Le coefficient multiplicateur associé aux deux augmentations

Lycée Camille SEE
Septembre 2011
EXERCICE
Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
1
PARTIE A
1.
Le prix d’un article subit une première augmentation de 20% puis une seconde augmentation de 30%. Le prix de l’article a augmenté globalement
de :
Le coefficient multiplicateur associé aux deux augmentations successives est :
1,2 × 1,3 = 1,56
Donc le prix de l’article a augmenté de 56%
2.
Une baisse de 25% est compensée par une hausse, arrondie à l’unité, de :
Soit x le coefficient multiplicateur associé à la hausse alors, x est solution de l’équation
0,75 × x = 1 ⇔ x =
1
≈ 1,33
0,75
Une baisse de 25% est compensée par une hausse d’environ 33%
3.
La population d’une ville a augmenté de 7% en 2006, de 5% en 2007 et de 6% en 2008. L’augmentation de la population de cette ville sur la période
2006-2008 est, arrondie à 1% près, égale à :
Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d’évolution de la population de cette ville sur la période
2006-2008 est :
1,07 × 1,05 × 1,06 ≈ 1,19
Sur la période 2006-2008, la population de cette ville a augmenté d’environ 19 %
4.
Le prix TTC (toutes taxes comprises) d’un article est 299C. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6%, son prix HT (hors taxes) est :
Soit x le prix HT de cet article alors, x est solution de l’équation
1,196 × x = 299 ⇔ x =
299
= 250
1,196
Le prix HT de cet article est de 250 C
5.
Le nombre d’habitants d’une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006. Le taux d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à
2006 est de :
Le taux du pourcentage d’évolution du nombre d’habitants de cette ville de 2002 à 2006 est de :
139860 − 157500
× 100 = −11,2
157500
De 2002 à 2006, la population a diminué de 11,2%
6.
On admet que le chiffre d’affaire d’une entreprise augmentera régulièrement de 3,2% par an. Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité
près, de :
Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d’évolution sur 10 ans :
1,03210 ≈ 1,37
Sur une période de 10 ans, le chiffre d’affaire de l’entreprise a augmenté d’environ 37%
7.
En 20 ans, la population d’une commune rurale a augmenté de 40%. Le taux d’accroissement moyen annuel, arrondi à 10−2 est de :
1,0220 ≈ 1,486, 1,00220 ≈ 1,041 et 1,01720 ≈ 1,40
Avec un taux d’accroissement moyen annuel de 1,7%, en 20 ans, la population d’une commune rurale a
augmenté de 40%.
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Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
PARTIE B
1.
On lance un dé cubique équilibré. La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est :
Sur un dé cubique, 3 et 6 sont les deux faces numérotées par un multiple de 3. Donc la probabilité de
l’évènement E « obtenir une face numérotée par un multiple de 3 » est :
p(E) =
2 1
=
6 3
La probabilité d’obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est égale à
2.
3.
4.
5.
1
3
Soient A et B deux évènements tels que p(A) = 0,2, p(B) = 0,3 et p (A ∩ B) = 0,1 ; alors :
p (A ∪ B) = p(A) + p(B) − p (A ∩ B) d’où p (A ∪ B) = 0,2 + 0,3 − 0,1 = 0,4. Donc p (A ∪ B) = 0,4.
Soient A et B deux évènements tels que p(A) = 0,4, p(B) = 0,3 et p (A ∩ B) = 0,2 ; alors :
p(A) = p (A ∪ B) + p A ∩ B ⇔ p A ∩ B = p(A) − p (A ∪ B)
d’où p A ∩ B = 0,4 − 0,2 = 0,2.Donc p A ∩ B = 0,2.
A et B deux évènements d’un univers tels que p(A) = 0,3, p(B) = 0,4 et p (A ∪ B) = 0,5 ; alors :
p (A ∪ B) = p(A) + p(B) − p (A ∩ B) ⇔ p (A ∩ B) = p(A) + p(B) − p (A ∪ B)
d’où p (A ∩ B) = 0,3 + 0,4 − 0,5 = 0,2. Donc p (A ∩ B) = 0,2
Soient A et B deux évènements. Il est possible que :
p(A) = 0,8 et p(B) = 0,4 et p (A ∩ B) = 0,1
p (A ∪ B) = p(A)+ p(B)− p (A ∩ B) d’où p (A ∪ B) = 0,8+0,4−0,1 = 1,1. Soit p (A ∪ B) > 1. Impossible !
p(A) = 0,7 et p(B) = 0,5 et p (A ∩ B) = 0,2
p (A ∪ B) = 0,7 + 0,5 − 0,2 = 1. Possible car p (A ∪ B) = 1
p(A) = 0,8 et p(B) = 0,9 et p (A ∪ B) = 1,7
Impossible car p (A ∪ B) > 1
Les élèves de trois classes de terminale ES (désignées par TES1, TES2 et TES3) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en Math , SES,
LV) de la façon suivante :
TES1
TES2
TES3
Total
Math
22
0
0
Spécialité
SES
8
14
28
LV
4
18
32
Total
24
24
On interroge un élève au hasard. Les données précédentes sont à utiliser pour les deux questions suivantes :
6.
La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la TES1 est égale à :
22 élèves suivent l’enseignement de spécialité Math, 28 élèves suivent l’enseignement de spécialité SES et
32 élèves suivent l’enseignement de spécialité LV. Il y a donc 82 élèves en terminale ES.
Le nombre d’élèves de la terminale TES1 est 34 (22 + 8 + 4 = 34)
La probabilité que l’élève interrogé appartienne à la TES1 est égale à :
p (TES1) =
7.
34 17
=
82 41
La probabilité que l’élève interrogé suive l’enseignement de spécialité SES ou appartienne à la TES1 est égale à :
p (TES1 ∪ SES) = p (TES1) + p (SES) − p (TES1 ∩ SES)
Or 8 élèves de TES1 suivent l’enseignement de spécialité SES et 28 élèves suivent l’enseignement de
spécialité SES donc :
8
27
17 28
+ −
=
p (TES1 ∪ SES) =
41 82 82 41
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Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
PARTIE C
1.
On considère la fonction f définie sur ]−1; +∞[ par f (x) = 3 − 2x −
2
. L’équation f (x) = 0 admet :
x+1
Pour tout réel x de l’intervalle ]−1; +∞[,
3 − 2x −
(3 − 2x)(x + 1) − 2 −2x2 + 3x − 2x + 3 − 2 −2x2 + x + 1
2
=
=
=
x+1
x+1
x+1
x+1
Cherchons les racines du polynôme du second degré −2x2 + x + 1 avec a = −2, b = 1 et c = 1
Le dicriminant ∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 1 + 8 = 9. ∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
√
−b − ∆
−1 − 3
x1 =
Soit
x1 =
=1
2a
−4
√
−b + ∆
−1 + 3
1
x2 =
Soit
x2 =
=−
2a
−4
2
1
Or − ∈ ]−1; +∞[ et 1 ∈ ]−1; +∞[ donc
2
1
L’équation f (x) = 0 admet deux solutions S = − ; 1
2
2.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 1 +
3x + 1
:
x2 + 1
Pour tout réel x ,
1+
3x + 1 x2 + 1 + 3x + 1 x2 + 3x + 2
=
=
x2 + 1
x2 + 1
x2 + 1
Or pour tout réel x, x2 + 1 > 0. Par conséquent, f (x) est du même signe que le polynôme du second degré
x2 + 3x + 2 avec a = 1, b = 3 et c = 2
Le dicriminant ∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 9 − 8 = 1. ∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
√
−b − ∆
−3 − 1
x1 =
Soit
x1 =
= −2
2a
2
√
−3 + 1
−b + ∆
Soit
x2 =
= −1
x2 =
2a
2
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. D’où le
tableau établissant le signe de f (x)
−∞
x
Signe de f (x) =
3.
x2 +3x+2
x2 +1
−2
+
Ainsi, f (x) < 0 sur ]−2; −1[
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 2x − 1 +
−1
|
−
0
|
|
0
|
+∞
+
1
. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f admet
2x
au voisinage de +∞ :
lim
1
x→+∞ 2x
= 0 et lim 2x − 1 = +∞ alors par somme lim f (x) = +∞.
x→+∞
x→+∞
1
1
Or f (x) − (2x − 1) =
et lim
= 0 donc :
2x x→+∞ 2x
La courbe représentative de la fonction f admet au voisinage de +∞ la droite d’équation y = 2x − 1 comme
asymptote oblique.
4.
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) =
x2 − 1
. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au
2x
point d’abscisse 1 est :
Pour tout réel x de l’intervalle ]0; +∞[, posons :
u(x) = x2 − 1 d’où
v(x) = 2x
d’où
u′ (x) = 2x
v′ (x) = 2
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
u′ v − uv′
u
et f ′ =
. Soit pour tout réel x de l’intervalle ]0; +∞[
v
v2
2x × 2x − 2 × x2 − 1
′
f (x) =
(2x)2
2
2
4x − 2x + 2
=
4x2
x2 + 1
=
2x2
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
Par conséquent, f =
y = f ′ (1)(x − 1) + f (1)
1−1
1+1
= 1 et f (1) =
= 0. Donc :
2
2
la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 a pour équation y = x − 1
Or f ′ (1) =
5.
On considère les fonctions f et g définies sur R par f (x) = x2 − 4x + 2,5 et g(x) = 2 −
de ces deux fonctions dans un repère orthogonal.
p
Dans R , l’équation x2 − 4x + 2,5 = 2 − x2 + 0,5 admet :
p
x2 + 0,5 . On donne ci-dessous les courbes représentatives
y
3
2
b
1
x2
-4
-3
-2
-1
0
x1
1
2
3
4
x
b
-1
-2
p
Graphiquement, les solutions de l’équation x2 − 4x + 2,5 = 2 − x2 + 0,5 sont les abscisses des points
d’intersection des courbes représentatives des fonctions p
f et g.
2
Par conséquent, dans R , l’équation x − 4x + 2,5 = 2 − x2 + 0,5 admet deux solutions positives
Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur R. On a tracé ci-dessous, sa courbe représentative notée
C f dans un repère orthogonal.
y
5
b
4
3
b
2
1
-3
-2
b
-1
0
1
2
3
4
x
-1
-2
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Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
On sait que :
– la courbe C f admet pour asymptote l’axe des abscisses ;
– les tangentes à la courbe C f aux points d’abscisses −2 et 1 sont parallèles à l’axe des abscisses ;
– la tangente à la courbe C f au point d’abscisses 2 passe par le point de coordonnées (3,5; 0).
Les données précédentes sont à utiliser pour les cinq questions suivantes :
Le nombre dérivé f ′ (a) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe C f au point d’abscisse a.
6. les tangentes à la courbe C f aux points d’abscisses −2 et 1 sont parallèles à l’axe des abscisses d’où
f ′ (−2) = 0 et f ′ (1) = 0. Donc f ′ (−2) = f ′ (1)
7. La tangente à la courbe C f au point de coordonnées (2; 3) passe par le point de coordonnées (3,5; 0). D’où
f ′ (2) =
3−0
= −2
2 − 3,5
8. Sur l’intervalle [−2; −1] la fonction f est croissante donc f ′ (x) > 0 sur [−2; −1]
9. la courbe C f admet pour asymptote l’axe des abscisses donc lim f (x) = 0
x→−∞
10.
1
Soit g la fonction définie sur ]−1; +∞[ par g(x) =
.
f (x)
1
ont des variations contraires sur tout intervalle où la fonction f ne s’annule pas.
f
Donc g est croissante sur l’intervalle [1; +∞[
Les fonctions f et
EXERCICE
2
Résoudre dans R :
1. 6x2 − 3 = 7x ⇔ 6x2 − 7x − 3 = 0. Équation du second degré avec a = 6, b = −7 et c = −3
Le discriminant ∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 49 + 72 = 121. ∆ > 0 donc l’équation admet deux solutions :
√
7 − 11
1
−b − ∆
Soit
x1 =
=−
x1 =
2a
12
3
√
7 + 11 3
−b + ∆
Soit
x2 =
=
x2 =
2a
12
2
1 3
L’ensemble des solutions de l’équation 6x2 − 3 = 7x est S = − ;
3 2
2
2
2. Pour tout réel x, 2x 6 3 − x ⇔ 2x + x − 3 6 0.
Étudions le signe du polynôme du second degré P(x) = 2x2 + x − 3 avec a = 2, b = 1 et c = −3
∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 1 + 24 = 25. ∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
√
−1 − 5
3
−b − ∆
Soit
x1 =
=−
x1 =
2a
4
2
√
−1 + 5
−b + ∆
Soit
x2 =
=1
x2 =
2a
4
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. D’où le
tableau établissant le signe de P(x) :
x
−∞
Signe de P(x) = 2x2 + x − 3
L’ensemble solution de l’inéquation
−
|
+
2x2
3
2
0
|
+∞
1
−
|
0
|
+
3
6 3 − x est S = − ; 1
2
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EXERCICE
1.
Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
3
Soit P la parabole d’équation y = ax2 + bx + c passant les points A (−1; 6), B (1; 0) et C (2; 3).
À l’aide d’un système d’équations, déterminer les réels a, b et c, et en déduire l’équation de la parabole.
Les coordonnées des points A (−1; 6), B (1; 0) et C (2; 3) vérifient l’équation de la parabole d’où a, b et c
sont solutions du système :


a−b+c = 6
a+b+c = 0

4a + 2b + c = 3
2.

 a−b+c =
2b =
⇔

3a
+
3b
=

 a−b+c =
b =
⇔

a
+
b =

1
 c =
b = −3
⇔

a =
2
6
−6
−3
6
−3
−1
L2 ←− L2 − L1
L3 ←− L3 − L1
Ainsi, la parabole P a pour équation y = 2x2 − 3x + 1
Soit g la fonction affine telle que g(1) = −1 et g(−1) = 3 . On note D sa courbe représentative.
a.
Déterminer une équation de la droite D.
g est une fonction affine d’où g(x) = ax + b avec
a=
Or g(1) = −1 d’où
b.
g(1) − g(−1)
1 − (−1)
a=
Soit
g(x) = −2(x − 1) + g(1)
−1 − 3
= −2
1+1
g(x) = −2x + 1
Soit
Ainsi, la droite D a pour équation y = −2x + 1
Étudier les positions relatives de la droite D et de la parabole P.
Les positions relatives de la droite D et de la parabole P se déduisent du signe de
2x2 − 3x + 1 − (−2x + 1) = 2x2 − x = x (2x − 1)
D’où le tableau établissant le signe de 2x2 − x
x
Signe de 2x2 − x
−∞
1
2
0
+
|
0
|
−
|
0
|
+∞
+
Par conséquent :
1
– la droite D coupe la parabole P en deux points d’abscisse 0 et ;
2
1
– les points de la parabole P dont l’abscisse x ∈ 0;
sont situés sous la droite D ;
2
1
– sur ]−∞; 0[ ∪ ; +∞ la parabole P est au dessus de la droite D.
2
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EXERCICE
Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
4
x2 − 12,5x + 25
. Sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal du
3x − 6
plan notée C f , est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]2; +∞[ par f (x) =
1.
Étudier le signe de f .
Sur l’intervalle ]2; +∞[, 3x − 6 > 0 donc f (x) est du même signe que P(x) = x2 − 12,5x + 25 polynôme du
second degré avec a = 1, b = −12,5 et c = 25
∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 156,25 − 100 = 56,25. ∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
√
−b − ∆
12,5 − 7,5
x1 =
Soit
x1 =
= 2,5
2a
2
√
12,5 + 7,5
−b + ∆
Soit
x2 =
= 10
x2 =
2a
2
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
P(x)
sur l’intervalle ]2; +∞[
D’où le tableau établissant le signe du quotient f (x) =
3x − 6
x
2
Signe de f (x)
2. a.
2,5
10
|
|
+
0
|
−
0
|
+∞
+
lim f (x). Interpréter graphiquement ce résultat.
x→2+
x2 − 12,5x + 25
= +∞
3x − 6
x→2
x→2
x→2
lim+ f (x) = +∞ donc la droite d’équation x = 2 est asymptote à la courbe C f
lim+ x2 − 12,5x + 25 = 4 et lim+ 3x − 6 = 0+ alors par quotient, lim+
b.
x→2
Calculer la limite de la fonction f en +∞.
x2 − 12,5x + 25
x2
x
= lim
= +∞
x→+∞ 3x
x→+∞ 3
= lim
lim
3x − 6
Donc lim f (x) = +∞
x→+∞
x→+∞
c.
Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b +
Pour tout réel x de l’intervalle ]2; +∞[,
c
.
3x − 6
c
(ax + b) (3x − 6) + c 3ax2 + (−6a + 3b) + (−6b + c)
=
=
3x − 6
3x − 6
3x − 6
c
pour a, b et c solutions du système :
Par conséquent, f (x) = ax + b +
3x − 6


1

3a = 1
a =


3
−6a + 3b = −12,5 ⇔
−2 + 3b = −12,5



−6b + c = 25
−6b + c = 25

1

 a =
3
⇔
b = −3,5


c = 4
ax + b +
Ainsi, f (x) =
d.
x
4
− 3,5 +
3
3x − 6
Montrer que la courbe C f admet pour asymptote la droite D d’équation y =
x
x
− 3,5.
3
4
4
− 3,5 =
et lim
= 0. D’où,
3
3x − 6 x→+∞ 3x − 6
x
− 3,5 = 0
lim f (x) −
x→+∞
3
x
Donc la courbe C f admet pour asymptote la droite D d’équation y = − 3,5 en +∞.
3
Pour tout réel x de l’intervalle ]2; +∞[, f (x) −
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3.
Tle ES
CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
a.
Calculer f ′ (x)
Pour tout réel x de l’intervalle ]2; +∞[, posons :
u′ (x) = 2x − 12,5
v′ (x) = 3
u(x) = x2 − 12,5x + 25 d’où
v(x) = 3x − 6
d’où
Par conséquent, f =
u
u′ v − uv′
et f ′ =
. Soit pour tout réel x de l’intervalle ]2; +∞[
v
v2
(2x − 12,5) (3x − 6) − 3 × x2 − 12,5x + 25
′
f (x) =
(3x − 6)2
6x2 − 12x − 37,5x + 75 − 3x2 + 37,5x − 75
=
(3x − 6)2
3x2 − 12x
=
(3x − 6)2
Ainsi, f ′ est la fonction définie sur l’intervalle ]2; +∞[ par f ′ (x) =
b.
3x (x − 4)
(3x − 6)2
Dresser le tableau des variations de la fonction f (Faire figurer les limites obtenues, ainsi que les valeurs des extremums de f ).
Les variations de la fonction f dépendent du signe de la dérivée d’où le tableau des variations de la
fonction f :
x
2
+∞
4
f ′ (x)
|
0
−
|
+∞
+
+∞
f (x)
−1,5
f (4) =
4.
16 − 12,5 × 4 + 25
= −1,5
3×4−6
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point A d’abscisse 2,5.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 2,5 est :
y = f ′ (2,5)(x − 2,5) + f (2,5)
3 × 2,52 − 12 × 2,5
= −5 et f (2,5) = 0. Donc :
3 × 2,5 − 6
la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 2,5 a pour équation y = −5x + 12,5
Or f ′ (2,5) =
5.
Tracer sur le graphique donné en annexe, les asymptotes à la courbe C f ainsi que la tangente T .
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
y
2
Cf
1
b
-1
1
0
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x
-1
-2
T
EXERCICE
5
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1 −
1.
4x − 3
. On note C f sa courbe représentative dans un repère du plan.
x2 + 1
Calculer lim f (x) et lim f (x). Interpréter graphiquement les résultats.
x→+∞
x→−∞
4x − 3
4x
4
4x − 3
= lim 2 = lim
= 0 donc lim 1 − 2
= 1. Par conséquent, lim f (x) = 1
lim 2
x→−∞
x→−∞ x
x→−∞ x
x→−∞
x→−∞ x + 1
x +1
4x − 3
4x − 3
4x
4
lim
= lim 2 = lim
= 0 donc lim 1 − 2
= 1. Par conséquent, lim f (x) = 1
x→+∞ x2 + 1
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞
x +1
2.
Résoudre dans R l’inéquation f (x) 6 1.
Pour tout réel x,
f (x) 6 1 ⇔ 1 −
4x − 3
4x − 3
4x − 3
61⇔− 2
60⇔ 2
>0
2
x +1
x +1
x +1
Or pour tout réel x, x2 + 1 > 0. Par conséquent,
4x − 3
est du même signe que 4x − 3. Soit
x2 + 1
3
4x − 3
> 0 ⇔ 4x − 3 > 0 ⇔ x >
2
x +1
4
3
Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation f (x) 6 1 est l’intervalle ; +∞
4
3.
On note f ′ la dérivée de la fonction f .
a.
Calculer f ′ (x).
f = 1−
u
u′ v − uv′
d’où f ′ = −
. Avec pour tout réel x,
v
v2
u(x) = 4x − 3
v(x) = x2 + 1
d’où
d’où
u′ (x) = 4
v′ (x) = 2x
Soit pour tout réel x,
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
4(x2 + 1) − 2x(4x − 3)
(x2 + 1)2
4x2 + 4 − 8x2 + 6x
=−
(x2 + 1)2
4x2 − 6x − 4
=
(x2 + 1)2
f ′ (x) = −
Ainsi, f ′ est la fonction définie sur R par f ′ (x) =
b.
4x2 − 6x − 4
(x2 + 1)2
Étudier le signe de f ′ (x) et en déduire le tableau des variations de la fonction f
Pour tout réel x,(x2 + 1)2 > 0. Par conséquent, f ′ (x) est du
même signe que le polynôme du second degré
4x2 − 6x − 4
P(x) =
avec a = 4, b = −6 et c = −4
∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 36 + 64 = 100. ∆ > 0 donc le polynôme admet deux racines :
√
6 − 10
1
−b − ∆
x1 =
Soit x1 =
=−
2a√
8
2
−b + ∆
6 + 10
x2 =
Soit x2 =
=2
2a
8
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée d’où le tableau des variations de la
fonction f
− 12
−∞
x
f ′ (x)
+
+∞
2
−
0
0
+
5
1
f (x)
0
1
1
f −
2
4.
= 1−
−2 − 3
=5
1
+1
4
et
f (2) = 1 −
8−3
=0
4+1
Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
Une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1 est :
y = f ′ (1)(x − 1) + f (1)
Or f ′ (1) =
−6
3
1 1
= − et f (1) = 1 − = d’où :
4
2
2 2
1
3
3
y = − × (x − 1) + ⇔ y = − x + 2
2
2
2
3
La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 1 a pour équation y = − x + 2
2
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EXERCICE
1.
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6
Les courbes représentatives d’une fonction f et de sa fonction dérivée f ′ sont données ci-dessous.
Associer chaque courbe C1 et C2 à la fonction qu’elle représente. Justifier votre réponse.
y
C2
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
C1
-3
Le nombre dérivé f ′ (a) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la
fonction f .
Les courbes C1 et C2 passent par l’origine du repère.
Or au point d’abscisse 0, la tangente à la courbe C2 n’est pas parallèle à l’axe des abscisses. Donc C1 ne peut
pas représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe C2 .
C1 est la courbe représentative de la fonction f et C2 est la courbe représentative de la dérivée f ′
2.
Tracer une courbe C pouvant représenter une fonction f définie et dérivable sur R vérifiant les conditions suivantes :
x
lim f (x) = −∞, la courbe C admet pour asymptote la droite d’équation y = − 1 en +∞, f (0) = 2, l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions
x→−∞
2
de signe contraires et f ′ (0) = −1.
– f (0) = 2 et f ′ (0) = −1 alors, la courbe C passe par le point A(0; 2) et la tangente à la courbe C en ce
point a pour équation y = −x + 2.
– l’équation f ′ (x) = 0 admet deux solutions de signe contraires alors, aux points d’abscisses a et b, la courbe
C admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.
La courbe C est dessinée après avoir tracé les trois tangentes ainsi que l’asymptote.
y
b
b
A
1
b
a
0
1
x
b
C
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EXERCICE
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
7
Une centrale d’achats souhaite acheter une certaine quantité d’articles auprès d’un fournisseur.
Ce fournisseur propose des prix à l’unité, dégressifs en fonction du nombre d’articles commandés.
Pour une commande de x articles, le prix P(x) en euros d’un article est donné par la formule P(x) =
Par exemple si la centrale d’achats achète 100 articles, le prix d’un article est P(100) =
20x + 4000
pour x ∈]0 ; +∞[.
x + 100
6000
= 30 C.
200
Dans ce cas, le montant de la commande est 100 × 30 = 3000 C.
PARTIE A
a.
i.
: Étude du prix P proposé par le fournisseur
Vérifier qu’entre une commande de 50 articles et une commande de 100 articles, le fournisseur accorde une remise de 10% sur le prix
d’un article.
Le coefficient multiplicateur associé à une remise de 10% est égal à 0,9 et
0,9 × P(50) = 0,9 ×
20 × 50 + 4000
= 30
150
Or P(100) = 30 Donc
Entre une commande de 50 articles et une commande de 100 articles, le fournisseur accorde une
remise de 10% sur le prix d’un article.
ii.
Existe-il d’autres quantités d’articles pour lesquelles la réduction est de 10% sur le prix d’un article entre une commande de x articles et
une commande de 2x articles ?
18x + 3600
40x + 4000 20x + 2000
et P (2x) =
=
.
x + 100
2x + 100
x + 50
Or pour tout réel x > 0
0,9 × P(x) =
18x + 3600 20x + 2000
18x + 3600 20x + 2000
=
⇔
−
=0
x + 100
x + 50
x + 100
x + 50
(18x + 3600) (x + 50) − (20x + 2000) (x + 100)
⇔
=0
(x + 100) (x + 50)
18x2 + 4500x + 180000 − 20x2 + 4000x + 200000
⇔
=0
(x + 100) (x + 50)
−2x2 + 500x − 20000
⇔
=0
(x + 100) (x + 50)
Soit − 2x2 + 500x − 20000 = 0
Cherchons les solutions de l’équation du second degré −2x2 + 500x − 20000 = 0 avec a = −2,
b = 500 et c = −20000.
Le discriminant ∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 250000 − 160000 = 90000. ∆ > 0 donc l’équation admet deux
solutions :
√
−500 − 300
−b − ∆
Soit
x1 =
= 200
x1 =
2a
−4
√
−b + ∆
−500 + 300
x2 =
Soit
x2 =
= 50
2a
−4
Entre une commande de 50 articles et une commande de 100 articles ou entre une commande de 200
articles et une commande de 400 articles, le fournisseur accorde une remise de 10% sur le prix d’un
article.
b.
Calculer lim P(x).
x→+∞
20x + 4000
20x
lim
= lim
= 20
x→+∞ x + 100
x→+∞ x
Ainsi, lim P(x) = 20.
x→+∞
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c.
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
On note P′ la dérivée de la fonction P. Calculer P′ (x).
u′ v − uv′
u
. Avec pour tout
P = d’où P′ =
v
v2
réel x > 0,
u(x) = 20x + 4000
v(x) = x + 100
u′ (x) = 20
v′ (x) = 1
d’où
d’où
Soit pour tout réel x,
P′ (x) =
20(x + 100) − (20x + 4000)
(x + 100)
Ainsi, P′ est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par P′ (x) = −
d.
=−
2
2000
(x + 100)2
2000
(x + 100)2
Dresser le tableau de variations de la fonction P.
Pour tout réel x ∈]0 ; +∞[, −
2000
2
< 0. Soit P′ (x) < 0 par conséquent, P est une fonction strictement
(x + 100)
décroissante d’où le tableau des variations de la fonction P :
+∞
0
x
P′ (x)
−
P(x)
20
e.
Quelle quantité d’articles faut-il acheter pour que le prix d’un article soit inférieur à 20,1C ?
20x + 4000
20x + 4000
< 20,1 ⇔
− 20,1 < 0
x + 100
x + 100
20x + 4000 − 20,1 (x + 100)
⇔
<0
x + 100
−0,1x + 1990
⇔
<0
x + 100
Or pour tout réel x ∈]0 ; +∞[, x + 100 > 0 donc
P(x) < 20,1 ⇔ −0,1x + 1990 < 0
Soit x > 19900
Ainsi, le prix d’un article est inférieur à 20,1 C pour toute commande supérieure à 19900 articles.
PARTIE B
: Étude du montant S de la commande
On appelle S(x) le montant en euros pour une commande de x articles. Soit S(x) = x × P(x) pour x ∈]0 ; +∞[.
a.
Calculer lim S(x).
x→+∞
lim P(x) = 20 donc par produit des limites, lim xP(x) = +∞
x→+∞
x→+∞
Ainsi, lim S(x) = +∞.
x→+∞
b.
Étudier les variations de la fonction S sur ]0 ; +∞[ .
La fonction S est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables et pour tout réel x > 0,
S′ (x) = 1 × P(x) + x × P′ (x)
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CORRECTION DU DEVOIR DE RENTRÉE
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Soit pour tout réel x > 0,
S′ (x) =
=
=
2000x
20x + 4000
−
x + 100
(x + 100)2
(20x + 4000) (x + 100) − 2000x
(x + 100)2
20x2 + 4000x + 400000
(x + 100)2
Ainsi, S′ est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par S′ (x) =
20 x2 + 200x + 20000
(x + 100)2
Le discriminant du trinôme x2 + 200x + 20000 est négatif donc pour tout réel x, x2 + 200x + 20000 > 0.
Donc S′ (x) > 0.
S′ (x) > 0 par conséquent, S est une fonction strictement croissante.
c.
La centrale d’achat dispose d’un budget de 20 000 euros pour l’achat de cet article.
Préciser, à la centaine d’articles près, le nombre maximum d’articles que cette centrale d’achats peut commander sans dépasser son budget.
Sur l’intervalle ]0 ; +∞[,
20x2 + 4000x
> 20000
x + 100
20x2 + 4000x − 20000 (x + 100)
⇔
>0
x + 100
20x2 − 16000x − 2000000
⇔
>0
x + 100
20 x2 − 800x − 100000
⇔
>0
x + 100
S(x) > 20000 ⇔
20 x2 − 800x − 100000
Sur l’intervalle ]0 ; +∞[, x+100 > 0. Par conséquent, sur cet intervalle le quotient
x + 100
est du même signe que le trinôme x2 − 800x − 100000.
Calculons les racines du trinôme x2 − 800x − 100000 avec a = 1, b = −800 et c = −100000.
Le discriminant ∆ = b2 − 4ac soit ∆ = 640000 + 400000 = 1040000.
∆ > 0 donc le trinôme admet deux racines :
√
√
√
−b − ∆
800 − 200 26
x1 =
Soit
x1 =
= 400 − 100 26 ≈ −109,9
2a
2
√
√
√
−b + ∆
800 + 200 26
x2 =
Soit
x2 =
= 400 + 100 26 ≈ 909,9
2a
2
i
√ i
Ainsi, l’ensemble solution de l’inéquation S(x) > 20000 est l’intervalle 0; 400 + 100 26
Comme la fonction S est strictement croissante, le nombre maximum d’articles que cette centrale d’achats
peut commander sans dépasser son budget est 909.
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