Tle STI2D-05

Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Terminale STI2D
- 1 -
fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques
1. Transformer un produit en une somme
Considérons une fonction
f
telle que pour tous réels strictement positifs
a
et
b
,
(
)
(
)
(
)
f a b f a f b
× = + . Une telle fonction transforme donc un produit en une somme.
La fonction logarithme népérien, notée
ln
x x
֏
, définie sur
]
[
0 ,
+∞
possède une telle propriété.
Sa dérivée est la fonction
1
x
x
֏.
Nous admettons cette propriété fondamentale (que nous démontrerons lors du chapitre sur les
primitives) :
Propriété
Pour tous réels strictement positifs
a
et
b
:
(
)
ln ln ln
ab a b
= +
Soit
a
un réel strictement positif.
(
)
ln 1 ln ln1 ln
a a a
× = = + d'après sa propriété fondamentale.
Ainsi :
ln1 0
=
.
Propriété :
ln1 0
=
La machine, grâce à la touche , nous donne des valeurs approchées :
ln2 0,693
≈
ln 3 1,099
≈
De ces deux valeurs, nous pouvons déduire que
(
)
ln 6 ln 2 3 ln 2 ln 3 0,693 1,099 1,792
= × = + ≈ + ≈
La machine nous donne confirmation.
(
)
ln 5
−
ou
ln 0
ne sont pas évaluables, compte tenu de l'ensemble de définition de
ln
x x
֏
.
Par contre, 1 1 1
ln 2 ln1 ln ln2 ln ln2 0
2 2 2
× = = + ⇔ + =
  .
Nous en déduisons que 1
ln ln2 0,693
2
=− =− . La fonction logarithme népérien peut donc renvoyer
des valeurs négatives.
Propriété
Pour tout réel strictement positif
a
: 1
ln ln
a
a
=−
De même, nous avons 3 3 3
ln 2 ln 3 ln ln 2 ln ln 3 ln2 1,099 0,693 0, 406
2 2 2
× = = + ⇔ = − ≈ − ≈ .
Remarquons simplement que la machine nous donne 3
ln 0,405
2
≈. La différence des deux résultats
est liée aux erreurs cumulées sur les arrondis de
ln2
et
ln 3
à
3
10
−
près.
Plus généralement, avec une démarche similaire :
Propriété
Pour tout réels strictement positifs
a
et
b
:
ln ln ln
a
a b
b
= −

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- 2 -
Nous avons
( )
3
ln 8 ln 2 ln 2 2 2 ln 2 ln 2 ln 2 3 ln2 3 0,693 2,079
= = × × = + + = × ≈ × ≈ .
Comme la fonction
ln
x x
֏
transforme un produit en somme, il va de soi qu'avec
a
réel strictement
positif et
n
entier strictement positif :
facteurs termes
ln ln ... ln ... ln ln
n
nn
a a a a a n a
= × × = + + = ×
Si
0
n
=
,
0
ln ln1 0 0 ln
a a
= = = × .
Si n est un entier strictement négatif :
( )
1 1 1
ln ln ln ln ln ln
n
nn
a n n a n a
a a
a
−
−
= = =− =− × − = ×
  car alors
n
−
est strictement positif.
Propriété
Pour tout réel strictement positif
a
et pour tout entier relatif
n
:
ln ln
n
a n a
=
Soit
a
un réel strictement positif.
(
)
2
1
ln ln 2ln ln ln
2
a a a a a
= = ⇔ =
Propriété
Pour tout réel strictement positif
a
: 1
ln ln
2
a a
=
Exercice
Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de
ln2
et/ou
ln3
et/ou
ln5
:
1.
ln12
2.
ln 8
3.
ln 81
4.
3
ln
4
5.
ln100
6.
4
ln
25
7.
5
ln
2
8.
1
ln27 ln9 ln
3
− +
Comme la fonction
(
)
ln
f x x
= est définie sur l'ensemble
]
[
0 ;
∞
et a pour dérivée
( )
1
' 0
f x
x
= >
,
elle est strictement croissante sur
]
[
0 ;
∞
.
La machine nous donne :
ln10 2,3
≈
• Comme
(
)
ln 10 ln10 2,3
p
p p
= ≈ ×
:
(
)
( )
lim ln 10 lim 2,3
p
p p
p
→+∞ →+∞
= × =+∞
• Comme ln10 ln10 2,3
p
p p
−
=− × ≈− ×
:
(
)
( )
lim ln 10 lim 2,3
p
p p
p
−
→+∞ →+∞
= − × =−∞
Propriétés
lim ln
x
x
→+∞
=+∞
et
0
lim ln
x
x
+
→
=−∞

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- 3 -
Nous avons donc le tableau de variations suivant :
Avec la calculatrice, en utilisant la fonction Table, on saisit
Y1 ln X
=
.
Puis on saisit les valeurs pour X grâce au menu SET.
Enfin on sélectionne le menu TABL.
La courbe représentative de la fonction
ln
x x
֏
admet en
0
+
une asymptote verticale.
La courbe représentative de la fonction
ln
x x
֏
coupe la droite d'équation
1
y
=
en un point. Nous
appellerons
e
l'abscisse de ce point.
Définition
e
est le nombre réel défini par
ln 1
e
=

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- 4 -
Nous constatons que la fonction
x x
֏
augmente beaucoup plus vite que la fonction
ln
x x
֏
lorsque
x
tend vers
+∞
.
Propriétés
lim ln
x
xx
→+∞
=+∞
ln
lim 0
x
x
x
→+∞
=
2. Fonction réciproque de
x x
ln
֏
La fonction
(
)
exp
x x
֏
s'appelle fonction exponentielle.
ln
x x
֏
et
(
)
exp
x x
֏
sont des fonctions réciproques, ce qui signifie que :
• Quel que soit
]
[
0 ;x
∈ +∞
:
(
)
exp ln
x x
=
• Quel que soit x
∈
ℝ
:
(
)
(
)
ln exp
x x
=
Définition
Pour tout réel
x
et tout réel strictement positif
y
, on a :
(
)
ln exp
x y x y
= ⇔ =
Soient
a
et
b
deux réels tels que
ln '
a a
=
et
ln '
b b
=
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
exp exp ln ' ln ' exp ln ' ' ' ' exp exp
a b a b a b a b a b
+ = + = × = × = ×
Propriété
Pour tous réels
a
et
b
:
(
)
(
)
(
)
exp exp exp
a b a b
+ = ×
Considérons une fonction
f
telle que pour tous réels
a
et
b
,
(
)
(
)
(
)
f a b f a f b
+ = × . Une telle
fonction transforme donc une somme en un produit.
La fonction exponentielle, notée
(
)
exp
x x
֏
définie sur
ℝ
, possède cette propriété. Sa dérivée est
elle-même, donc la fonction
(
)
exp
x x
֏
.
Soit
n
un nombre entier. On se rappelle que le nombre
e
est tel que
ln 1
e
=
(
2,718
e
≈
).
Comme
(
)
(
)
( ) ( )
exp ln exp ln exp
n n
e e n e n
= = = , on a
( )
exp
n
e n
=. Cette analogie nous amène à
admettre une nouvelle notation.
Notation
Pour tout nombre réel
x
,
( )
exp
x
x e
=
Soit
a
un réel.
0 0 0
1
a a a
e e e e e
+
= × = ⇔ =
d'après sa propriété fondamentale.
Propriété :
0
1
e
=

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0
1
1
a a a a a
a
e e e e e
e
− + − −
= ⇔ × = ⇔ = .
Propriété
Pour tout réel
a
:
1
a
a
e
e
−
=
a
a b a b
b
e
e e e
e
− −
= × =
Propriété
Pour tout réels
a
et
b
:
a
a b
b
e
e
e
−
=
lim
p
p
e
→+∞
=+∞
car
1
e
>
et 1
lim lim 0
pp
p p
e
e
−
→+∞ →+∞
= =
Propriétés
lim
x
x
e
→+∞
=+∞
et
lim 0
x
x
e
→−∞
=
La fonction exponentielle ne renvoie que des valeurs strictement positives.
La fonction
(
)
ln
f x x
= est définie sur
ℝ
et a pour dérivée
( )
' 0
x
f x e
= >
, elle est strictement
croissante sur
ℝ
.
Le tableau de variations est :