CALCUL DE PRIMITIVES ET D`INTEGRALES

MP 13-14
CALCUL DE PRIMITIVES ET D’INTEGRALES
1 Fonctions rationnelles
Calculer :
1. x
x
3
−3x+ 2 dx
2. x dx
x
3
+x
2
+x+ 1
3. x
(x
2
+x+ 1)
3
dx
4. x
2
−x
x
4
+ 3 x
2
+ 2 dx
2 Fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques
Calculer :
1. dx
2 + sin (x)
2. sin (x)
sin
4
(x) + cos
4
(x)−1dx
3. sin (x)
sin
3
(x) + cos
3
(x)dx
4. cos (2 x)
sin (x) + sin (3 x)dx
5. 
2π
0
dx
1 + cos (α) cos (x)(αest un réel non congru à 0modulo π)
6. dx
sin (x)−cos (x) + √2
1

3 Fonctions rationnelles de fonctions hyperboliques
Calculer :
1. dx
sh
2
(x) + ch
2
(x)−1
2. dx
2 ch (x) + sh (x) + 1
3. dx
ch (x)−ch (α)(αest un réel non nul)
4 Intégrales de la forme
Fx,
n
a x +b
c x +ddx (F est une fonction rationnelle)
On utilise le changement de variable défini par y=
n
a x +b
c x +dqui ramène à un calcul de primitive
de fonction rationnelle. On peut penser à utiliser ce changement de variable lorsque Fn’est pas une fonction
rationnelle. Calculer :
1. x−1
x+ 1
dx
x
2. √x+ 1 −
3
√x+ 1
√x+ 1 +
3
√x+ 1 dx (changement de variable défini par u=
6
√x+ 1)
5 Intégrales abéliennes
Il s’agit de calculer Fx, a x
2
+b x +cdx où Fest une fonction rationnelle et a, b, c trois réels (a
est non nul, sinon il s’agit d’exemples de la section précédente).
Si le polynôme a X
2
+b X +cadmet deux racines réelles (distinctes sinon le calcul est assez rapide)
α, β on peut écrire (sous réserve de se placer sur l’intervalle adhoc)
a x
2
+b x +c=|x−α|ax−β
x−α(1)
et on se ramène au calcul de la section précédente et on peut utiliser le changement de variable défini par
t=ax−β
x−α.
2

En fait c’est une paramétrisation de la ’’demi’’ conique d’équation
y
2
=a x
2
+b x +c, y 0
qui suggère un changement de variable ramenant le calcul qui nous intéresse à un calcul de primitive de
fonction rationnelle (ceci s’applique d’ailleurs au précédent suggéré par la relation (1) : de quel paramétrage
s’agit-il ?).
(a) Cas a > 0 : la conique est une hyperbole.
On peut penser à utiliser le changement de variable défini par
a x
2
+b x +c=√a x +u
Sinon, la factorisation canonique du trinôme s’écrit
a x
2
+b x +c=ax+b
2a
2
+4a c −b
2
4a
2
ce qui fournit deux possibilités :
(i) 4a c −b
2
>0 :
on utilise le changement de variable défini par
x+b
2a=√4a c −b
2
2ash (u)
et alors a x
2
+b x +c=4a c −b
2
4ach (u)
(ii) 4a c −b
2
<0 :
on utilise le changement de variable défini par
x+b
2a=±√b
2
−4a c
2ach (u) (selon le signe de x +b 2a)
et alors a x
2
+b x +c=b
2
−4a c
4a|sh (u)|
(b) Cas a < 0 : la conique est une ellipse.
La factorisation canonique du trinôme (les deux racines sont nécessairement réelles et on peut
utiliser le changement de variable suggéré par (1)) suggère le changement de variable défini par
x+b
2a=√b
2
−4a c
2acos (u)
et alors a x
2
+b x +c=4a c −b
2
4asin (u)
Calculer(on pourra effectuer les premières étapes de calcul auquel conduisent les deux changements
de variable dans chaque cas, quitte à n’en mener qu’une jusqu’au bout) :
1. x
√x
2
+x+ 2 dx
3

2. x+ 2
√x
2
−5x+ 6 dx
3. x−x
2
+ 3 x−2dx
4. x+ 1
x(1 −2x)dx
5. 1 + tan (x) + tan
2
(x)dx
4

Eléments de correction
Fonctions rationnelles
1. Le calcul de primitives a lieu sur l’un des trois intervalles ]−∞,−2[ ,]−2,1[ ou ]1,+∞[.La
décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle fournit
x
x
3
−3x+ 2 dx =−1 3
1
x−1+2 9ln 
x−1
x+ 2+c
te
2. Le calcul de primitives a lieu sur l’un des deux intervalles ]−∞,−1[ou ]−1,+∞[.La décomposition
en éléments simples de la fraction rationnelle fournit
x dx
x
3
+x
2
+x+ 1 =1 4ln x
2
+ 1
(x+ 1)
2
+1
2arctan (x) + c
te
3. Il n’y a pas à effectuer de décomposition en éléments simples et en appliquant la méthode vue en classe
on aboutit à
x
(x
2
+x+ 1)
3
dx =−1
6
x+ 2
(x
2
+x+ 1)
2
−1
6
2x+ 1
x
2
+x+ 1 −2√3 9arctan 2x+ 1
√3+c
te
4. La décomposition en éléments simples dans IR [X]et les techniques vues en classe conduisent à
x
2
−x
x
4
+ 3 x
2
+ 2 dx =1 2ln x
2
+ 2
x
2
+ 1+√2 arctan x
√2−arctan (x) + c
te
Fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques
1. L’utilisation du changement de variable défini par t= tan x
2sur tout intervalle de la forme
]−π+k2π, π +k2π[, k ∈ZZ,fournit
dx
2 + sin (x)=2
√3arctan √3
31 + 2 tan x 2+c
te
et on pourrait s’intéresser à des problèmes de raccord puisque le calcul de primitive se fait sur IR.
2. On a
∀x∈IR,sin
4
(x) + cos
4
(x)−1 = 2 cos
2
(x)cos
2
(x)−1
Le calcul de primitive a lieu sur tout intervalle de la forme kπ
2,(k+ 1) π 2, k ∈ZZ,à l’aide du
changement de variable défini par u= cos (x) : on obtient alors
sin (x)
sin
4
(x) + cos
4
(x)−1dx =−1
2 cos (x)+1 4ln 
1 + cos (x)
1−cos (x)+c
te
qui peut s’arranger quelque peu...
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