Tle STI2D-05

Lycée Jules Siegfried - Le Havre - Marc Bizet - Classe de Terminale STI2D
fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques
1. Transformer un produit en une somme
Considérons une fonction
f
telle que pour tous réels strictement positifs a
et b ,
f ( a × b ) = f ( a ) + f ( b ) . Une telle fonction transforme donc un produit en une somme.
La fonction logarithme népérien, notée x ֏ ln x , définie sur
Sa dérivée est la fonction x ֏
] 0,+∞ [
possède une telle propriété.
1
.
x
Nous admettons cette propriété fondamentale (que nous démontrerons lors du chapitre sur les
primitives) :
Propriété
Pour tous réels strictement positifs a et b : ln ( ab ) = ln a + ln b
Soit a un réel strictement positif. ln (1 × a ) = ln a = ln1 + ln a d'après sa propriété fondamentale.
Ainsi : ln1 = 0 .
Propriété : ln1 = 0
La machine, grâce à la touche
ln 2 ≈ 0,693
ln 3 ≈ 1,099
, nous donne des valeurs approchées :
De ces deux valeurs, nous pouvons déduire que ln 6 = ln ( 2 × 3 ) = ln 2 + ln 3 ≈ 0,693 + 1,099 ≈ 1,792
La machine nous donne confirmation.
ln ( −5 ) ou ln 0 ne sont pas évaluables, compte tenu de l'ensemble de définition de x ֏ ln x .
1
1
1 
Par contre, ln  × 2  = ln1 = ln + ln2 ⇔ ln + ln2 = 0 .
2
2
2 
1
Nous en déduisons que ln = − ln2 = −0,693 . La fonction logarithme népérien peut donc renvoyer
2
des valeurs négatives.
Propriété
Pour tout réel strictement positif a : ln
1
= − ln a
a
3
3
3
De même, nous avons ln × 2 = ln 3 = ln + ln 2 ⇔ ln = ln 3 − ln 2 ≈ 1,099 − 0,693 ≈ 0,406 .
2
2
2
3
Remarquons simplement que la machine nous donne ln ≈ 0,405 . La différence des deux résultats
2
est liée aux erreurs cumulées sur les arrondis de ln 2 et ln 3 à 10−3 près.
Plus généralement, avec une démarche similaire :
Propriété
Pour tout réels strictement positifs a et b : ln
a
= ln a − ln b
b
-1-
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Nous avons ln 8 = ln 23 = ln ( 2 × 2 × 2 ) = ln 2 + ln 2 + ln 2 = 3 × ln 2 ≈ 3 × 0,693 ≈ 2,079 .
Comme la fonction x ֏ ln x transforme un produit en somme, il va de soi qu'avec a réel strictement
positif et n entier strictement positif :


ln a n = ln  a × ... × a  = ln a + ... + ln a = n × ln a
 n facteurs 


n termes
Si n = 0 , ln a 0 = ln1 = 0 = 0 × ln a .
Si n est un entier strictement négatif :
ln a n = ln
1
a
−n
1
= ln  
a
−n
1
= −n ln = − n × ( − ln a ) = n × ln a car alors − n est strictement positif.
a
Propriété
Pour tout réel strictement positif a et pour tout entier relatif n : ln a n = n ln a
Soit a un réel strictement positif.
ln
( a ) = ln a = 2ln
1
a ⇔ ln a = ln a
2
2
Propriété
1
Pour tout réel strictement positif a : ln a = ln a
2
Exercice
Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln2 et/ou ln3 et/ou ln5 :
5. ln100
4
6. ln
25
5
7. ln
2
1. ln12
2. ln 8
3. ln 81
3
4. ln
4
Comme la fonction f ( x ) = ln x est définie sur l'ensemble
elle est strictement croissante sur
•
( )
Comme ln 10 p = p ln10 ≈ 2,3 × p :
Comme ln10
Propriétés
lim ln x = +∞
x →+∞
−p
et
] 0 ; ∞ [ et a pour dérivée
] 0;∞ [ .
La machine nous donne : ln10 ≈ 2,3
•
1
8. ln27 − ln9 + ln  
3
( )
lim ln (10 ) =
lim ln 10 p = lim ( 2,3 × p ) = +∞
p →+∞
= − p × ln10 ≈ −2,3 × p :
p →+∞
−p
p →+∞
lim ln x = −∞
x →0 +
-2-
lim ( −2,3 × p ) = −∞
p →+∞
f '( x) =
1
>0,
x
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Nous avons donc le tableau de variations suivant :
Avec la calculatrice, en utilisant la fonction Table, on saisit Y1 = ln X .
Puis on saisit les valeurs pour X grâce au menu SET.
Enfin on sélectionne le menu TABL.
La courbe représentative de la fonction x ֏ ln x admet en 0+ une asymptote verticale.
La courbe représentative de la fonction x ֏ ln x coupe la droite d'équation y = 1 en un point. Nous
appellerons e l'abscisse de ce point.
Définition
e est le nombre réel défini par ln e = 1
-3-
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Nous constatons que la fonction x ֏ x augmente beaucoup plus vite que la fonction x ֏ ln x
lorsque x tend vers +∞ .
Propriétés
x
lim
= +∞
x →+∞ ln x
ln x
=0
x →+∞ x
lim
2. Fonction réciproque de x ֏ ln x
La fonction x ֏ exp ( x ) s'appelle fonction exponentielle.
x ֏ ln x et x ֏ exp ( x ) sont des fonctions réciproques, ce qui signifie que :
•
•
Quel que soit x ∈ ] 0 ; + ∞ [ : exp (ln x ) = x
Quel que soit x∈ℝ : ln ( exp ( x ) ) = x
Définition
Pour tout réel x et tout réel strictement positif y , on a : x = ln y ⇔ exp ( x ) = y
Soient a et b deux réels tels que a = ln a ' et b = ln b ' .
exp ( a + b ) = exp (ln a '+ ln b ') = exp (ln ( a '× b ') ) = a '× b ' = exp ( a ) × exp ( b )
Propriété
Pour tous réels a et b : exp ( a + b ) = exp ( a ) × exp ( b )
Considérons une fonction f telle que pour tous réels a et b , f ( a + b ) = f ( a ) × f ( b ) . Une telle
fonction transforme donc une somme en un produit.
La fonction exponentielle, notée x ֏ exp ( x ) définie sur ℝ , possède cette propriété. Sa dérivée est
elle-même, donc la fonction x ֏ exp ( x ) .
Soit n un nombre entier. On se rappelle que le nombre e est tel que ln e = 1 ( e ≈ 2,718 ).
( ( )) = exp ( n ln e) = exp ( n ) , on a
Comme en = exp ln e n
en = exp ( n ) . Cette analogie nous amène à
admettre une nouvelle notation.
Notation
Pour tout nombre réel x , exp ( x ) = e x
Soit a un réel. e0 + a = e0 × ea = e a ⇔ e0 = 1 d'après sa propriété fondamentale.
Propriété : e0 = 1
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e − a + a = e0 ⇔ e − a × e a = 1 ⇔ e − a =
1
ea
.
Propriété
Pour tout réel a : e− a =
e a −b = e a × e − b =
1
ea
ea
eb
Propriété
Pour tout réels a et b : ea −b =
lim e p = +∞ car e > 1 et
p →+∞
ea
eb
lim e − p = lim
p →+∞
1
p →+∞ e p
=0
Propriétés
lim e x = +∞
x →+∞
et
lim e x = 0
x →−∞
La fonction exponentielle ne renvoie que des valeurs strictement positives.
La fonction f ( x ) = ln x est définie sur ℝ et a pour dérivée f ' ( x ) = e x > 0 , elle est strictement
croissante sur ℝ .
Le tableau de variations est :
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La courbe représentative de la fonction x ֏ e x admet pour asymptote horizontale, l'axe des
abscisses.
La symétrie des deux courbes représentatives des fonctions x ֏ ln x et x ֏ e x illustre la réciprocité
des fonctions.
Par exemple, le point M a pour coordonnées (1 , e ) et son symétrique M' a pour coordonnées ( e ,1) .
Nous constatons que la fonction x ֏ x augmente beaucoup moins vite que la fonction x ֏ e x
lorsque x tend vers +∞ .
Propriétés
x
lim x = 0
x →+∞ e
ex
= +∞
x →+∞ x
lim
Exercice
Exprimer le plus simplement
(e )
5.
e9
1 + e2 x e − x + e x
+
1 − e x 1 − e− x
e2 ×
6.
(e
7.
(e )
2 5
1.
2.
1
e −2
−1
1
e
3.
−
1 + e 1 − e −1
4.
(e
x
x
+ 1) − e − 1
x 3
2
4x
9. e × ( e x )
2
10. ( e2 x ) × e x +1
4
× 2e
8. 3 ( e x ) × e x
2
+ e − x ) − ( e x − e− x )
2
2
Exercice
Exprimer plus simplement :
1. ln ( e2 ) − ln ( e −3 )
2.
(ln ( e ) )
2
−3
3. e4ln5
(
4. ln 2 e
5. e
1
− ln3
2
)
6. ln ( 5e )
7. ln (10e2 )
9
8. ln  
e
 e
9. ln 

 5
-6-
 20 
10. ln 

 e