Chapitre 3 Les fonctions réciproques de référence

Institut Galil´ee
Sciences et technologies
Licence 1re ann´ee
Math´ematiques pour les sciences
Premier semestre
D´epartement de Math´ematiques
www.math.univ-paris13.fr/depart
c
⃝INSTITUT GALILEE, 99 avenue Jean-Baptiste-Cl´ement 93430 VILLETANEUSE 2014/2015

Table des mati`eres
1 G´en´eralit´es sur les fonctions num´eriques 5
1 Concepts de base sur les fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Notions d’Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 G´en´eralit´es sur les fonctions num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Continuit´e et th´eor`eme des valeurs interm´edaires . . . . . . . . . . . 15
2 D´eriv´eed’unefonction.............................. 18
2.1 D´erivabilit´e................................ 18
2.2 D´erivabilit´e et op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Fonctiond´eriv´ee ............................. 22
2.4 Th´eor`eme des Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Utilisation de la d´eriv´ee `a l’´etude des fonctions . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Convexit´e et d´eriv´ee seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Exercices ..................................... 28
2 Les premi`eres fonctions de r´ef´erence 33
1 Les fonctions trigonom´etriques d’une variable r´eelle . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1 D´efinitions des fonctions sinus, cosinus et tangente . . . . . . . . . . 33
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3 Propri´et´es des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Les fonctions Logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1 Logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Logarithme `a base a........................... 41
3 Les fonctions Exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Fonction exponentielle `a base a(fonction y=ax)........... 44
4 Courbes planes d’´equation y=f(x) ...................... 45
4.1 Branche infinie, comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Points d’inflexion et la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Plan d’´etude d’une courbe donn´ee par une ´equation y=f(x) . . . . 47
5 Exercices ..................................... 47
3 Les fonctions r´eciproques de r´ef´erence 51
1 G´en´eralit´es sur les fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.1 Injection, surjection et bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 Fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.3 Sens de variation d’une fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4 Continuit´e et d´erivabilit´e d’une fonction r´eciproque . . . . . . . . . . 54
3

2 Fonctionspuissance................................ 54
2.1 Racine n-i`eme .............................. 54
2.2 Exposant rationnel quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Puissances `a exposant r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Fonctions y=xr(r∈R)......................... 57
3 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1 FonctionArcsinus............................ 57
3.2 Fonction Arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Fonction Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 D´eriv´ees des fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . 60
4 Exercices ..................................... 61

Chapitre 3
Les fonctions r´eciproques de
r´ef´erence
Le but de ce chapitre est d’´etudier la notion de fonction r´eciproque, qui va nous permettre
de d´efinir d’importantes nouvelles fonctions.
1 G´en´eralit´es sur les fonctions r´eciproques
Une question naturelle que l’on peut se poser sur une fonction f:X→Yest de savoir
s’il existe une fonction g:Y→Xqui ”permet de revenir en arri`ere”, c’est `a dire telle que
g(f(x)) = xpour tout xde X.
Xf
gY
Par exemple, si f:R+→R+est la fonction racine carr´ee, c’est l’´el´evation au carr´e qui
convient comme fonction g. On demande aussi `a cette fonction gde v´erifier f(g(y)) = y
pour tout yde Y. En reprenant l’exemple de la racine et du carr´e, on se rend compte
d’un probl`eme. On a bien y2=ypour y≥0, mais y2=−ypour y < 0. Il faut donc
ˆetre attentif aux ensembles de d´epart et d’arriv´ee des fonctions fet g.
Pour une fonction f:X→Ydonn´ee, une fonction r´eciproque n’existe pas forc´ement
(mais sera unique si elle existe). Pour trouver les conditions n´ecessaires et suffisantes `a
cette existence, on ´etudie certaines propri´et´es des fonctions : injectivit´e (existe-t-il x1et
x2diff´erents dans Xtels que f(x1) = f(x2)) et surjectivit´e (pour tout ydans Y, peut-on
trouver un xdans Xtel que y=f(x)).
Les exemples fondamentaux sont les racines n-i`emes et les r´eciproques des fonctions
trigonom´etriques (qui se trouvent g´en´eralement dans les calculatrices sous les noms cos−1,
sin−1, tan −1). On les d´efinit ici soigneusement et on ´etudie leurs propri´et´es.
1.1 Injection, surjection et bijection
Dans ce paragraphe, si Xet Ysont deux parties de R, la notation f:X→Ysignifie que
fest une fonction d´efinie sur Xet `a valeurs dans Y.
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