301 ARITHMETIQUE Leçon 1

301 ARITHMETIQUE Leçon 1
I. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS
a) Diviseurs communs
Exemple : 18 = 6 x 3 On dit que 6 et 3 sont …
Et que 18 est un …
Compléter 18 = 1 x = 2 x = 3 x
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 :
Puis celle de tous les diviseurs de 12 :
Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 :
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
b) PGCD
Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Ainsi PGCD(12 ; 18) =
Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72) Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16)
Diviseurs de 56 : Diviseurs de 15 :
Diviseurs de 72 : Diviseurs de 16 :
Diviseurs communs à 56 et à 72 : Diviseurs communs à 15 et à 16 :
PGCD (56 ; 72) = PGCD (15 ; 16) =
Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1
par contre 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (5 ; 15) = 5
Remarque : lorsqu’il s’agit de « petits nombres » comme précédemment, on peut faire la liste des
diviseurs, mais dans les cas plus compliqués on utilise un autre procédé.

301 ARITHMETIQUE Leçon 2
II. RECHERCHE DU PGCD
L’algorithme d’EUCLIDE
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a) ,
alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70)
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14
Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198)
III. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
Définition : Une fraction
a
b
est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
Exemple : la fraction
7
11
est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1
Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
b
en une seule simplification, on calcule
le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD.
Exercices :  Simplifier
357
561
,
235
534
,
319
407
avec l’algorithme d’Euclide et vérifier votre réponse à l’aide
d’une calculatrice.
 Simplifier
109891236
1797523
Exercices : 28 à 32 p.14.
IV. EN SAVOIR PLUS…
a) Nombre premier
Définition : Un nombre est premier lorsqu’il est divisible par le nombre 1 et par lui même.
Ex : 2, 3, 5, 7 …
b) Ensembles de nombres
Faire un schéma et conclure avec
D
(cf p.11).
a b r
294 70 14 -> On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14)
70 14 0 -> On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0)