Le coefficient multiplicateur associé aux deux augmentations

Lycée Camille SEE
Septembre 2011 CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE Tle ES
EXERCICE 1
PARTIE A
1. Le prix d’un article subit une première augmentation de 20% puis une seconde augmentation de 30%. Le prix de l’article a augmenté globalement
de :
Le coefficient multiplicateur associé aux deux augmentations successives est :
1,2×1,3=1,56
Donc le prix de l’article a augmenté de 56%
2. Une baisse de 25% est compensée par une hausse, arrondie à l’unité, de :
Soit xle coefficient multiplicateur associé à la hausse alors, xest solution de l’équation
0,75×x=1⇔x=1
0,75 ≈1,33
Une baisse de 25% est compensée par une hausse d’environ 33%
3. La population d’une ville a augmenté de 7% en 2006, de 5% en 2007 et de 6% en 2008. L’augmentation de la population de cette ville sur la période
2006-2008 est, arrondie à 1% près, égale à :
Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d’évolution de la population de cette ville sur la période
2006-2008 est : 1,07×1,05×1,06 ≈1,19
Sur la période 2006-2008, la population de cette ville a augmenté d’environ 19 %
4. Le prix TTC (toutes taxes comprises) d’un article est 299C. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6%, son prix HT (hors taxes) est :
Soit xle prix HT de cet article alors, xest solution de l’équation
1,196×x=299 ⇔x=299
1,196 =250
Le prix HT de cet article est de 250C
5. Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006. Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à
2006 est de :
Le taux du pourcentage d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est de :
139860−157500
157500 ×100 =−11,2
De 2002 à 2006, la population a diminué de 11,2%
6. On admet que le chiffre d’affaire d’une entreprise augmentera régulièrement de 3,2% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité
près, de :
Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d’évolution sur 10 ans :
1,03210 ≈1,37
Sur une période de 10 ans, le chiffre d’affaire de l’entreprise a augmenté d’environ 37%
7. En 20 ans, la population d’une commune rurale a augmenté de 40%. Le taux d’accroissement moyen annuel, arrondi à 10−2est de :
1,0220 ≈1,486, 1,00220 ≈1,041 et 1,01720 ≈1,40
Avec un taux d’accroissement moyen annuel de 1,7%, en 20 ans, la population d’une commune rurale a
augmenté de 40%.
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PARTIE B
1. On lance un dé cubique équilibré. La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est :
Sur un dé cubique, 3 et 6 sont les deux faces numérotées par un multiple de 3. Donc la probabilité de
l’évènement E« obtenir une face numérotée par un multiple de 3 » est :
p(E) = 2
6=1 3
La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est égale à 1
3
2. Soient Aet Bdeux évènements tels que p(A) = 0,2, p(B) = 0,3 et p(A∩B) = 0,1; alors :
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)d’où p(A∪B) = 0,2+0,3−0,1=0,4. Donc p(A∪B) = 0,4.
3. Soient Aet Bdeux évènements tels que p(A) = 0,4, p(B) = 0,3 et p(A∩B) = 0,2; alors :
p(A) = p(A∪B) + pA∩B⇔pA∩B=p(A)−p(A∪B)
d’où pA∩B=0,4−0,2=0,2.Donc pA∩B=0,2.
4. Aet Bdeux évènements d’un univers tels que p(A) = 0,3, p(B) = 0,4 et p(A∪B) = 0,5; alors :
p(A∪B) = p(A) + p(B)−p(A∩B)⇔p(A∩B) = p(A) + p(B)−p(A∪B)
d’où p(A∩B) = 0,3+0,4−0,5=0,2. Donc p(A∩B) = 0,2
5. Soient Aet Bdeux évènements. Il est possible que :
p(A) = 0,8 et p(B) = 0,4 et p(A∩B) = 0,1
p(A∪B) = p(A)+ p(B)−p(A∩B)d’où p(A∪B) = 0,8+0,4−0,1=1,1. Soit p(A∪B)>1. Impossible!
p(A) = 0,7 et p(B) = 0,5 et p(A∩B) = 0,2
p(A∪B) = 0,7+0,5−0,2=1. Possible car p(A∪B) = 1
p(A) = 0,8 et p(B) = 0,9 et p(A∪B) = 1,7
Impossible car p(A∪B)>1
Les élèves de trois classes de terminale ES (désignées par TES1, TES2 et TES3) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en Math , SES,
LV) de la façon suivante : TES1 TES2 TES3 Total
Math 22 0 0
Spécialité SES 8 14 28
LV 4 18 32
Total 24 24
On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les deux questions suivantes :
6. La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la TES1 est égale à :
22 élèves suivent l’enseignement de spécialité Math, 28 élèves suivent l’enseignement de spécialité SES et
32 élèves suivent l’enseignement de spécialité LV. Il y a donc 82 élèves en terminale ES.
Le nombre d’élèves de la terminale TES1 est 34 (22+8+4=34)
La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la TES1 est égale à :
p(TES1) = 34
82 =17 41
7. La probabilité que l’élève interrogé suive l’enseignement de spécialité SES ou appartienne à la TES1 est égale à :
p(TES1∪SES) = p(TES1) + p(SES)−p(TES1∩SES)
Or 8 élèves de TES1 suivent l’enseignement de spécialité SES et 28 élèves suivent l’enseignement de
spécialité SES donc :
p(TES1∪SES) = 17
41 +28 82 −8 82 =27 41
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PARTIE C
1. On considère la fonction fdéfinie sur ]−1;+∞[par f(x) = 3−2x−2
x+1. L’équation f(x) = 0 admet :
Pour tout réel xde l’intervalle ]−1;+∞[,
3−2x−2
x+1=(3−2x)(x+1)−2 x+1=−2x2+3x−2x+3−2 x+1=−2x2+x+1 x+1
Cherchons les racines du polynôme du second degré −2x2+x+1 avec a=−2, b=1 et c=1
Le dicriminant ∆=b2−4ac soit ∆=1+8=9. ∆>0 donc le polynôme admet deux racines :
x1=−b−√∆
2aSoit x1=−1−3 −4=1
x2=−b+√∆
2aSoit x2=−1+3 −4=−1 2
Or −1
2∈]−1;+∞[et 1 ∈]−1;+∞[donc
L’équation f(x) = 0 admet deux solutions S=−1
2;1
2. On considère la fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = 1+3x+1
x2+1:
Pour tout réel x,
1+3x+1
x2+1=x2+1+3x+1 x2+1=x2+3x+2 x2+1
Or pour tout réel x,x2+1>0. Par conséquent, f(x)est du même signe que le polynôme du second degré
x2+3x+2 avec a=1, b=3 et c=2
Le dicriminant ∆=b2−4ac soit ∆=9−8=1. ∆>0 donc le polynôme admet deux racines :
x1=−b−√∆
2aSoit x1=−3−1 2=−2
x2=−b+√∆
2aSoit x2=−3+1 2=−1
Un polynôme du second degré est du signe de asauf pour les valeurs comprises entre les racines. D’où le
tableau établissant le signe de f(x)
x−∞−2−1+∞
Signe de f(x) = x2+3x+2
x2+1+|
0
|−|
0
|+
Ainsi, f(x)<0 sur ]−2;−1[
3. On considère la fonction fdéfinie sur ]0;+∞[par f(x) = 2x−1+1
2x. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction fadmet
au voisinage de +∞:
lim
x→+∞
1
2x=0 et lim
x→+∞2x−1= +∞alors par somme lim x→+∞f(x) = +∞.
Or f(x)−(2x−1) = 1
2xet lim
x→+∞
1
2x=0 donc :
La courbe représentative de la fonction fadmet au voisinage de +∞la droite d’équation y=2x−1 comme
asymptote oblique.
4. On considère la fonction fdéfinie sur ]0;+∞[par f(x) = x2−1
2x. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de fau
point d’abscisse 1 est :
Pour tout réel xde l’intervalle ]0;+∞[, posons :
u(x) = x2−1 d’où u′(x) = 2x
v(x) = 2xd’où v′(x) = 2Page 3 sur 14

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Par conséquent, f=u
vet f′=u′v−uv′ v2. Soit pour tout réel xde l’intervalle ]0;+∞[
f′(x) = 2x×2x−2×x2−1
(2x)2
=4x2−2x2+2
4x2
=x2+1
2x2
Une équation de la tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1 est :
y=f′(1)(x−1) + f(1)
Or f′(1) = 1+1
2=1 et f(1) = 1−1 2=0. Donc :
la tangente à la courbe représentative de fau point d’abscisse 1 a pour équation y=x−1
5. On considère les fonctions fet gdéfinies sur Rpar f(x) = x2−4x+2,5 et g(x) = 2−px2+0,5 . On donne ci-dessous les courbes représentatives
de ces deux fonctions dans un repère orthogonal.
Dans R, l’équation x2−4x+2,5=2−px2+0,5 admet :
1
2
3
-1
-2
1 2 3 4-1-2-3-4 0x
y
x1
x2
Graphiquement, les solutions de l’équation x2−4x+2,5=2−px2+0,5 sont les abscisses des points
d’intersection des courbes représentatives des fonctions fet g.
Par conséquent, dans R, l’équation x2−4x+2,5=2−px2+0,5 admet deux solutions positives
Soit fune fonction définie et dérivable sur R. On note f′la fonction dérivée de la fonction fsur R. On a tracé ci-dessous, sa courbe représentative notée
Cfdans un repère orthogonal.
1
2
3
4
5
-1
-2
1 2 3 4-1-2-3 0x
y
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Septembre 2011 CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE Tle ES
On sait que :
– la courbe Cfadmet pour asymptote l’axe des abscisses;
– les tangentes à la courbe Cfaux points d’abscisses −2 et 1 sont parallèles à l’axe des abscisses;
– la tangente à la courbe Cfau point d’abscisses 2 passe par le point de coordonnées (3,5;0).
Les données précédentes sont à utiliser pour les cinq questions suivantes :
Le nombre dérivé f′(a)est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe Cfau point d’abscisse a.
6. les tangentes à la courbe Cfaux points d’abscisses −2 et 1 sont parallèles à l’axe des abscisses d’où
f′(−2) = 0 et f′(1) = 0. Donc f′(−2) = f′(1)
7. La tangente à la courbe Cfau point de coordonnées (2;3)passe par le point de coordonnées (3,5;0). D’où
f′(2) = 3−0
2−3,5=−2
8. Sur l’intervalle [−2;−1]la fonction fest croissante donc f′(x)>0 sur [−2;−1]
9. la courbe Cfadmet pour asymptote l’axe des abscisses donc lim
x→−∞f(x) = 0
10. Soit gla fonction définie sur ]−1;+∞[par g(x) = 1
f(x).
Les fonctions fet 1
font des variations contraires sur tout intervalle où la fonction fne s’annule pas.
Donc gest croissante sur l’intervalle [1;+∞[
EXERCICE 2
Résoudre dans R:
1. 6x2−3=7x⇔6x2−7x−3=0. Équation du second degré avec a=6, b=−7 et c=−3
Le discriminant ∆=b2−4ac soit ∆=49+72 =121. ∆>0 donc l’équation admet deux solutions :
x1=−b−√∆
2aSoit x1=7−11 12 =−1 3
x2=−b+√∆
2aSoit x2=7+11 12 =3 2
L’ensemble des solutions de l’équation 6x2−3=7xest S=−1
3;3 2
2. Pour tout réel x, 2x263−x⇔2x2+x−360.
Étudions le signe du polynôme du second degré P(x) = 2x2+x−3 avec a=2, b=1 et c=−3
∆=b2−4ac soit ∆=1+24 =25. ∆>0 donc le polynôme admet deux racines :
x1=−b−√∆
2aSoit x1=−1−5 4=−3 2
x2=−b+√∆
2aSoit x2=−1+5 4=1
Un polynôme du second degré est du signe de asauf pour les valeurs comprises entre les racines. D’où le
tableau établissant le signe de P(x):
x−∞−3
21+∞
Signe de P(x) = 2x2+x−3+| 0
|−|
0
|+
L’ensemble solution de l’inéquation 2x263−xest S=−3
2;1
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