serie d exercices integrales bac eco gestion

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Série d’exercices :
Intégrales
4ème Eco-gestion
Tunis ,Tél :[phone]
Exercice n°1 :
Calculer les intégrales suivantes :
1)
1
01
dx
x
2)
1
1
1 x dx
3)
1
2
0
2
100
tdt
t
4)
2
1
1 x dx
x
5)
1ln
e
tdt
t
6)
12
0
3ln x dx
x
7)
2
1
02x
xe dx
8)
1
1
2
0
1 x
e dx
x
9)
11
0
x
e dx
10)
1
0
x
x e dx
Exercice n°2 :
A l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
1)
13
021
x
x e dx
2)
11 ln
ex x dx
3)
750
100
x
xe dx
4)
12
0( 1) x
x x e dx
5)
2
12 ln
ex x x dx
Exercice n°3 :
Soit la fonction f définie sur   par f (x)
2
2
x +3x+1
=x +x
.
1) Montrer que pour tout x de   on a
11
f(x)=1+ +
x x+1
.
2) En déduire la valeur de
2
1
I= f(x) dx
.
Exercice n°4 :
Soit la fonction f définie sur IR par :
2x
x
e
f(x)= dx
1+e
.
1) Montrer que pour tout x de IR on a :
x
xx
e
f(x)= e -1+e
.
2) En déduire la valeur de
2x
ln2
x
0
e
I= dx
1+e
et
x
ln2
-x
0
e
J= dx
1+e
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie sur IR par f (x)
2
1
2x
xe
. On note (C) la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé   .(Unité 2cm).
1) Déterminer les limites de f en  et .
2) Dresser le tableau de variations de f.
3) Tracer C.
4) a) Soit   Montrer que l’aire A( de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x=0 et x= est égale à
22
4 1 (1 2 e cm

b) Calculer
lim A( )
Exercice n°6 :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 0, par :    
  .
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal   .
Soit g la fonction définie sur par ] 0, :       .a)
A) 1) a)Calculer g'(x).
b) Dresser le tableau de variation de g.
2) Déterminer le signe de g(x) sur ] 0, .
B) 1) a) Déterminer la limite de la fonction f en .
b) Déterminer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Calculer f ‘(x) pour tout x  et montrer que 
.
b) Dresser le tableau de variation de g.
c) Calculer f (1). En déduire le signe de f (x) sur ] 0, .
3) a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1.
b) Tracer (C) et (T) .
4) Soit F la fonction définie sur ] 0, par :        
a) Calculer F ‘(x) pour tout x de ] 0, .
b) En déduire la valeur de l’intégrale
2
1
I= f(x) dx
. Interpréter graphiquement le résultat.
Exercice n°7 :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0; +∞ [ par :
0,5
2 10 x f x x e
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation y = x - 2.
La courbe (C) est partiellement représentée en ANNEXE .
1) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.
2) On pose  = 2ln5.
a) Montrer que f() = .
b) Donner une valeur approchée à 10-1 près de .
3) On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0; +∞ [ et on note f’ la fonction dérivée de f sur cet
intervalle.
a) Calculer f’(x) pour tout x élément de l'intervalle [0; +∞[
b) Étudier le signe de f’(x) sur l'intervalle [0; +∞[, et dresser le tableau de variations complet de la
fonction f sur cet intervalle.
4) Justifier
2 0lim
xf x x
et que, pour tout x de l'intervalle [0 ; +∞ [,
2 0f x x  
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.
5) Sur le graphique donné en ANNEXE :
a) placer le point de la courbe (C) d'abscisse  ;
b) tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse  ;
c) tracer la droite (D).
6) On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C),la droite (D) et les droites
d'équations respectives x = 2 et x = 6.

a) Hachurer sur le graphique, donné en ANNEXE ,le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une
expression faisant intervenir une intégrale.
b) Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.
ANNEXE
Exercice n°8 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Sur la figure ci-dessous, la courbe (Cf) représente une fonction f
définie sur l'intervalle ] -1, . On a placé les points A(0 ; 3) , B(-1 ; 1) et E(1 ; 3+ln2). La droite (T) est
tangente en A à la courbe (Cf) et la droite (T’) est tangente en E ,à la courbe (Cf).
Par lecture graphique :
1) a) Déterminer l’équation de la tangente (T).
b) Déterminer f (0) , f ‘(0) , f (1) , f ‘(1).
c) Le nombre de solutions de l’équation f (x)=1.
2) Dresser le tableau de variation de f.

3) On admet que la fonction f est définie par :     
   .
a) Vérifier que      
   .
b) Soit la fonction g définie sur ] -1, par :         .Calculer g ‘(x) pour tout x de
] -1,.
c) En déduire l’aire de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=0 et x= .
Exercice n°9 :
La courbe
f
C
représenter ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé   
d’une fonction f définie et dérivable sur  .
 La tangente (T) à la courbe
f
C
au point A(0,3) passe par le point B(1,5).
 La droite D d’équation y =1 est asymptote horizontale à
f
C
au voisinage de +.
1) En utilisant les données et le graphique :
a) Déterminer f(0) et f’(0).
b) Préciser
()lim
xfx
.
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à
f
C
au point A.
3) On admet que la fonction f définie sur  par :
( ) 1 x
ax b
e
fx 
.
a) Déterminer l’expression de
'( )fx
en fonction de a, b et
x
.
b) En déduire l’expression de f pour tout x .

4) Soit F la fonction définie et dérivable sur  par :
46
() x
x
e
F x x 
.
5) a) Calculer F’(x) .
6) b) Soit    calculer en fonction de  l’intégrale
α
0f(x) dxI
.
7) c) En déduire l’aire A( de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=0 et x=. Calculer
lim A( )
.