Chapitre 5 FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES 5.1 5.1.1 Fonction Arcsinus Définition π π La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [− , ] qu’elle applique bijective2 2 ment sur [−1, 1]. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur [−1, 1], appelée Arcsinus et notée Arcsin. π π y = Arcsin x ⇐⇒ x = sin y et y ∈ [− , ] 2 2 π π Arcsin x est donc l’arc (en radians) de [− , ] dont le sinus est x. 2 2 Remarque : On a : ∀x ∈ [−1, 1], sin(Arcsin x) = x mais on n’a pas toujours Arcsin (sin y) = y. π π Ce n’est vrai que si y ∈ [− , ]. Par exemple, Arcsin (sin π) = 0. 2 2 5.1.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction sinus (à l’aide des résultats sur les fonctions réciproques) : Arcsinus est définie continue et strictement croissante sur [−1, 1]. Cette 1 . fonction est de plus impaire et dérivable sur ] − 1, 1[ : ∀x ∈] − 1, 1[, Arcsin (x) = √ 1 − x2 Démonstration : • Parité : [−1, 1] est bien symétrique par rapport à 0 et pour y = Arcsin x, on a x = sin y π π π π avec y ∈ [− , ] donc −x = −sin y = sin(−y) avec −y ∈ [− , ] et donc 2 2 2 2 −y = Arcsin (−x) soit Arcsin (−x) = −Arcsin (x). • Dérivabilité : On utilise le théorème de dérivation des fonctions réciproques. dy π π 1 1 Si y = Arcsin x, on a : car y ∈] − , [ et donc cos y > 0. Et = = dx cos y 2 2 1 − sin2 y 1 dy . =√ sin y = sin(Arcsin x) = x donc dx 1 − x2 5.1.3 Représentation Elle se déduit de celle de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé). 31 y = Arcsin x ✻ O 5.2 ı ✲ Fonction Arccosinus 5.2.1 Définition La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur [0, π] qu’elle applique bijectivement sur [−1, 1]. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur [−1, 1], appelée Arccosinus et notée Arccos. y = Arccos x ⇐⇒ x = cos y et y ∈ [0, π] Arccos x est donc l’arc (en radians) de [0, π] dont le cosinus est x. Remarque : On a : ∀x ∈ [−1, 1], cos(Arccos x) = x mais on n’a pas toujours Arccos (cos y) = y. Ce n’est vrai que si y ∈ [0, π]. Par exemple, Arccos (cos 2π) = 0. 5.2.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction cosinus : Arccosinus est définie, continue et strictement décroissante sur [−1, 1]. Cette fonction est dérivable sur ] − 1, 1[ et −1 ∀x ∈] − 1, 1[, Arccos (x) = √ . 1 − x2 De plus, pour tout x de [−1, 1], on a : Arccos (−x) + Arccos (x) = π. Sa courbe représentative π admet donc le point de coordonnées (0, ) comme centre de symétrie. 2 Démonstration : dy −1 −1 car y ∈]0, π[ et donc = = √ dx sin y 1 − cos2 y dy −1 sin y > 0. Et cos(Arccos x) = x donc . =√ dx 1 − x2 • Dérivabilité : Si y = Arccos x alors on a • Symétrie : [−1, 1] est bien symétrique par rapport à 0 et pour y = Arccos x, x = cos y avec y ∈ [0, π] donc −x = −cos y = cos(π − y) avec π − y ∈ [0, π] et donc π − y = Arccos (−x) soit Arccos (−x) = π − Arccos (x). 32 5.2.3 Représentation Elle se déduit de celle de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé). y = Arccos x π π 2 ✻ O 5.3 5.3.1 ı ✲ Fonction Arctangente Définition π π La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] − , [ qu’elle applique bijec2 2 tivement sur R. Elle admet donc une bijection réciproque définie sur R , appelée Arctangente et notée Arctan. π π y = Arctan x ⇐⇒ x = tan y et y ∈] − , [ 2 2 π π Arctan x est donc l’arc (en radians) de ] − , [ dont la tangente est x. 2 2 Remarque : On a : ∀x ∈ R, tan(Arctan x) = x mais on n’a pas toujours Arctan (tan y) = y. π π Ce n’est vrai que si y ∈] − , [. Par exemple, Arctan (tan 2π) = 0. 2 2 5.3.2 Propriétés Les propriétés suivantes se déduisent de celles de la fonction tangente : Arctangente est définie, continue et strictement croissante sur R. 1 Cette fonction est de plus impaire et dérivable sur R : ∀x ∈ R, Arctan (x) = . 1 + x2 Démonstration : • Parité : R est bien symétrique par rapport à 0 et pour y = Arctan x, on a x = tan y avec π π π π y ∈] − , [ donc −x = −tan y = tan(−y) avec −y ∈] − , [ et donc 2 2 2 2 −y = Arctan (−x) soit Arctan (−x) = −Arctan (x). • Dérivabilité On utilise le théorème de dérivation des fonctions réciproques. 1 1 1 dy . = = = Si y = Arctan x, on a 2 dx tan y 1 + tan y 1 + x2 33 5.3.3 Représentation Elle se déduit de celle de tangente par symétrie par rapport à la première bissectrice (dans un repère orthonormé). y = Arctan x y= π 2 ✻ ✲ Oı y = − π2 5.4 Quelques formules Théorème 1 ∀x ∈ [−1, 1], Arcsin x + Arccos x = π 2 π π Démonstration : Soient x ∈ [−1, 1] et y = Arcsin x. Alors x = sin y avec y ∈ [− , ] donc 2 2 π π π x = cos( − y) avec − y ∈ [0, π] et donc par définition − y = Arccos x. 2 2 2 Théorème 2 ∀x ∈]0, +∞[, ∀x ∈] − ∞, 0[, 1 π Arctan x + Arctan( ) = x 2 1 π Arctan x + Arctan ( ) = − x 2 π Démonstration : Soient x ∈]0, +∞[ et y = Arctan x. Alors x = tan y avec y ∈]0, [ et on a par 2 1 π π π 1 π 1 = tan − y avec − y ∈]0, [ et donc − y = Arctan . La fonction suite = x tan y 2 2 2 2 x Arctan étant impaire, le deuxième résultat en découle. 34