Dérivation : Cours complet sur les dérivées

D´ erivation
Sommaire:
1 D´ eriv´ ees des fonctions usuelles: 1
2 Etude forme par forme des op´ erations sur les fonctions
d´ erivables: 1
2-1 Forme f+g..................... 2
2-2 Forme k·f(kr´ eel) ................. 2
2-3 Forme f·g..................... 2
2-4 Forme f2...................... 3
2-5 Forme 1
f....................... 3
2-6 Forme f
g....................... 3
2-7 Forme f(ax +b)(aet br´ eels) ........... 3
3 Tableau r´ ecapitulatif des op´ erations sur les fonctions
d´ erivables: 4
4 Exemples de d´ erivation n´ ecessitant l’utilisation de plu-
sieurs formes: 4
5 Calcul d’une ´ equation de la tangente ` a une courbe en un
point: 5
1D´ eriv´ ees des fonctions usuelles:
Pour savoir d´ eriver, il faut d’abord connaˆ ıtre les d´ eriv´ ees des fonctions de base que vous pouvez retrouver dans le tableau ci-
dessous.
Fonction Fonction d´ eriv´ ee pour tout xde Exemples
f(x) = a f0(x) = 0 Rf(x) = 3 ⇒f0(x) = 0
f(x) = ax +b f0(x) = aR
f(x) = x⇒f0(x) = 1
f(x) = 2x−4⇒f0(x) = 2
f(x) = xn(n∈N)f0(x) = nxn−1R
f(x) = x2⇒f0(x) = 2x
f(x) = x3⇒f0(x) = 3x2
f(x) = 1
xf0(x) = −1 x2R∗
f(x) = 1
xn(n∈N)f0(x) = −n xn+1 R∗
f(x) = 1
x2⇒f0(x) = −2 x3
f(x) = 1
x3⇒f0(x) = −3 x4
f(x) = √x f0(x) = 1
2√x]0; +∞[
f(x) = sin x f 0(x) = cos xR
f(x) = cos x f 0(x) = −sin xR

2Etude forme par forme des op´ erations sur les fonctions d´ erivables:
Nous allons voir maintenant comment d´ eriver une somme, un produit, un quotient ...
Il est indispensable de bien comprendre comment fonctionne les formules suivantes pour savoir d´ eriver. Pour finir, nous verrons
comment d´ eriver les fonctions les plus diverses en rep´ erant les formules ` a utiliser.
Vous pourrez ensuite, avec les tests de ce chapitre, apprendre progressivement ` a utiliser ces formules forme par forme (le meilleur
moyen d’apprendre ` a d´ eriver est de passer ` a la pratique).
Avertissement: Nous utiliserons par souci de simplification le traditionnel et affreux abus de langage qui consiste par exemple ` a
dire que la d´ eriv´ ee de x2est ´ egale ` a2x(alors que nous devrions dire en fait que la d´ eriv´ ee de la fonction qui ` axassocie x2est la
fonction qui ` axassocie 2x).
Il ne faut jamais oublier que l’on ne doit pas confondre une fonction favec f(x)(l’image de xpar fqui est un r´ eel) et que la
d´ eriv´ ee f0est elle-mˆ eme une fonction qui ` a tout xassocie f0(x)(le nombre d´ eriv´ e de fen x, qui est un r´ eel).
Toujours par souci de simplification, nous ne nous pr´ eciserons pas dans les exemples les intervalles o` u les fonctions sont d´ erivables
afin de nous concentrer sur l’utilisation des formules.
2-1 Forme f+g
Propri´
et´ e 1
Si fet gsont deux fonctions d´ erivables sur un intervalle Ialors la fonction f+gest aussi d´ erivable sur Iet (f+g)0=f0+g0.
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = x2+xest d´ efinie par:
f0(x) = 2x
|{z}
d´eriv ´ee de x2
+ 1
|{z}
d´eriv ´ee de x
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = x3+ 4xest d´ efinie par:
f0(x) = 3x2
|{z}
d´eriv ´ee de x3
+ 4
|{z}
d´eriv ´ee de 4x
3) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = √x+1
xest d´
efinie par:
f0(x) = 1
2√x
|{z}
d´eriv ´ee de √x
+−1
x2
|{z}
d´eriv ´ee de 1
x
2-2 Forme k·f(kr´ eel)
Propri´ et´ e 2
Si fest une fonction d´ erivable sur un intervalle Iet si kest un r´ eel alors la fonction k·fest aussi d´ erivable sur Iet (k·f)0=k·f0.
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 3 ·x2est d´ efinie par:
f0(x) = 3 ·2x
|{z}
d´eriv ´ee de x2
= 6x
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = −5·x3est d´ efinie par:
f0(x) = −5·3x2
|{z}
d´eriv ´ee de x3
=−15x2
3) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 2
x= 2 ·1 xest d´
efinie par:
f0(x) = 2 ·−1
x2
|{z}
d´eriv ´ee de 1
x
=−2
x2
2-3 Forme f·g
Propri´ et´ e 3
Si fet gsont deux fonctions d´ erivables sur un intervalle Ialors la fonction f·gest aussi d´ erivable sur Iet (f·g)0=f0·g+f·g0.
Exemples de fonctionnement de cette formule:

1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = x·√xest d´ efinie par:
f0(x) = 1
|{z}
d´eriv ´ee de x ·√x+x·1
2√x
|{z}
d´eriv ´ee de √x
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = x2·sin xest d´ efinie par:
f0(x) = 2x
|{z}
d´eriv ´ee de x2·sin x+x2·cos x
|{z}
d´eriv ´ee de sin x
2-4 Forme f2
Propri´ et´ e 4
Si fest une fonction d´ erivable sur un intervalle Ialors la fonction f2est aussi d´ erivable sur Iet f20= 2 ·f0·f.
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = (3x+ 1)2est d´ efinie par:
f0(x) = 2 ·3
|{z}
d´eriv ´ee de 3x+1 ·(3x+ 1) = 6(3x+ 1)
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = (cos x)2est d´ efinie par:
f0(x) = 2 ·(−sin x)
| {z }
d´eriv ´ee de cos x
·(cos x) = −2·sin x·cos x
2-5 Forme 1
f
Propri´ et´ e 5
Si fest une fonction d´ erivable sur un intervalle I(o` uf(x)ne s’annule pas) alors la fonction 1
fest aussi d´
erivable sur Iet
1
f0=−f0 f2.
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 1
5x−1est d´
efinie par:
f0(x) = −
d´eriv ´ee de 5x−1
z}|{
5
(5x−1)2
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 1
x2+ 3 est d´
efinie par:
f0(x) = −
d´eriv ´ee de x2+3
z}|{
2x
(x2+ 3)2
3) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 1
sin xest d´
efinie par:
f0(x) = −
d´eriv ´ee de sin x
z}|{
cos x
(sin x)2
2-6 Forme f
g
Propri´ et´ e 6
Si fet gsont deux fonctions d´ erivables sur un intervalle I(o` ug(x)ne s’annule pas) alors la fonction f
gest aussi d´
erivable sur I
et f
g0=f0·g−f·g0 g2.
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 7x
2x+ 3 est d´
efinie par:
f0(x) =
d´eriv ´ee de 7x
z}|{
(7) ·(2x+ 3) −(7x)·
d´eriv ´ee de 2x+3
z}|{
(2)
(2x+ 3)2=14x+ 21 −14x (2x+ 3)2=21 (2x+ 3)2

2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = x2
3x+ 1 est d´
efinie par:
f0(x) =
d´eriv ´ee de x2
z}|{
(2x)·(3x+ 1) −(x2)·
d´eriv ´ee de 3x+1
z}|{
(3)
(3x+ 1)2=6x2+ 2x−3x2 (3x+ 1)2=3x2+ 2x (3x+ 1)2
2-7 Forme f(ax +b)(aet br´ eels)
Propri´ et´ e 7
Soit fd´ efinie sur un intervalle I,aet bdeux r´ eels et Jun intervalle tel que, pour tout xde J,ax +b∈I. Si fest d´ erivable sur I
alors la fonction gd´ efinie par g(x) = f(ax +b)est d´ erivable sur Jet g0(x) = a·f0(ax +b).
Exemples de fonctionnement de cette formule:
1) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = (4x+ 5)3est d´ efinie par:
f0(x) = 4
|{z}
d´eriv ´ee de 4x+5 ·3(4x+ 5)2
|{z }
on d´erive comme x3mais avec 4x+5
= 12(4x+ 5)2
2) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = √3x+ 1 est d´ efinie par:
f0(x) = 3
|{z}
d´eriv ´ee de 3x+1 ·1
2√3x+ 1
| {z }
on d´erive comme √x mais avec 3x+1
=3
2√3x+ 1
3) La d´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = sin(−2x)est d´ efinie par:
f0(x) = −2
|{z}
d´eriv ´ee de −2x
·cos(−2x)
|{z }
on d´erive comme sin x mais avec −2x
=−2 cos(−2x)
3Tableau r´ ecapitulatif des op´ erations sur les fonctions d´ erivables:
Fonction Fonction d´ eriv´ ee
f+g f0+g0
k·f(k∈R)k·f0
f·g f0·g+f·g0
f22·f0·f
1
f−f0 f2
f
g
f0·g−f·g0
g2
x7−→ f(ax +b)
(aet br´ eels) x7−→ a·f0(ax +b)
4Exemples de d´ erivation n´ ecessitant l’utilisation de plusieurs formes:
La premi` ere chose ` a faire avant de d´ eriver une fonction est de d´ eterminer sa structure (somme, produit, quotient ...) afin de
d´ eterminer quelles sont les formes ` a utiliser.
Exemples:
1) D´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 2x3+ 5x2+ 7x−5:
La fonction se pr´ esente d’abord comme une somme de termes, on utilise donc la forme f+g(de d´ eriv´ ee f0+g0) et pour
d´ eriver 2x3et 5x2on utilise la forme k·f. Ce qui donne :

f0(x) = 2 ·(3x2)
|{z}
d´eriv ´ee de x3
+5 ·(2x)
|{z}
d´eriv ´ee de x2
+ (7)
|{z}
d´eriv ´ee de 7x−5
= 6x2+ 10x+ 7
2) D´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = (8x2+ 5) ·√x:
La fonction se pr´ esente sous la forme d’un produit, on utilise donc la forme f·g(de d´ eriv´ ee f0·g+f·g0). La d´ eriv´ ee de
8x2(forme k·f) est ´ egale ` a8·(d´ eriv´ ee de x2) = 8 ·(2x) = 16x. La d´ eriv´ ee de 5est elle ´ egale ` a0. Donc la d´ eriv´ ee de
8x2+ 5 est ´ egale ` a16x.
D’o` u le r´ esultat final:
f0(x) = 16x
|{z}
d´eriv ´ee de 8x2+5 ·√x+ (8x2+ 5) ·1
2√x
|{z}
d´eriv ´ee de √x
= 16x√x+8x2+ 5
2√x
3) D´ eriv´ ee de la fonction fd´ efinie par f(x) = 1
4−7x2:
La fonction se pr´ esente sous la forme d’un inverse, on va donc utiliser la forme 1
f(de d´
eriv´ ee −f0
f2). On aura donc besoin
de la d´ eriv´ ee de 4−7x2:
La d´ eriv´ ee de −7x2(forme k·f) est ´ egale ` a−7·(d´ eriv´ ee de x2) = −7·(2x) = −14x. La d´ eriv´ ee de 4´ etant nulle, la
d´ eriv´ ee de 4−7x2sera donc ´ egale ` a−14x.
D’o` u le r´ esultat final:
f0(x) = −
d´eriv ´ee de 4−7x2
z }| {
(−14x)
(4 −7x2)2=14x (4 −7x2)2
5Calcul d’une ´ equation de la tangente ` a une courbe en un point:
Propri´ et´ e 8
Si fest une fonction d´ efinie et d´ erivable sur un intervalle Icontenant le r´ eel a, alors une ´ equation de la tangente ` a la courbe
repr´ esentative de fau point d’abscisse aest :
y=f(a) + f0(a)(x−a).
Exemples:
1) Soit Tla tangente ` a la courbe repr´ esentative de la fonction fd´ efinie par f(x) = x2−3x+ 1 au point d’abscisse 2.
Une ´ equation de Test: y=f(2) + f0(2)(x−2)
- on calcule d’abord f(2) :f(2) = 22−3·2 + 1 = 4 −6 + 1 = −1.
- on d´ erive f:f0(x) = 2x−3.
- on en d´ eduit la valeur de f0(2) :f0(2) = 2 ·2−3 = 1.
Une ´ equation de Test donc: y=−1 + (1)(x−2) ⇔y=x−3
2) Soit Tla tangente ` a la courbe repr´ esentative de la fonction fd´ efinie par f(x) = 2x−1
x+ 3 au point d’abscisse −1.
Une ´ equation de Test: y=f(−1) + f0(−1) (x−(−1)) ⇔y=f(−1) + f0(−1) (x+ 1))
- on calcule d’abord f(−1) :f(−1) = 2(−1) −1
−1+3 =−3 2.
- on d´ erive f:f0(x) = 2·(x+ 3) −(2x−1) ·1
(x+ 3)2=2x+ 6 −2x+ 1 (x+ 3)2=7 (x+ 3)2.
- on en d´ eduit la valeur de f0(−1) :f0(−1) = 7
(−1 + 3)2=7 4.
Une ´ equation de Test donc: y=−3
2+7 4(x+ 1) ⇔y=−6 4+7 4x+7 4⇔y=7 4x+1 4x