Chapitre 5
FONCTIONS CIRCULAIRES
RECIPROQUES
5.1 Fonction Arcsinus
5.1.1 D´efinition
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [π
2,π
2] qu’elle applique bijective-
ment sur [1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur [1,1], appel´ee Arcsinus
et not´ee Arcsin.
y= Arcsin x⇐⇒ x= sin yet y[π
2,π
2]
Arcsin xest donc l’arc (en radians) de [π
2,π
2] dont le sinus est x.
Remarque : Ona: x[1,1],sin(Arcsin x)=xmais on n’a pas toujours Arcsin (sin y)=y.
Ce n’est vrai que si y[π
2,π
2]. Par exemple, Arcsin (sin π)=0.
5.1.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction sinus (`a l’aide des r´esultats sur les
fonctions r´eciproques) : Arcsinus est d´efinie continue et strictement croissante sur [1,1]. Cette
fonction est de plus impaire et d´erivable sur ] 1,1[ : x]1,1[,Arcsin (x)= 1
1x2.
emonstration :
Parit´e:[1,1] est bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arcsin x, on a x= sin y
avec y[π
2,π
2] donc x=sin y= sin(y) avec y[π
2,π
2] et donc
y= Arcsin (x) soit Arcsin (x)=Arcsin (x).
erivabilit´e : On utilise le th´eor`eme de d´erivation des fonctions r´eciproques.
Si y= Arcsin x, on a : dy
dx =1
cos y=1
1sin2y
car y]π
2,π
2[ et donc cos y>0. Et
sin y= sin(Arcsin x)=xdonc dy
dx =1
1x2.
5.1.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de sinus par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un rep`ere
orthonorm´e).
31
y = Arcsin x
ı
O
5.2 Fonction Arccosinus
5.2.1 D´efinition
La fonction cosinus est continue et strictement d´ecroissante sur [0] qu’elle applique bijective-
ment sur [1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur [1,1], appel´ee Arccosinus
et not´ee Arccos.
y= Arccos x⇐⇒ x= cos yet y[0]
Arccos xest donc l’arc (en radians) de [0] dont le cosinus est x.
Remarque : Ona:x[1,1],cos(Arccos x)=xmais on n’a pas toujours
Arccos (cos y)=y. Ce n’est vrai que si y[0]. Par exemple, Arccos (cos 2π)=0.
5.2.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction cosinus : Arccosinus est d´efinie,
continue et strictement d´ecroissante sur [1,1]. Cette fonction est d´erivable sur ] 1,1[ et
x]1,1[,Arccos (x)= 1
1x2.
De plus, pour tout xde [1,1], on a : Arccos (x) + Arccos (x)=π. Sa courbe repr´esentative
admet donc le point de coordonn´ees (0,π
2) comme centre de sym´etrie.
emonstration :
erivabilit´e: Siy= Arccos xalors on a dy
dx =1
sin y=1
1cos2ycar y]0[ et donc
sin y>0. Et cos(Arccos x)=xdonc dy
dx =1
1x2.
Sym´etrie : [1,1] est bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arccos x, x = cos yavec
y[0] donc x=cos y= cos(πy) avec πy[0] et donc πy= Arccos (x)
soit Arccos (x)=πArccos (x).
32
5.2.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de cosinus par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un
rep`ere orthonorm´e).
y = Arccos x
ı
O
π
2
π
5.3 Fonction Arctangente
5.3.1 D´efinition
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] π
2,π
2[ qu’elle applique bijec-
tivement sur R. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur R, appel´ee Arctangente
et not´ee Arctan.
y= Arctan x⇐⇒ x= tan yet y]π
2,π
2[
Arctan xest donc l’arc (en radians) de ] π
2,π
2[ dont la tangente est x.
Remarque : On a : xR,tan(Arctan x)=xmais on n’a pas toujours Arctan (tan y)=y.
Ce n’est vrai que si y]π
2,π
2[. Par exemple, Arctan (tan 2π)=0.
5.3.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction tangente : Arctangente est d´efinie,
continue et strictement croissante sur R.
Cette fonction est de plus impaire et d´erivable sur R:xR,Arctan (x)= 1
1+x2.
emonstration :
Parit´e:Rest bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arctan x, on a x= tan yavec
y]π
2,π
2[ donc x=tan y= tan(y) avec y]π
2,π
2[ et donc
y= Arctan (x) soit Arctan (x)=Arctan (x).
erivabilit´e On utilise le th´eor`eme de d´erivation des fonctions r´eciproques.
Si y= Arctan x, on a dy
dx =1
tany=1
1 + tan2y=1
1+x2.
33
5.3.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de tangente par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un
rep`ere orthonorm´e).
y = Arctan x
ı
O
y=π
2
y=π
2
5.4 Quelques formules
Th´eor`eme 1
x[1,1],Arcsin x+Arccos x=π
2
emonstration : Soient x[1,1] et y= Arcsin x. Alors x= sin yavec y[π
2,π
2] donc
x= cos(π
2y) avec π
2y[0] et donc par d´efinition π
2y= Arccos x.
Th´eor`eme 2
x]0,+[,Arctan x+Arctan(1
x)=π
2
x]−∞,0[,Arctan x+Arctan (1
x)=π
2
emonstration : Soient x]0,+[ety= Arctan x. Alors x= tan yavec y]0,π
2[etonapar
suite 1
x=1
tan y= tan π
2yavec π
2y]0,π
2[ et donc π
2y= Arctan 1
x. La fonction
Arctan ´etant impaire, le deuxi`eme r´esultat en d´ecoule.
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