Notion de bijection, de nouvelles fonctions usuelles

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017
Programme de colle n°5 de la semaine n°8 et 9 du 03/11 au 09/11
Notion de bijection. De nouvelles fonctions de référence
Dans tout le chapitre E et F désignent des parties de R et les fonctions considérées sont réelles. Nous
généraliserons plus tard dans l’année le concept de bijection pour des applications quelconques.
Questions de cours
1. f : x 7→
x+3
x−2
est une bijection de R \ {2} vers R \ {1} et f −1 : x 7→
2x+3
x−1 .
1
+
2. g : x 7→ e−x + 1+x
sur [0, 2[, on a g(0) = 2, g ′ (0) = −1 donc g −1 dérivable en 2 et
2 bijective de R
1
−1 ′
(g ) (2) = g′ (0) = −1.
3. Pour x ∈ [−1, 1], sin(arccos x) = cos(arcsin x) =
4. arcsin′ (x) =
1
√ 1
P ourx>0,
1−x2
arctan x + arctan
p
1 − x2 .
π
1
=
x
2
Notion de bijection et de fonction réciproque
1.1
Vocabulaire
5. Définition 1 Une fonction f : E → F est dite bijective si tout élément de F admet un unique antécédent
dans E par f . Cela revient à dire que pour tout y ∈ F , il existe un unique x ∈ E tel que f (x) = y. Cet élément
x est noté f −1 (y). On définit ainsi l’application réciproque de f notée f −1 de F dans E qui à un élément y
associe son unique antécédent par f .
On a alors par définition,
∀x ∈ E, f −1 (f (x)) = x et
∀y ∈ F, f (f −1 (y)) = y.
De plus les courbes Γf et Γf −1 de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x, car
pour tout x ∈ E et y ∈ F , on a :
(x, y) ∈ Γf ⇐⇒ y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y) ⇐⇒ (y, x) ∈ Γf −1 .
Exemples modèles :
• la fonction carrée est une bijection de R+ sur R+ et la fonction racine carrée est sa fonction réciproque.
• la fonction ln :]0 + ∞[→ R est bijective et son application réciproque est exp : R →]0, +∞[.
1.2
Comment prouver qu’une fonction f : E → F est bijective ?
1. Méthode 1 algébrique : montrer que tout élément y de F , admet un unique antécédent x dans E par f ,
c’est résoudre l’équation f (x) = y d’inconnue x (on doit trouver une unique solution). L’expression de x
en fonction de y donne alors l’expression de la fonction réciproque.
2. Méthode 2 avec de l’analyse : (corollaire du TVI) : si f est continue et strictement monotone sur un
intervalle I, alors f est une bijection de I sur l’intervalle f (I). Par exemple :
• si f : [a, b] → R est continue et strictement décroissante, alors f est une bijection de [a, b] sur
[f (b), f (a)]
• si f : [a, b[→ R est continue et strictement croissante, alors f est une bijection de [a, b[ sur [f (a), limb f [.
Attention cette méthode donne l’existence de la fonction réciproque mais ne permet pas d’obtenir son
expression.
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Exemples :
• (*) f : x 7→
x+3
x−2
est une bijection de R \ {2} vers R \ {1} et f −1 : x 7→
2x+3
x−1 .
1
+
dans g(R) = [0, +2[ car f est continue et strictement
• g : x 7→ e−x + 1+x
2 est une bijection de R
décroissante sur R (somme) et a pour limites ...
√
• Les fonctions racines n-ièmes x 7→ n x :
Si n est impair, la fonction f : x 7→ xn est une √
bijection de R sur R. Cela revient à dire que tout réel
1
1
x admet une√unique racine n-ième réelle, notée n x. Comme on a aussi (x n )n = x n ×n = x1 = x, on en
1
1
−1
n
déduit que x = x n . La fonction réciproque est donc f : x 7→ x n .
Si n est pair, la fonction x 7→ xn est une bijection de R+ sur R+ , on note x 7→ x1/n sa fonction réciproque.
1.3
Qualités conservées par une application réciproque
Le tableau suivant résume les théorèmes ci-dessous : soit f : I → J bijective.
f croissante sur I
f est continue sur I
f est dérivable en a ∈ I et f ′ (a) 6= 0
f est impaire
f −1
f −1 croissante sur J
f −1 est continue sur J
est dérivable en b = f (a) et (f −1 )′ (b) =
f −1 est impaire
1
f ′ (a)
On admet pour le moment les théorèmes suivants utiles pour toute la suite du chapitre (nous les démontrerons
plus tard dans l’année) :
Théorème 2 (Théorème de la bijection monotone) Toute fonction f continue et strictement monotone
sur un intervalle I est bijective de I sur l’intervalle J = f (I) et sa fonction réciproque f −1 est continue sur J
et possède la même monotonie que f .
Théorème 3 (Théorème de dérivation des fonctions réciproques) Si de plus, f est dérivable en a ∈ I
avec f ′ (a) 6= 0, alors f −1 est dérivable en b = f (a) et on a
(f −1 )′ (b) =
1
f′
(f −1 (b))
.
Remarques :
• si f bijective, une tangente horizontale en a (resp. horizontale) pour f donnera une tangente verticale en
b = f (a) (resp. horizontale) pour f −1 par la symétrie par rapport à la droite d’équation y = x.
• pour retrouver la formule précédente, on peut dériver la relation f −1 (f (x)) = x, ce qui donne par dérivation
de fonctions composées :
(f −1 )′ (f (x)) × f ′ (x) = 1 donc (f −1 )′ (f (x)) =
1
.
f ′ (x)
Exemples :
• (*) si on reprend g : x 7→ e−x +
1
g ′ (0) = −1.
1
1+x2 ,
on a g(0) = 2, g ′ (0) = −1 donc g −1 dérivable en 2 et (g −1 )′ (2) =
• h : x 7→ (x − 1)5 bijection de R dans R, h(1) = 0 et h′ (1) = 0, donc h−1 n’est pas dérivable en 0 et sa
courbe présente une tangente verticale.
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Fonctions circulaires réciproques
1. Fonctions arcsin et arccos.
À savoir absolument :
• Comment sont-elles définies ? (merci théorème de la bijection). Quelles sont leur variation, leur parité ?
• Savoir calculer cos(arccos x) ou arccos(cos x) selon les valeurs de x (idem avec sin).
p
• (*) Pour x ∈ [−1, 1], sin(arccos x) = cos(arcsin x) = 1 − x2 .
• arcsin et arccos sont dérivables sur ]−1, 1[ (et non pas sur [−1, 1], ce sont des fonctions «méchantes»).
On a
1
1
et arccos′ (x) = − √
(∗) arcsin′ (x) = √
.
2
1−x
1 − x2
2. Fonction tangente
On pose pour x 6=
π
2
mod π,
tan x =
sin x
cos x .
tan est π-périodique, impaire, il suffit de l’étudier sur ] − π2 , π2 [. Elle est dérivable (quotient) et
tan′ (x) =
1
= 1 + tan2 x.
cos2 x
Elle est donc continue et strictement croissante sur I =] − π2 , π2 [, elle réalise donc une bijection de I sur
tan(I) = R.
On a la formule d’addition
tan(a + b) =
tan a + tan b
.
1 − tan a tan b
3. Fonction arctangente
On note arctan la fonction réciproque de tan restreinte à ] − π2 , π2 [. Elle est définie sur R, impaire car tan|I
1
.
l’est, et croissante. Elle est dérivable et arctan′ (x) =
1 + x2
On en déduit un nouvel équivalent usuel : arctan x ∼0 x .
(*) Pour x > 0, arctan x + arctan
3
π
1
=
. (ramène l’étude de arctan à l’infini à son étude en 0).
x
2
Fonctions hyperboliques
1. Fonctions sinus, cosinus hyperboliques
On pose
∀x ∈ R, ch x =
ex + e−x
2
et
sh x =
ex − e−x
.
2
Les fonctions ch et sh sont dérivables sur R et on a ch′ = sh et sh′ = ch . On en déduit leur variation. Il
faut connaître les limites et le graphe.
Remarque : On a les équivalents suivants :
ch x ∼+∞
ex
2
et
sh x ∼+∞
ex
.
2
On a la relation suivante de trigonométrie hyperbolique :
∀t ∈ R, ch2 t − sh2 t = 1 .
Cette relation s’interprète graphiquement : le point de coordonnées (ch t, sh t) est sur l’hyperbole d’équation
x2 − y 2 = 1.
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2. Fonction tangente hyperbolique. On pose pour x ∈ R,
th dérivable et
∀x ∈ R, th′ (x) =
th(x) =
sh x
.
ch x
1
= 1 − th2 x .
ch2 x
La fonction th réalise une bijection de R sur ] − 1, 1[.
Remarque : les fonctions hyperboliques réciproques ne sont plus au programme. On peut néanmoins les
aborder en exercice.