301 ARITHMETIQUE Leçon 1

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ARITHMETIQUE
Leçon 1
I. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS
a) Diviseurs communs
Exemple : 18 = 6 x 3
Compléter 18 = 1 x
On dit que 6 et 3 sont …
Et que 18 est un …
=2x
=3x
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 :
Puis celle de tous les diviseurs de 12 :
Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b.
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 :
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
b) PGCD
Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
Ainsi PGCD(12 ; 18) =
Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72)
Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16)
Diviseurs de 56 :
Diviseurs de 72 :
Diviseurs de 15 :
Diviseurs de 16 :
Diviseurs communs à 56 et à 72 :
Diviseurs communs à 15 et à 16 :
PGCD (56 ; 72) =
PGCD (15 ; 16) =
Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1
par contre 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (5 ; 15) = 5
Remarque : lorsqu’il s’agit de « petits nombres » comme précédemment, on peut faire la liste des
diviseurs, mais dans les cas plus compliqués on utilise un autre procédé.
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Leçon 2
II. RECHERCHE DU PGCD
L’algorithme d’EUCLIDE
Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a) ,
alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70)
a
b
r
294
70
14
-> On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14)
70
14
0
-> On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0)
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14
Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198)
III. FRACTIONS IRREDUCTIBLES
a
est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
b
Définition : Une fraction
Exemple : la fraction
7
est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1
11
Propriété : Pour rendre irréductible une fraction
a
en une seule simplification, on calcule
b
le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD.
Exercices : Simplifier
357 235 319
,
,
avec l’algorithme d’Euclide et vérifier votre réponse à l’aide
561 534 407
d’une calculatrice.
Simplifier
109891236
1797523
Exercices : 28 à 32 p.14.
IV. EN SAVOIR PLUS…
a) Nombre premier
Définition : Un nombre est premier lorsqu’il est divisible par le nombre 1 et par lui même.
Ex : 2, 3, 5, 7 …
b) Ensembles de nombres
Faire un schéma et conclure avec D (cf p.11).