serie d exercices integrales bac eco gestion

4ème Eco-gestion
Tunis ,Tél :27509639
Série d’exercices :
Intégrales
Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Exercice n°1 :
Calculer les intégrales suivantes :
1)
6)

1
0
dx
x 1
1
2)
  x  1 dx
1
0
1
3
2
0 x  ln x  dx 7)
1

1
0
2
2 xe x dx

  t
3)
2
2t 
 dt
 100 
4)
1
 1   
8)    2  e x  dx
0
 x 
1

2
1

9)
1

 x   dx 5)
x


e x 1 dx
  x  e  dx
1
0
10)
1
e
ln t
dt
t
1
x
0
Exercice n°2 :
A l’aide d’une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
1)
  2 x  1e
1
3x
0
dx 2)
 1  x  ln x dx
e
3)
1

750
100
xe x dx
4)
1
 (x
0
2
 x  1)e x dx 5)
  2 x  x  ln x dx
e
2
1
Exercice n°3 :
par f (x) =
Soit la fonction f définie sur
x 2 +3x+1
.
x 2 +x
1
1
on a f(x)=1+ +
.
x x+1
1) Montrer que pour tout x de
2
2) En déduire la valeur de I=  f(x) dx .
1
Exercice n°4 :
Soit la fonction f définie sur IR par : f(x)=
e 2x
dx .
1+e x
ex
1) Montrer que pour tout x de IR on a : f(x)= e .
1+e x
2x
x
ln2 e
ln2 e
dx
J=
2) En déduire la valeur de I= 
et
0 1+e-x dx
0 1+e x
x
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) 
1 2 x
x e . On note (C) la courbe représentative de f dans un
2
repère orthonormé
.(Unité 2cm).
1) Déterminer les limites de f en
et
.
2) Dresser le tableau de variations de f.
3) Tracer C.
4) a) Soit
Montrer que l’aire A(
de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x=0 et x=

2  2
est égale à 4 1  e (1   
 cm
2 

b) Calculer lim A( )
 
Exercice n°6 :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 0,
par :
.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal
.
Soit g la fonction définie sur par ] 0,
:
.a)
A) 1) a)Calculer g'(x).
b) Dresser le tableau de variation de g.
2) Déterminer le signe de g(x) sur ] 0,
.
B) 1) a) Déterminer la limite de la fonction f en
.
b) Déterminer la limite de la fonction f en 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Calculer f ‘(x) pour tout x
et montrer que
.
b) Dresser le tableau de variation de g.
c) Calculer f (1). En déduire le signe de f (x) sur ] 0,
.
3) a) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 1.
b) Tracer (C) et (T) .
4) Soit F la fonction définie sur ] 0,
par :
a) Calculer F ‘(x) pour tout x de ] 0,
.
2
b) En déduire la valeur de l’intégrale I=  f(x) dx . Interpréter graphiquement le résultat.
1
Exercice n°7 :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0; +∞ [ par : f  x   x  2  10e0,5 x
On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d'équation y = x - 2.
La courbe (C) est partiellement représentée en ANNEXE .
1) Déterminer la limite de la fonction f en + ∞.
2) On pose  = 2ln5.
a) Montrer que f( ) = .
b) Donner une valeur approchée à 10-1 près de .
3) On admet que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0; +∞ [ et on note f’ la fonction dérivée de f sur cet
intervalle.
a) Calculer f’(x) pour tout x élément de l'intervalle [0; +∞[
b) Étudier le signe de f’(x) sur l'intervalle [0; +∞[, et dresser le tableau de variations complet de la
fonction f sur cet intervalle.
4) Justifier lim  f  x  
x 
 x  2 
 0 et que, pour tout x de l'intervalle [0 ; +∞ [, f  x  
 x  2
 0
Donner l'interprétation graphique de ces résultats.
5) Sur le graphique donné en ANNEXE :
a) placer le point de la courbe (C) d'abscisse  ;
b) tracer la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse  ;
c) tracer la droite (D).
6) On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine E délimité par la courbe (C),la droite (D) et les droites
d'équations respectives x = 2 et x = 6.
a) Hachurer sur le graphique, donné en ANNEXE ,le domaine E, puis exprimer l'aire A à l'aide d'une
expression faisant intervenir une intégrale.
b) Déterminer la valeur exacte de l'aire A, puis en donner la valeur arrondie au centième.
ANNEXE
Exercice n°8 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. Sur la figure ci-dessous, la courbe (Cf) représente une fonction f
définie sur l'intervalle ] -1,
. On a placé les points A(0 ; 3) , B(-1 ; 1) et E(1 ; 3+ln2). La droite (T) est
tangente en A à la courbe (Cf) et la droite (T’) est tangente en E ,à la courbe (Cf).
Par lecture graphique :
1) a) Déterminer l’équation de la tangente (T).
b) Déterminer f (0) , f ‘(0) , f (1) , f ‘(1).
c) Le nombre de solutions de l’équation f (x)=1.
2) Dresser le tableau de variation de f.
3) On admet que la fonction f est définie par :
a) Vérifier que
.
.
b) Soit la fonction g définie sur ] -1,
par :
.Calculer g ‘(x) pour tout x de
] -1,
.
c) En déduire l’aire de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=0 et x= .
Exercice n°9 :
La courbe
Cf
représenter ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé
d’une fonction f définie et dérivable sur .
 La tangente (T) à la courbe C f au point A(0,3) passe par le point B(1,5).
 La droite D d’équation y =1 est asymptote horizontale à
1) En utilisant les données et le graphique :
a) Déterminer f(0) et f’(0).
b) Préciser lim f ( x) .
Cf
au voisinage de + .
x
2) Déterminer une équation de la tangente (T) à
Cf
au point A.
ax  b
.
ex
a) Déterminer l’expression de f '( x) en fonction de a, b et x .
b) En déduire l’expression de f pour tout x
.
3) On admet que la fonction f définie sur
par :
f ( x)  1 
4) Soit F la fonction définie et dérivable sur
par :
F ( x)  x 
4 x  6
.
ex
5) a) Calculer F’(x) .
6) b) Soit
calculer en fonction de
α
l’intégrale I   f(x) dx .
0
7) c) En déduire l’aire A(
de la région du plan limitée par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites
d’équations x=0 et x= . Calculer lim A( ) .
 