CHAPITRE 05 Racines carrées et identités

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n
CHAPITRE 05
Racines carrées et identités remar
q
uables
I- Rappels sur les puissances
Définition 1: Pour tout nombre a différent de 0 et tout entier positif ou nul n, on définit le nombre qui se
n
a
lit "a puissance n" de la façon suivante:
0
1
n
Si n = 0 alors a = 1
Si n = 1 alors a a
Si n > 1 alors a = a a ... a (n facteurs a)
=
×× ×
Convention: L’exposant est toujours prioritaire sur les autres opérateurs.
−
= − = − (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = − 32
5
2
5
(2)
2
× = 2 × (3 × 3) = 2 × 9 = 18
2
3
Définition 2: Pour tout nombre a différent de 0 et tout entier relatif n, on définit le nombre de la façon
n
a
−
suivante:
C’est à dire
q
ue est l’inverse de .
nn
1
aa
−
=
n
a
−n
a
Propriété 1: Quels que soient les nombres a et b différents de 0, si m et n sont deux entiers relatifs alors:
mn mn
nn n
aa = a
ab= (ab)
+
×
××
Propriété 2: Quels que soient les nombres a et b différents de 0, si m et n sont deux entiers relatifs alors:
n
mn
mn
nn
aaa
aet b
ab
−
⎛⎞
==
⎜⎟
⎝⎠
Propriété 3: Quel que soit le nom bre a différent de 0, si m et n sont deux entiers relatifs alors:
mn m n
(a ) a
×
=
Remarque: Il n’y a pas de formule reliant n ab
+
et
n
(a b)+ dans la leçon.
Il faudra donc faire très attention face à de telles situations.
En effet, = 4 + 9 = 13 alors que
2
23+
222
(2 3) 5 25
+
==
II- Les racines carrées
Définition 3: On appelle racine carrée du nombre a supérieur ou égal à zéro, le nombre positif noté a dont
le carré est égal à a.
()
2
Si a 0 alors a a≥=

Remarque: La racine carrée d'un nombre strictement négatif n'existe pas.
Certaines racines carrées peuvent s'exprimer par des nombres rationnels mais la plupart ne
ressemble à aucun nombre connu jusqu'ici ( 2 = 1,4142…).
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III- Développer et factoriser une expression
1 - Rappels
2 - Identités remarquables
IV- Equations du type (a x + b)(c x + d) = 0
Fin du chapitre 05
Propriété 4: La racine carrée du produit de deux nombres positifs ou nuls est égale au produit des racines
carrées de chacun de ces deux nombres.
Si a 0 et b 0 alors a b a b≥≥ ×=×
Propriété 5: La racine carrée du quotient de deux nombres strictement positifs est égale au quotient des
racines carrées de chacun de ces deux nombres.
aa
Si a 0 et b 0 alors b
b
≥> =
Propriété 6: Si a est positif ou nul alors la racine carrée de est égale à a.
2
a
2
Si a 0 alors a a≥=
Propriété 7: Quels que soient les nombres a, b, c et d;
a(b + c) = ab + ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Propriété 8: Quels que soient les nombres a et b;
22 2
22 2
22
(a b) a 2abb
(a b)a2abb
(a b)(a b) ab
+=++
−=−+
+−=−
Forme factorisée Forme développée
Propriété 9: Si un produit de facteurs est nul alors l'un au moins de ses facteurs est nul.
Si a × b = 0 alors a = 0 ou b = 0