y = Arcsin x
ı
O
✻
✲
5.2 Fonction Arccosinus
5.2.1 D´efinition
La fonction cosinus est continue et strictement d´ecroissante sur [0,π] qu’elle applique bijective-
ment sur [−1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur [−1,1], appel´ee Arccosinus
et not´ee Arccos.
y= Arccos x⇐⇒ x= cos yet y∈[0,π]
Arccos xest donc l’arc (en radians) de [0,π] dont le cosinus est x.
Remarque : Ona:∀x∈[−1,1],cos(Arccos x)=xmais on n’a pas toujours
Arccos (cos y)=y. Ce n’est vrai que si y∈[0,π]. Par exemple, Arccos (cos 2π)=0.
5.2.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction cosinus : Arccosinus est d´efinie,
continue et strictement d´ecroissante sur [−1,1]. Cette fonction est d´erivable sur ] −1,1[ et
∀x∈]−1,1[,Arccos (x)= −1
√1−x2.
De plus, pour tout xde [−1,1], on a : Arccos (−x) + Arccos (x)=π. Sa courbe repr´esentative
admet donc le point de coordonn´ees (0,π
2) comme centre de sym´etrie.
D´emonstration :
•D´erivabilit´e: Siy= Arccos xalors on a dy
dx =−1
sin y=−1
√1−cos2ycar y∈]0,π[ et donc
sin y>0. Et cos(Arccos x)=xdonc dy
dx =−1
√1−x2.
•Sym´etrie : [−1,1] est bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arccos x, x = cos yavec
y∈[0,π] donc −x=−cos y= cos(π−y) avec π−y∈[0,π] et donc π−y= Arccos (−x)
soit Arccos (−x)=π−Arccos (x).
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