CALCUL DE PRIMITIVES ET D`INTEGRALES

MP 13-14
CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTEGRALES
1
Fonctions rationnelles
Calculer :
1.
2.
3.
4.
2
x
dx
x3 − 3 x + 2
x3
x dx
+ x2 + x + 1
x
dx
(x2 + x + 1)3
x2 − x
dx
x4 + 3 x2 + 2
Fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques
Calculer :
1.
2.
3.
4.
5.
0
6.
dx
2 + sin (x)
sin (x)
dx
sin (x) + cos4 (x) − 1
4
sin (x)
dx
sin3 (x) + cos3 (x)
cos (2 x)
dx
sin (x) + sin (3 x)
2π
dx
1 + cos (α) cos (x)
(α est un réel non congru à 0 modulo π )
dx
√
sin (x) − cos (x) + 2
1
3
Fonctions rationnelles de fonctions hyperboliques
Calculer :
1.
2.
3.
4
dx
sh2 (x) + ch2 (x) − 1
dx
2 ch (x) + sh (x) + 1
dx
ch (x) − ch (α)
(α est un réel non nul)
Intégrales de la forme
F
x,
n
ax + b
cx+d
dx
(F est une f onction rationnelle)
ax + b
qui ramène à un calcul de primitive
cx+d
de fonction rationnelle. On peut penser à utiliser ce changement de variable lorsque F n’est pas une fonction
rationnelle. Calculer :
On utilise le changement de variable défini par y =
1.
2.
5
n
x − 1 dx
x+1 x
√
√
x+1− 3 x+1
√
√
dx
x+1+ 3 x+1
(changement de variable défini par u =
√
6
x + 1)
Intégrales abéliennes
Il s’agit de calculer
2
F x, a x + b x + c dx où F est une fonction rationnelle et a, b, c trois réels (a
est non nul, sinon il s’agit d’exemples de la section précédente).
Si le polynôme a X 2 +b X +c admet deux racines réelles (distinctes sinon le calcul est assez rapide)
α, β on peut écrire (sous réserve de se placer sur l’intervalle adhoc)
x−β
a x2 + b x + c = |x − α| a
(1)
x−α
et onse ramène au calcul de la section précédente et on peut utiliser le changement de variable défini par
x−β
t= a
.
x−α
2
En fait c’est une paramétrisation de la ’’demi’’ conique d’équation
y2 = a x2 + b x + c, y 0
qui suggère un changement de variable ramenant le calcul qui nous intéresse à un calcul de primitive de
fonction rationnelle (ceci s’applique d’ailleurs au précédent suggéré par la relation (1) : de quel paramétrage
s’agit-il ?).
(a) Cas a > 0 : la conique est une hyperbole.
On peut penser à utiliser le changement de variable défini par
√
a x2 + b x + c = a x + u
Sinon, la factorisation canonique du trinôme s’écrit
b 2 4 a c − b2
2
x+
+
ax + bx + c = a
2a
4 a2
ce qui fournit deux possibilités :
(i) 4 a c − b2 > 0 :
on utilise le changement de variable défini par
√
b
4 a c − b2
x+
=
sh (u)
2a
2a
et alors
4 a c − b2
a x2 + b x + c =
ch (u)
4a
(ii) 4 a c − b2 < 0 :
on utilise le changement de variable défini par
√
b
b2 − 4 a c
b
x+
=±
ch (u)
(selon le signe de x +
)
2a
2a
2a
et alors
b2 − 4 a c
2
ax + bx + c =
|sh (u)|
4a
(b) Cas a < 0 : la conique est une ellipse.
La factorisation canonique du trinôme (les deux racines sont nécessairement réelles et on peut
utiliser le changement de variable suggéré par (1)) suggère le changement de variable défini par
√
b
b2 − 4 a c
x+
=
cos (u)
2a
2a
et alors
4 a c − b2
a x2 + b x + c =
sin (u)
4a
Calculer (on pourra effectuer les premières étapes de calcul auquel conduisent les deux changements
de variable dans chaque cas, quitte à n’en mener qu’une jusqu’au bout) :
1.
x
√
dx
2
x +x+2
3
2.
3.
4.
5.
x+2
√
dx
x2 − 5 x + 6
x −x2 + 3 x − 2 dx
x+1
dx
x (1 − 2 x)
1 + tan (x) + tan2 (x) dx
4
Eléments de correction
Fonctions rationnelles
1.
2.
Le calcul de primitives a lieu sur l’un des trois intervalles ]−∞, −2[ , ]−2, 1[ ou ]1, +∞[ . La
décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle fournit
x
1 1
2 x − 1 dx = −
+ ln
+ cte
x3 − 3 x + 2
3 x − 1 9 x + 2
Le calcul de primitives a lieu sur l’un des deux intervalles ]−∞, −1[ou ]−1, +∞[ . La décomposition
en éléments simples de la fraction rationnelle fournit
2
x dx
1
x +1
1
= ln
+ arctan (x) + cte
2
3
2
x +x +x+1
4
2
(x + 1)
3.
Il n’y a pas à effectuer de décomposition en éléments simples et en appliquant la méthode vue en classe
onaboutit à
√
1
1 2x + 1
x
x+2
2 3
2x+1
√
dx = −
−
−
arctan
+ cte
6 (x2 + x + 1)2 6 x2 + x + 1
9
3
(x2 + x + 1)3
4.
La décomposition en éléments simples dans IR [X] et les techniques vues en classe conduisent à
2
√
x2 − x
1
x +2
x
√
dx
=
ln
+
2
arctan
− arctan (x) + cte
x4 + 3 x2 + 2
2
x2 + 1
2
Fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques
1.
L’utilisation du changement de variable défini par t = tan
x
2
sur tout intervalle de la forme
]−π + k 2 π, π + k 2 π[ , k ∈ ZZ, fournit
√
x dx
2
3
= √ arctan
1 + 2 tan
+ cte
2 + sin (x)
3
2
3
et on pourrait s’intéresser à des problèmes de raccord puisque le calcul de primitive se fait sur IR.
2.
On a
∀x ∈ IR, sin4 (x) + cos4 (x) − 1 = 2 cos2(x) cos2 (x) −1
π
π
Le calcul de primitive a lieu sur tout intervalle de la forme k , (k + 1)
, k ∈ ZZ, à l’aide du
2
2
changement de variable défini par u = cos (x) : on obtient alors
sin (x)
1
1 1 + cos (x) dx = −
+ ln
+ cte
2 cos (x) 4 1 − cos (x) sin4 (x) + cos4 (x) − 1
qui peut s’arranger quelque peu...
5
π
3π
3. Le calcul de primitive a lieu sur tout intervalle de la forme − + k π,
+ k π , k ∈ ZZ. Le
4
4
changement de variable défini par t = tan (x) impose des restrictions (à écrire) et conduit à
√
1
sin (x)
3
2 tan (x) − 1
1 2
√
arctan
ln
tan
(x)
−
tan
(x)
+
1
− ln |1 + tan (x)|+cte
dx
=
+
3
3
6
3
sin (x) + cos3 (x)
3
4.
5.
On n’oubliera pas de préciser les intervalles sur lesquels se fait ce calcul de primitives. Les règles
de Bioche suggèrent le changement de variable défini par u = cos (x) , que l’on voit apparaître en
écrivant
2 cos2 (x) − 1 sin (x)
cos (2 x)
∀x,
=
sin (x) + sin (3 x)
4 sin (x) − 4 sin3 (x) sin (x)
On obtient
cos (2 x)
1
1 1 + cos (x) dx = −
− ln
+ cte
sin (x) + sin (3 x)
4 cos (x) 8 1 − cos (x) 6.
On a
1
est définie
1 + cos (α) cos (x)
continue sur IR et admet donc des primitives sur IR. La périodicité et la parité de la fonction à intégrer
permet d’écrire
2π
+π
dx
dx
=2
1 + cos (α) cos (x)
1 + cos (α) cos (x)
0
0
x
Le changement de variable, valable sur l’intervalle ]−π, +π[ , défini par t = tan
, conduit à
2
dx
2
x
α
=
arctan tan
tan
+ cte
1 + cos (α) cos (x)
sin α
2
2
et par passage à la limite (quand x tend vers π ) on obtient
2π
dx
2π
=
1 + cos (α) cos (x)
|sin α|
0
Soit α un nombre réel non congru à 0 modulo π. La fonction x −→
x π √
√
√
π √
+ 2 = 2 2 sin2
+
2 = − 2 cos x +
4
2
8
Les intervalles où se fait le calcul de primitive se déduisent de ce préliminaire ainsi que la valeurs des
primitives
√
x π dx
2
√ =−
cotan
+
+ cte
2
2
8
sin (x) − cos (x) + 2
∀x ∈ IR, sin (x) − cos (x) +
Fonctions rationnelles de fonctions hyperboliques
1.
On a
∀x ∈ IR, sh2 (x) + ch2 (x) − 1 = 2 sh2 (x)
et par conséquent le calcul de primitive se fait sur IR∗+ ou sur IR∗− et on a
dx
coth (x)
=−
+ cte
2
2
2
sh (x) + ch (x) − 1
6
2.
3.
Ayant
3
ex
∀x ∈ IR, 2 ch (x) + sh (x) + 1 = ex +
+1
2
2
1
la fonction x −→
est continue sur IR et admet des primitives sur IR. On peut
2 ch (x) + sh (x) + 1
x
effecteur le changement de variable défini par u = ex ou celui défini par t = th
pour obtenir
2
√
x √
dx
2
= 2 arctan
1 + th
+ cte
2 ch (x) + sh (x) + 1
2
2
Soit α ∈ IR∗ . Le calcul de primitive a lieu sur l’un des intervalles ]−∞, α[ ou]α, +∞[ . Le changement
de variable défini par u = ex conduit à
x
e − eα dx
1
+ cte
=
ln ch (x) − ch (α)
sh α ex − e−α Intégrales de la forme
1.
2.
F
x,
n
ax+b
cx + d
dx
Le calcul de primitive se fait sur l’intervalle
[1, +∞[ ou sur l’intervalle ]−∞, −1[ . Le changement de
x−1
fournit
variable ’’standard’’ défini par u =
x+1
1 + x − 1 x − 1 dx
x−1
x
+
1
+ cte
= −2 arctan
+ ln x+1 x
x+1
x
−
1
1 −
x+1
√
Le calcul de primitive se fait sur ]−1, +∞[ . Le changement de variable défini par u = 6 x + 1
conduit à
√
√
3
x+1− 3 x+1
u − u2
√
√
dx
=
6 u5 du
u3 + u2
x+1+ 3 x+1
x+1 2
1
2√
=
− (x + 1)5/6 + (x + 1)2/3 −
x+1
6
5
2
3
√
+ (x + 1)1/3 − 2 6 x + 1 + 2 ln (x + 1) + cte
Intégrales abéliennes
1.
2.
x
La fonction x −→ √
continue sur IR admet des primitives sur IR. L’un des changements
2
x +x+2
de variable suggérés (cas de l’hyperbole) conduit à
x
1 2
√
dx = ln 2 x + x + 2 − 2 x − 1 + x2 + x + 2 + cte
2
2
x +x+2
Le calcul de primitive se fait sur l’intervalle ]−∞, 2[ ou sur l’intervalle ]3, +∞[ . L’un des
changements
de variable suggérés (cas de l’hyperbole) conduit à
x+2
9 √
dx = x2 − 5 x + 6 + ln 2 x − 5 + 2 x2 − 5 x + 6 + cte
2
2
x −5x+6
7
3.
4.
5.
Le calcul de primitive a lieu sur l’intervalle [1, 2] . L’un des changements de variable suggérés (cas du
cercle) conduit à
2
x
x 11
3
2
x −x + 3 x − 2 dx =
− −
+
arcsin (2 x − 3) + cte
3
4 24
16
1
. L’un des changements de variable suggérés (cas
Le calcul de primitive se fait sur l’intervalle 0,
2
de l’ellipse) conduit à
√
x (1 − 2 x)
x+1
5 2
arccos (4 x − 1) −
+ cte
dx = −
8
2
x (1 − 2 x)
π
π
Le calcul de primitive se fait sur un intervalle de la forme − + k π, + + k π , k ∈ ZZ. Le premier
2
2
changement de variable qui vient à l’esprit est défini par t = tan x et conduit à
√
1 + t + t2
2
1 + tan (x) + tan (x) dx =
1 + t2
et on reconnaît bien sûr une intégrale abélienne (cas de l’hyperbole) dont vous aurez le plaisir de finir
le calcul ;-)
8