans lequel la cohésion de la comète n'est plus assurée si le terme des
marées dépasse le champ gravitationnel propre de la comète. En se plaçant à la périphérie de la comète pour
comparer les deux termes, déduire l'ordre de grandeur de la distance limite d
lim
à laquelle la comète peut
s'approcher de Jupiter sans risque (appelée « limite de roche »).
Rép : 1°) δma(P)=δmG[Mc/Rc²+2MjRc/d
3
].u 2°) d
lim
=(2µj/µc)
1/3
.R
j
=93600km⇒à 22 200 kms de la surface de Jupiter

L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - LE PENDULE DE FOUCAULT
a - Rappel de cours :
En 1852, L.Foucault mis en évidence la rotation de la terre en étudiant soigneusement le mouvement d’un
pendule simple, par rapport au référentiel terrestre R
T
. Le PFD s’écrit donc dans le R
T
:ma=mg+T-2mω
e
^v.
Le comportement d’un pendule s’interprète aisément au pôle nord. En effet, dans le référentiel
géocentrique R
g
, le pendule écarté de sa position d’équilibre et abandonné à son poids et à la tension du fil, par
conséquent il a un mouvement oscillatoire dans un plan fixe par rapport à R
g
(ce plan étant déterminé par les
conditions initiales).
Dans R
T
qui tourne, qui tourne par rapport à R
g
avec la vitesse angulaire ω
e
, ce plan semble donc effectuer
une rotation autour de l’axe polaire, dans le sens est-ouest avec une période de révolution T
p
de 24h.
En effet
r
r
ω ω
eR R eR R
T g g T
/ /
=− , par conséquent le plan du pendule tourne en sens inverse, que la terre sur elle-même.
b - Mise en équation du mouvement :
Soit un pendule simple, constitué d’une corde de très grande
longueur L de masse négligeable, suspendue en un point fixe B du
repère terrestre, et au bout de laquelle oscille un point matériel M dans
le référentiel terrestre lié au repère (Oxyz) centré sur la position
d’équilibre O du point M.
Les oscillations étant de faible amplitude, le mouvement peut-
être considéré comme s’effectuant dans le plan horizontal xOy
1°) Dans le cas où x & y sont très inférieurs à l, démontrer que l’on peut
décomposer la tension du fil en deux composantes tels que T
x
=-mgx/l & T
y
=-mgy/l
2°) Ecrire les deux équations différentielles du mouvement dans le plan (xOy). En posant u=x+jy, retrouver
l’équation suivante:
d u
dt jdu
dt u
e
2
20
2
2 0+ + = ω λ ω sin où ω
0
²=g/l dont la solution générale est
u= e A t B t
i t−
+
Ω
[ cos sin ] ω ω
0 0
=e q
i t− Ω
où Ω=ω
e
sinλ.
A l’aide des CI suivantes exprimer x & y. x(0)=a, y(0)=0, v
x
(0)=v
y
(0)=0.
3°) En déduire que q est l’équation d’une ellipse très aplatie et que e
-iΩt
est le terme responsable de la révolution du
pendule.
4°)Calculer la période de rotation de la terres sachant que latitude de Paris est de 48°51’ et que la période de
révolution du pendule de Foucault est de 31h52mn.
Rép : 1°) cf B-1 2°) on applique le pfd sans oublier la force d’inertie de coriolis... 3°) q
x
=acosω
0
t et q
y
=aΩ/ω
0
.sinω
0
t 4°)T=T
p
sinλ=24h...
II - PENDULE DE SCHÜLER
On transporte dans un véhicule, un pendule simple O’A (longueur l) dont le point de suspension O’ est fixe
par rapport au véhicule R’. Par rapport au référentiel terrestre R
T
, le véhicule a une trajectoire circulaire dont le
centre est celui G de la terre et dont le rayon est approximativement son rayon R=6400km.
1°) Ecrire vectoriellement le théorème du moment cinétique pour le pendule, au point de suspension O’.
Quelle doit-être la vitesse de rotation angulaire ω de R’ par rapport à R
T
pour que la direction O’A soit fixe dans R’?
2°) Quelle est la période de ce pendule dans R
T
?
Rép : 1°) ω=(g/R)
1/2
2°) T=2π.(R/g)
1/2
=84,5min.
III – PHENOMENE DES MAREES - MASSE DU SOLEIL, DE LA TERRE
Données numériques: - le rayon terrestre R
T
=6400km, g
0
=9,81ms
-2
, distance Terre-Soleil: D
TS
=150.10
6
km,
période de l’orbite terrestre T=365 jours, G=6,67.10
-11
SI.
1°) Déterminer la masse M
T
de la terre
2°) Déterminer la masse M
s
du soleil.
3°) Le phénomène des marées sur la terre est dû au fait que
l’attraction gravitationnelle de la lune (ou le soleil) n’est pas uniforme sur la
terre . On notera D
TL
la distance entre le centre de la terre et le centre de la
lune , r=TP , et θ=(TL,TP).
A l’aide des données, démontrer que le potentiel des marées peut
s’écrire:
VGM
D
r
D
r
D
L
TL TL TL
=− + + − +( cos ( cos ) ...)1 23 1
2
2
2
θ θ
4°) En déduire le champ de pesanteur g, par l’expression g=-gradV.
Rép : 1°) M
T
=g
0
R
T
²/G=6.10
24
kg 2°) M
s
=4π².D
TS3
/GT²=2.10
30
kg 3°) Soit V(P)=Ep(P)/M
T
=-GM
L
/x dont on obtient
l’expression grâce à un développement limité poussé jusqu’au deuxième ordre 4°)
]cossin3.sin[)]1cos3(cos[
32
2
32
θθθθθ r
D
GM
D
GM
er
D
GM
D
GM
g
TL
L
TL
L
r
TL
L
TL
L
−−−+= rr