TD n 1. Les réels 1 Borne inférieure et supérieure 2 Axiomatique de R

Université Pierre & Marie Curie
LM 360 (Topologie et Calcul différentiel)
L3 de Mathématiques
Automne 2011
TD n◦ 1. Les réels
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Borne inférieure et supérieure
Exercice 1.
a) Soit ∅ =
# A ⊂ R une partie bornée. Montrer que sup(a1 ,a2 )∈A2 |a2 − a1 | = sup A − inf A.
b) Soient ∅ #= A, B ⊂ R deux parties bornées. On note A + B = {a + b : (a, b) ∈ A × B}. Montrer
que A + B est bornée, puis que inf(A + B) = inf A + inf B et sup(A + B) = sup A + sup B.
Exercice 2 (droite numérique achevée). On ordonne R = R ∪ {±∞} par : (∀x ∈ R)(−∞ < x < +∞).
a) Montrer que toute partie non-vide de R a une borne supérieure et une borne inférieure.
b) Montrer que toute suite monotone (i.e., croissante ou décroissante) de R converge dans R.
c) Montrer que l’on ne peut pas étendre la multiplication à R de façon continue.
Exercice 3 (lim inf et lim sup). Soit (an )n∈N ∈ R une suite de réels. On définit pour n ∈ N :
in = inf{ak : k ≥ n},
sn = sup{ak : k ≥ n}
Ceci définit deux suites (in )n∈N et (sn )n∈N de R (voir Exercice 2).
a) Montrer que (in ) est croissante, que (sn ) est décroissante, et que pour tout n ∈ N, in ≤ an ≤ sn .
b) En déduire que (in ) et (sn ) convergent vers deux éléments de R notés respectivement lim inf an
et lim sup an , et que l’on a lim inf an ≤ lim sup an .
c) On suppose que (an ) converge dans R vers une limite !. Montrer que (in ) et (sn ) tendent vers !
(en d’autres termes, montrer que lim inf an = lim sup an = lim an ).
d) Montrer la réciproque : si lim inf an = lim sup an = !, alors (an ) converge (dans R) vers !.
Exercice 4 (parties convexes de R). Un sous-ensemble A de R est dit convexe si :
(∀(a1 , a2 ) ∈ A2 )(∀x ∈ R)(a1 ≤ x ≤ a2 ⇒ x ∈ A)
a) Montrer que tout intervalle est convexe.
On démontre à présent la réciproque. Soit A un sous-ensemble convexe de R. On suppose A #= ∅.
b) On suppose A borné, et que inf A et sup A sont dans A. Montrer que A = [inf A, sup A].
c) On suppose A borné, et que ni inf A ni sup A n’est dans A. Montrer que A =] inf A, sup A[.
d) On suppose A ni majoré ni minoré. Montrer que A = R.
e) Écrire un plan couvrant tous les cas, et se convaincre que du résultat.
Les parties convexes de R sont donc exactement les intervalles.
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Axiomatique de R
Exercice 5 (autour de l’axiome d’Archimède). Montrer que les propriétés suivantes de R sont équivalentes (démontrer qu’elles s’impliquent mutuellement sans dire “elles sont toutes vraies”) :
– (∀x ∈ R)(∃n ∈ N)(x < n) ;
– (∀x ∈ R>0 )(∃n ∈ N>0 )( n1 < x) ;
– (∀x ∈ R>0 )(∀y ∈ R≥0 )(∃n ∈ N)(nx ≥ y) ;
– Q est dense dans R : (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)((x < y) ⇒ (∃q ∈ Q)(x < q < y)).
On dit que R est archimédien.
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Remarque (corps non-archimédiens). Voici deux façons d’obtenir un corps non-archimédien :
– par l’algèbre, ordonner le corps des fractions rationnelles R(X) en posant X incommensurable à 1 ;
– par la logique, introduire des infinitésimaux dans une extension de R.
Exercice 6 (partie entière). Grâce à l’archimédianité de R, la fonction suivante a un sens. À x ∈ R,
on associe le plus petit n ∈ Z tel que n ≤ x < n + 1. On note E(x) = n (partie entière de x).
a) Tracer le graphe de la partie entière.
b) Montrer que E est une fonction croissante.
c) Montrer que E est sur-additive : E(x + y) ≥ E(x) + E(y).
d) Montrer que si n ∈ N>0 , alors E( E(nx)
n ) = E(x).
Exercice 7 (Q n’est pas complet). Montrer que Q n’est pas complet, par exemple avec la série
Exercice 8 (R est complet). Montrer que R est complet.
! 1
n! .
Exercice 9. Montrer que les propriétés suivantes de R sont équivalentes (démontrer qu’elles s’impliquent mutuellement sans dire “elles sont vraies”) :
– R satisfait le principe de la borne supérieure ;
– R satisfait le principe de la borne inférieure ;
– si (an ) est une suite croissante, (bn ) une suite décroissante, et que pour tout n ∈ N, an ≤ bn , alors
il existe c ∈ R tel que pour tout n ∈ N : an ≤ c ≤ bn ;
– R est archimédien et complet.
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Pour aller plus loin
Exercice 10. On ordonne R2 par l’ordre lexicographique (celui du dictionnaire). Montrer qu’il n’existe
pas d’application croissante de R2 dans R.
Exercice 11 (unicité de R). Montrer que R est l’unique corps totalement ordonné satisfaisant le
principe de la borne supérieure : on montrera que si K en est un autre, il existe un unique isomorphisme
de corps ordonné (isomorphisme de corps qui est croissant) entre K et R.
Exercice 12 (construction de Dedekind). Cet exercice propose une construction alternative de R à
partir de Q. Une coupure de Q est un sous-ensemble A ⊆ Q ayant les propriétés suivantes :
– A #= ∅ ;
– (∀q ∈ A)(∀q # ∈ Q)(q # < q ⇒ q # ∈ A) ;
– (∀q ∈ A)(∃q # ∈ A)(q < q # )
On note (dans cet exercice !) R l’ensemble des coupures de Q.
a) Soit q ∈ Q. Montrer que Aq = {p ∈ Q : p < q} est une coupure.
b) Montrer que A√2 = {p ∈ Q : p2 < 2} est une coupure qui n’est de la forme Aq pour aucun q ∈ Q.
c) On ordonne R par : A <R B si A ! B. Montrer que <R est une relation d’ordre total. Montrer
que Q est dense dans R.
d) Montrer que toute partie non-vide et majorée de R admet une borne supérieure. On pourra
"
prendre une famille majorée F de coupures, et montrer que A∈F A est encore une coupure.
e) Soient A et B deux coupures. Montrer que {a + b : (a, b) ∈ A × B} est encore une coupure.
On pose A +R B = {a + b : (a, b) ∈ A × B}.
f) Montrer que cette loi est associative et commutative. Montrer que 0R = {q ∈ Q : q < 0} joue le
rôle d’élément neutre.
g) Pour A ∈ R, soit −A = {q ∈ Q : (∃p > q)(−p ∈
/ A)}. Montrer que −A est une coupure.
h) Montrer que A + (−A) = 0R .
R est ainsi un groupe abélien. On peut montrer que l’ordre est compatible avec l’addition ; on
peut aussi définir la multiplication, mais cela devient franchement technique.
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