Fonctions circulaires réciproques : Arcsinus, Arccosinus, Arctangente

Chapitre 5
FONCTIONS CIRCULAIRES
RECIPROQUES
5.1 Fonction Arcsinus
5.1.1 D´efinition
La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [−π
2,π 2] qu’elle applique bijective-
ment sur [−1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur [−1,1], appel´ee Arcsinus
et not´ee Arcsin.
y= Arcsin x⇐⇒ x= sin yet y∈[−π
2,π 2]
Arcsin xest donc l’arc (en radians) de [−π
2,π 2] dont le sinus est x.
Remarque : Ona: ∀x∈[−1,1],sin(Arcsin x)=xmais on n’a pas toujours Arcsin (sin y)=y.
Ce n’est vrai que si y∈[−π
2,π 2]. Par exemple, Arcsin (sin π)=0.
5.1.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction sinus (`a l’aide des r´esultats sur les
fonctions r´eciproques) : Arcsinus est d´efinie continue et strictement croissante sur [−1,1]. Cette
fonction est de plus impaire et d´erivable sur ] −1,1[ : ∀x∈]−1,1[,Arcsin (x)= 1
√1−x2.
D´emonstration :
•Parit´e:[−1,1] est bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arcsin x, on a x= sin y
avec y∈[−π
2,π 2] donc −x=−sin y= sin(−y) avec −y∈[−π 2,π 2] et donc
−y= Arcsin (−x) soit Arcsin (−x)=−Arcsin (x).
•D´erivabilit´e : On utilise le th´eor`eme de d´erivation des fonctions r´eciproques.
Si y= Arcsin x, on a : dy
dx =1 cos y=1
1−sin2y
car y∈]−π
2,π 2[ et donc cos y>0. Et
sin y= sin(Arcsin x)=xdonc dy
dx =1
√1−x2.
5.1.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de sinus par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un rep`ere
orthonorm´e).
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y = Arcsin x
ı
O
✻
✲
5.2 Fonction Arccosinus
5.2.1 D´efinition
La fonction cosinus est continue et strictement d´ecroissante sur [0,π] qu’elle applique bijective-
ment sur [−1,1]. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur [−1,1], appel´ee Arccosinus
et not´ee Arccos.
y= Arccos x⇐⇒ x= cos yet y∈[0,π]
Arccos xest donc l’arc (en radians) de [0,π] dont le cosinus est x.
Remarque : Ona:∀x∈[−1,1],cos(Arccos x)=xmais on n’a pas toujours
Arccos (cos y)=y. Ce n’est vrai que si y∈[0,π]. Par exemple, Arccos (cos 2π)=0.
5.2.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction cosinus : Arccosinus est d´efinie,
continue et strictement d´ecroissante sur [−1,1]. Cette fonction est d´erivable sur ] −1,1[ et
∀x∈]−1,1[,Arccos (x)= −1
√1−x2.
De plus, pour tout xde [−1,1], on a : Arccos (−x) + Arccos (x)=π. Sa courbe repr´esentative
admet donc le point de coordonn´ees (0,π
2) comme centre de sym´etrie.
D´emonstration :
•D´erivabilit´e: Siy= Arccos xalors on a dy
dx =−1 sin y=−1
√1−cos2ycar y∈]0,π[ et donc
sin y>0. Et cos(Arccos x)=xdonc dy
dx =−1
√1−x2.
•Sym´etrie : [−1,1] est bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arccos x, x = cos yavec
y∈[0,π] donc −x=−cos y= cos(π−y) avec π−y∈[0,π] et donc π−y= Arccos (−x)
soit Arccos (−x)=π−Arccos (x).
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5.2.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de cosinus par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un
rep`ere orthonorm´e).
y = Arccos x
ı
O
π
2
π
✻
✲
5.3 Fonction Arctangente
5.3.1 D´efinition
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] −π
2,π 2[ qu’elle applique bijec-
tivement sur R. Elle admet donc une bijection r´eciproque d´efinie sur R, appel´ee Arctangente
et not´ee Arctan.
y= Arctan x⇐⇒ x= tan yet y∈]−π
2,π 2[
Arctan xest donc l’arc (en radians) de ] −π
2,π 2[ dont la tangente est x.
Remarque : On a : ∀x∈R,tan(Arctan x)=xmais on n’a pas toujours Arctan (tan y)=y.
Ce n’est vrai que si y∈]−π
2,π 2[. Par exemple, Arctan (tan 2π)=0.
5.3.2 Propri´et´es
Les propri´et´es suivantes se d´eduisent de celles de la fonction tangente : Arctangente est d´efinie,
continue et strictement croissante sur R.
Cette fonction est de plus impaire et d´erivable sur R:∀x∈R,Arctan (x)= 1
1+x2.
D´emonstration :
•Parit´e:Rest bien sym´etrique par rapport `a0etpoury= Arctan x, on a x= tan yavec
y∈]−π
2,π 2[ donc −x=−tan y= tan(−y) avec −y∈]−π 2,π 2[ et donc
−y= Arctan (−x) soit Arctan (−x)=−Arctan (x).
•D´erivabilit´e On utilise le th´eor`eme de d´erivation des fonctions r´eciproques.
Si y= Arctan x, on a dy
dx =1 tany=1 1 + tan2y=1 1+x2.
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5.3.3 Repr´esentation
Elle se d´eduit de celle de tangente par sym´etrie par rapport `a la premi`ere bissectrice (dans un
rep`ere orthonorm´e).
y = Arctan x
ı
O
y=π
2
y=−π
2
✻
✲
5.4 Quelques formules
Th´eor`eme 1
∀x∈[−1,1],Arcsin x+Arccos x=π
2
D´emonstration : Soient x∈[−1,1] et y= Arcsin x. Alors x= sin yavec y∈[−π
2,π 2] donc
x= cos(π
2−y) avec π 2−y∈[0,π] et donc par d´efinition π 2−y= Arccos x.
Th´eor`eme 2
∀x∈]0,+∞[,Arctan x+Arctan(1
x)=π 2
∀x∈]−∞,0[,Arctan x+Arctan (1
x)=−π 2
D´emonstration : Soient x∈]0,+∞[ety= Arctan x. Alors x= tan yavec y∈]0,π
2[etonapar
suite 1
x=1 tan y= tan π 2−yavec π 2−y∈]0,π 2[ et donc π 2−y= Arctan 1 x. La fonction
Arctan ´etant impaire, le deuxi`eme r´esultat en d´ecoule.
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